1、第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)小結(jié)8/20/2022本章知識結(jié)構(gòu) 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)運(yùn)算導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 函數(shù)的瞬時(shí)變化率 運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度 曲線的切線斜率 基本初等函數(shù)求導(dǎo) 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 函數(shù)單調(diào)性研究 函數(shù)的極值、最值 曲線的切線 變速運(yùn)動(dòng)的速度 最優(yōu)化問題8/20/2022曲線的切線 以曲線的切線為例，在一條曲線C：y=f(x)上取一點(diǎn)P(x0，y0)，點(diǎn)Q(x0+x，y0+y)是曲線C上與點(diǎn)P臨近的一點(diǎn)，做割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線C無限地趨近點(diǎn)P時(shí)，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT，我們就把直線PT叫做曲線C的在點(diǎn)P處的切線。一知識串講8/20/2022 此時(shí)割線PT斜率的極

2、限就是曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率，用極限運(yùn)算的表達(dá)式來寫出，即 k=tan= 8/20/2022（一）導(dǎo)數(shù)的概念： 1導(dǎo)數(shù)的定義：對函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x=x0處給自變量x以增量x，函數(shù)y相應(yīng)有增量y=f(x0+ x)f(x0)，若極限 存在，則此極限稱為f(x)在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記為f (x0)，或y| ；8/20/2022 2導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)，就說y=f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)即對于開區(qū)間(a，b)內(nèi)每一個(gè)確定的x0值，都相對應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f (x0)，這樣在開區(qū)間(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，把這一新函數(shù)叫做f(x)在(a，b)內(nèi)的導(dǎo)

3、函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)記作f (x)或y.即f (x)=y=8/20/2022 3導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在P(x0，f(x0)處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0)處的切線斜率為kf (x0)所以曲線 yf(x)在點(diǎn) P(x0，f(x0)處的切線方程為 yy0=f (x0)(xx0) 4導(dǎo)數(shù)的物理意義：物體作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程s關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)為：s=s(t)，那么瞬時(shí)速度 v 就是路程 s 對于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即v(t)=s(t). 8/20/2022返回8/20/2022導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(差)的導(dǎo)數(shù),等于這

4、兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(差),即:法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,即:法則3:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第二個(gè)函數(shù),減去第一個(gè)函數(shù)乘第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ,再除以第二個(gè)函數(shù)的平方.即:返回8/20/2022 當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線無限接近點(diǎn)P即x0時(shí),割線PQ如果有一個(gè)極限位置PT.則我們把直線PT稱為曲線在點(diǎn)P處的切線. 設(shè)切線的傾斜角為,那么當(dāng)x0時(shí),割線PQ的斜率,稱為曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率.即:PQoxyy=f(x)割線切線T返回8/20/20221) 如果恒有 f(x)0，那么 y=f（x) 在這個(gè)區(qū)間（a,b)內(nèi)單

5、調(diào)遞增；2) 如果恒有 f(x)0f (x)0如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).返回8/20/20222)如果a是f(x)=0的一個(gè)根，并且在a 的左側(cè)附近f(x)0，那么是f(a)函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 函數(shù)的極值1)如果b是f(x)=0的一個(gè)根，并且在b左側(cè)附近f(x)0，在b右側(cè)附近f(x)0，那么f(b)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值注：導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)2)在閉區(qū)間a,b上的函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,則它必有最大值和最小值.函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)xy0abx1x2x3x4f(a)f(x3)f(b)f(x1)f(x2)返回8/20/20228/20/20

6、228/20/20228/20/20228/20/2022（五）函數(shù)的最大值與最小值： 1定義：最值是一個(gè)整體性概念，是指函數(shù)在給定區(qū)間(或定義域)內(nèi)所有函數(shù)值中最大的值或最小的值，最大數(shù)值叫最大值，最小的值叫最小值，通常最大值記為M，最小值記為m.8/20/2022 2存在性：在閉區(qū)間a，b上連續(xù)函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值 3求最大（小）值的方法：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上最值求法： 求出f(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中較大的一個(gè)是最大值，較小的一個(gè)是最小值.8/20/20228/20/20228/20/20228/20/20

7、228/20/2022兩年北京導(dǎo)數(shù)題,感想如何?8/20/2022例1已經(jīng)曲線C：y=x3-x+2和點(diǎn)A(1,2)。求在點(diǎn)A處的切線方程？解：f/(x)=3x21， k= f/(1)=2 所求的切線方程為： y2=2(x1), 即 y=2x8/20/2022變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？例1已經(jīng)曲線C：y=x3-x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？解：變1：設(shè)切點(diǎn)為P（x0，x03x0+2）， 切線方程為y ( x03x0+2)=(3 x021)(xx0)又切線過點(diǎn)A(1,2) 2( x03x0+2)=( 3 x021)(1x0)化簡得(x01)2(2 x0+1)=0，當(dāng)x0=1時(shí)，所求的

8、切線方程為：y2=2(x1),即y=2x 解得x0=1或x0=k= f/(x0)= 3 x021，當(dāng)x0= 時(shí)，所求的切線方程為： y2= (x1),即x+4y9=08/20/2022變式1：求過點(diǎn)A的切線方程？例1：已經(jīng)曲線C：y=x3x+2和點(diǎn)(1,2)求在點(diǎn)A處的切線方程？變式2：若曲線上一點(diǎn)Q處的切線恰好平行于直 線y=11x1，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 _,切線方程為_ (2,8)或( 2, 4) y=11x14或y=11x+188/20/20228/20/20228/20/2022（1）正確理解導(dǎo)數(shù)的概念和意義，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)函數(shù)的改變量與自變量的改變量的比值的極限，它反映的是函數(shù)的變化率，即函數(shù)值在x=x0點(diǎn)附近的變化快慢；所以只有與變化率有關(guān)的問題都可以