1、關(guān)于高數(shù)極限的定義與性質(zhì)第一張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2.1、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限例1.2.1 考察函數(shù)在當(dāng)x趨向于1時(shí)函數(shù)值的變化。解如圖，該函數(shù)定義域?yàn)榭疾靫從x=1的左側(cè)及右側(cè)接近1時(shí)，其函數(shù)值的變化情況 。列表如下第二張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月結(jié)論：當(dāng)x充分接近1（但不等于1）, y的值接近于常數(shù)2.2.0000011.0000011.9999990.9999992.0011.0011.9990.9992.011.011.990.992.11.11.90.9一般地，我們有第三張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定義1.2.1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

2、的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,或反之，若不存在這樣的常數(shù) A，則稱當(dāng)時(shí)沒有極限或極限不存在。則例1.2.1可表示為的值任意地接近常數(shù)A, 函數(shù)如果當(dāng)x充分接近時(shí)，則稱當(dāng)?shù)臉O限為A,記作時(shí)函數(shù)第四張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.2.2 設(shè)函數(shù)求解如圖，.觀察其函數(shù)圖象，得結(jié)論：函數(shù)在某點(diǎn)的極限的存在與否與函數(shù)在該點(diǎn)是否有定義或等于什么并無關(guān)系.第五張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.2.3 求解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得例1.2.4 求第六張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.2.5 求不存在 .解如圖，觀察其函數(shù)圖象，得第七張，PPT共二

3、十三頁，創(chuàng)作于2022年6月1.2.2. 單側(cè)極限定義1.2.2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)右（或左）鄰域內(nèi)有定義 ,（或函數(shù)如果當(dāng)x從的右側(cè)（左側(cè)）充分接近時(shí)，的值任意地接近常數(shù)A, 則稱在處的右（或左）函數(shù)記作極限為A,有時(shí)記為（或第八張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.2.6. 設(shè)函數(shù)討論 時(shí)的左右極限是否存在 . 解:如圖第九張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.2.7 設(shè)函數(shù)求解如圖，和由這兩個(gè)例子，得一般地定理1.2.1 .第十張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.2.3、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限例1.1.8第十一張，PPT共二

4、十三頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地，定義1.2.3 設(shè)函數(shù)對大于（或小于）某個(gè)數(shù)X的x都（或記作的極限為A,函數(shù)有定義，如果當(dāng)x無限地趨向時(shí)，（或的值任意地接近常數(shù)A, 則稱當(dāng)（或時(shí)函數(shù)第十二張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月又設(shè)函數(shù)對絕對值大于某個(gè)正數(shù)X的x都有定義，記作的極限為A,函數(shù)如果當(dāng)|x|無限地趨向時(shí)，的值任意地接近常數(shù)A, 則稱當(dāng)時(shí)函數(shù)于是在例1.1.8中第十三張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1.2.2 .例1.1.9 設(shè)求解如圖所以不存在。第十四張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月有一類特別地、重要的極限定義1 .2.4. 若時(shí) , 函數(shù)則稱函數(shù)為時(shí)

5、的無窮小 .例1.1.10 因?yàn)?故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無窮小 .例1.1.11 因?yàn)?故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無窮小 .第十五張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月例1.1.12 如圖 故當(dāng)時(shí)函數(shù)為無窮小 .當(dāng)時(shí)函數(shù)接近于0 ，所以但當(dāng)時(shí)函數(shù)不是無窮小 .注1: 無窮小與很小的數(shù)。 注2: 無窮小是與x的變化過程有關(guān)。第十六張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1.2.4、無窮極限例1.1.13y值不斷增大，且有一種趨勢，趨向正無窮大。此時(shí)極限并不存在，記為y值不斷減小，且有一種趨勢，趨向負(fù)無窮大。此時(shí)極限并不存在，記為第十七張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)

6、動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1.2.5 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,或記作則稱當(dāng)趨向于正無窮大（或負(fù)無窮大）時(shí)函數(shù)變得任意大， 函數(shù)如果當(dāng)x充分接近時(shí)，如果上述定義中將(或敘述成則稱當(dāng)x趨近時(shí)函數(shù)趨向于無窮大，記作第十八張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月注1: 上述中的極限稱為無窮極限. 注2: 無窮大是與x的變化過程有關(guān)。無窮極限并不代表 極限存在。 注3: 和無窮小類似，不要把無窮大與很大的數(shù)(如一億)混淆.注4: 無窮大一定無界, 反之不然 .第十九張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1.1.14 求解 如圖所以第二十張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例1.1.14 求解 如圖所以不存在。第二十一張，PPT共二十三頁，創(chuàng)作于2022年6月定理1.2.4(局部有界性） 若則存在1.2.5 極限的性質(zhì)最后無窮大與無窮小有如下的關(guān)系定理1.2.3 在自變量的同一極限變化過程中, 如果函數(shù) 為無窮大， 則 為無窮小； 反之如果為無窮小， 則 為無窮大。 的一個(gè)鄰域，使得函數(shù)在該