1、Estimation with S1A中山大學嶺南學院金融系2007.071這是我在西安交通大學中心讀博期間整理的學習筆記。非常感謝導師先生帶我走進中心的 程建博計量經濟學 的多彩世界，并介紹給我一非常難得的朋友 - SA。同時，也要感謝士 (現就職于建行總行博士后站) 和博士 (現就職于國家開發(fā)總行) 在 LATEX的使用方面給與的幫助。 如果發(fā)現筆記中有任何錯誤和不妥之處，或是對我還沒有想出來有任何解決)的建議， 煩請發(fā)郵件給我。同時，我已經完成的筆記 (共 12 章) 都可以在博客 ( http:/中，歡迎光臨。由于這些筆記還在不斷更新中，所以懇請各位將閱讀過程中發(fā)現的小錯誤及時反饋給我

2、， 我會將的名字做成列表，定時發(fā)送版的筆記給。目錄1122344456781313151616171718191920222223275.15.2簡介 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .OLS 估計的性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..25.2.3OLS 估計的有效性 . . . . . . . . . . . .

3、. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .統(tǒng)計推斷 OLS 估計的方差 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .擬合優(yōu)度 R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.3自相關的檢驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...45.3.5基于

4、大樣本的一般性檢驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .解釋變量嚴格外生時的AR(1) 自相關檢驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .解釋變量非嚴格外生時的AR(1) 自相關檢驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . .高階自相關檢驗 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .SA 實現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5、 . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4GLS 估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...4AR(1) 過程 AR(2) 過程 AR(4) 過程MA(1) 過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5FGLS 估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...4AR(1)過程 AR(2)過程 AR(4)過程MA(

7、1)過程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.6異方差和

8、序列相關形式未知時的OLS 穩(wěn)健性估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..2Newey-West 估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wooldridge 估計方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.7SA 實現 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9、. . . . . . .本章附錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I5.1簡介在分析時間序列時，一個常見是自相關，或隨機干擾項的序列相關。盡管截面分析有時也會存在自相關，但主要發(fā)生在時間序列模型中。模型的基本設定如下：y = X + (5-1)其中，E = 0 ， Var() = = 2 。一般假設 服從一個穩(wěn)定的隨機過程，因此其均值和方差都不依賴于 t 。于是，11 2 1112T 11T 2221 T 3(5-2) = = . . . .T 1

10、.T 2.T 3.1其中， s = E t , ts/ 2 = E t , t+s/ 2 for1, 2, , 表示兩個相隔 s 期的干擾項之間的相關系數。顯然，矩陣 中含有 T (T 1)/2 個未知參數，為了使模型可以估計，須對矩陣 具體形式進行設定，以便減少參數的個數。 矩陣 具體形式的設定就對應著對隨機干擾項自相關形式的不同假設。 最為常用的就是假設干擾項服從AR(1) 過程，即t = t1 + ut(5-3)2其中， | 1 時，無法計算檢驗統(tǒng)計量。ct 檢驗當 Ts2 1 時， Durbin 建議采用如下漸進等價方法： 用 et 對 xt , yt1, , et1 做回歸 (也c可

11、包含 yt 和 et 的高階滯后項) ，進而采用傳統(tǒng)的 t 統(tǒng)計量檢驗 et1 項系數的顯著性。這里在回歸式中加入除 et1 以外的其它回歸項的作用就在于控制解釋變量的非嚴格外生問題。因此，從本質上講它與上一小節(jié)中介紹的 t 檢驗是等價的。 如果回歸式中存在異方差， 可以很容易地采用White 公式得到具有異方差穩(wěn)健性的t 統(tǒng)計量。Durbinh 檢驗是基于大樣本的，其在小樣本下的表現并沒有一致的結論，在某些情況下其檢定力非常低， 小樣本下的檢驗結果也往往與大樣本下有較大的差異。不過，目前還沒有一個明顯優(yōu)于Durbinh 檢驗的方法。5.3.4高階自相關檢驗Breusch-Godfreys L

12、M 檢驗該檢驗可視為在第(5.3.3) 小節(jié)中介紹的t 檢驗的擴展。 其原假設為：H0 : 不存在序列相關被擇假設為：H1 : t = AR(q) 或 t = MA(q)檢驗的步驟如下：用 yt 對 xt 做OLS 回歸，得到殘差 et ， t = 1, 2, , T ；用 et 對 xt , et1, et2, , etq 做回歸，t = (q + 1), , T ， 得到擬合優(yōu)度 R2 ；計算LM 統(tǒng)計量：LM = (T q)R2 2(q)LM 統(tǒng)計量要求滿足同方差假設：Var(ut |xt , ut1, , utq) = 2.但可以通過變換得到異方差穩(wěn)健統(tǒng)計量（Wooldridge,19

13、91），在 S(5-16)A 中，bgodfrey 命令在上述回歸過程中加入了 xt 項，所以即使便是在考慮異方差的情況下進行該檢驗的。由于原始模型中包含非嚴格外生的解釋變量，該檢驗仍然是適用的。因此，若解釋變量 都是嚴格外生的，即 X e = 0 ，那么在上述回歸中，可以省略 xt 項。同時，也可以對所有 et 的滯后項作聯(lián)合 F 檢驗，如果在較高的顯著水平上（如 5% ）了原假設， 就認為存在序列相關。由于該檢驗的被擇假設對應著兩種自相關的結構，所以在對干擾項的具體形式作進一步的判斷，以便于后面的估計。原假設的情況下還需要5.3 自相關的檢驗8Q 檢驗在原假設 6= 0 成立的條件下，如果

14、解釋變量嚴格外生，該檢驗漸進等價于 LM 檢驗， 檢驗統(tǒng)計量為：pX22Q = Tr ( P)(5-17)jj =1其中，PTe et t j t = j +1r =PjTe2i =1 i可以采用Ljung-Box 建議的修正統(tǒng)計量：對于小樣本而言，Pr 2XjT jQ0= T (T 2(5-18).j =1研究表明 LM 檢驗和 Q 檢驗都有很好的檢定力，但滯后階數 q 的選擇往往比較，對此在后續(xù)專門探討時間序列的章節(jié)中還會作進一步的。5.3.5SA 實現首先介紹序列相關的檢驗方法，繼而用一個簡單的實例來說明幾種可能產生序列相關的原因。 所用的數據來源于SA8.0 自帶的數據friedman

15、2.dta ，輸入如下命令調出數據：去除原始數據中的缺漏值，繼而進行對數化和差分處理：這里 tsset 命令的作用在于告訴 SA分析的是時間序列資料，時間標示變量是 time 。這樣 SA 就會自動將所有觀察值按照變量 time 進行排序，只有如此才可以在接下來的分A 提供的一套專門針對時間序列資料令。3析中使用S要進行D-W 檢驗，只需在完成OLS 回歸后輸入dws命令即可：輸出結果為：3在第八章介紹面板數據時還會用到此命令，其作用在于同時截面變量和時間變量，如 tsset code year 。qui reg consump m1 m2 dwsdrop if m1=.tsset time/

16、*declare the dataset to be time-series*/foreach var of varlist cons m1 m2 gen ln_var = ln(var)gen dln_var = D.ln_varuse D:sa8adoExlesTFilesfriedman2.dta, clear9此值非常低，表明的模型中存在正的序列相關。依據 (5-11) 式，可很方便的計算出一階自相關系數：這里r(dw) 是前面執(zhí)行dws命令后得到的返回值。 4作為對比，檢驗：分別采用原始數據的對數形式和對數差分形式進行回歸后再進行序列相關可見，當對原始數據進行了取對數和差分處理后，O

17、LS 模型已基本上不存在序列相關的問題了。 事實上，對原始數據和取對數后的數據進行的根檢驗都表明二者是含有根在第11章進行介紹。這里的，即均為 非平穩(wěn)序列。至于非平穩(wěn)序列在回歸中產生的影響僅需知道當模型中存在 非穩(wěn)定時間序列時， OLS 往往是有問題的。同時，也可以認為差分的過程去除掉了一些隨時間變化 較慢的干擾項的影響，而這些的存在很可能導致序列相關問題。 另一方面，也可以通過繪制回歸殘差的時序圖來作出粗略的判斷。圖 5-2 繪制了以上三種回歸得到的殘差的時序圖，可以看出對原始數據和取對數后的數據進行回歸得到的殘差存在 明顯的正相關關系，而經過差分處理的數據回歸得到的殘差了。不存在明顯的序列

18、相關下面說明遺漏變量產生的影響。假設如下回歸對應著正確的模型設定形式，其D-W 檢驗結果為：4要看到所有返回值，可采用 return list 命令。. dwsDurbin-Watson d-sistic( 3, 158) = 1.623562. reg dln_consump dln_m1 dln_m2. qui reg ln_consump ln_m*. dwsDurbin-Watson d-sistic(3, 159) = .0686131. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=.96569347. qui reg dln_consump dln_m*. dwsDurbin-

19、Watson d-sistic(3, 158) = 1.623562. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=.18821888. dis rho= =1-r(dw)/2 rho=0.98601764Durbin-Watson d-sistic( 3, 159) = .02796475.3 自相關的檢驗10圖 5-2: 數據的非平穩(wěn)性導致的序列相關查表可知， k = 3 , T = 100 對應的 dL 值為 1.61 ，所以不存在顯著的序列相關問題。 假設在分析中遺漏了變量m2 ，那么相應的結果為：如果在模型的設定中遺漏了m1，那么得到的結果為：可見，在兩種遺漏變量的情況下，的檢驗

20、結果都表明存在序列相關。進一步會發(fā)現，所遺漏的 變量越平滑，導致的序列相關問題越嚴重。從上面的結果來看，猜測變量 m2 要比m1 平滑。下面的結果證實了這一點：4002000200400600.1.050.05.1. qui reg dln_m1 L.dln_m1. dis _bL.dln_m1 0.58713586. qui reg dln_m2 L.dln_m2. dis _bL.dln_m2 0.6359475. qui reg dln_consump dln_m2. dwsDurbin-Watson d-sistic( 2, 158) = 1.58292. qui reg dln_co

21、nsump dln_m1. dwsDurbin-Watson d-sistic( 2, 158) = 1.3924151960q11970q11980q11990q12000q1time1960q11970q11980q11990q12000q1timee_lne_dlne_lne_dlne_ols11因此，當檢驗表明存在序列相關時，應首先檢查模型的設定是否正確，在排除這個嫌疑以后，再想辦法處理“真正”的序列相關問題。在解釋變量嚴格外生的情況下，也可以采用 5.3.2 小節(jié)介紹的t 檢驗：輸出結果如下：可見，殘差滯后項的t 值為 46.19 ，相應的P 值為 0.000 ，表明存在顯著的序列相

22、關問題。 而我們此處得到的相關系數(0.981) 與根據D-W 檢驗值計算出的數值非常接近。此方法可以擴展為針對高階自相關的F 檢驗，可以采用test 命令：當解釋變量非嚴格外生時，可以采用 5.3.3 小節(jié)介紹的 Durbins h 檢驗或 t 檢驗。 下面以解釋變量中包含被解釋變量的一階滯后項為例說明。進行Durbins h 檢驗令為 durbina :輸出結果為：進行t 檢驗令為：. predict e, res. reg e L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2 L.eDurbins alternative test for autocorrelationla

23、gs(p) |chi2dfProb chi2-+- 1|12.02710.0005H0: no serial correlation. reg dln_consump L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2. durbina. qui reg e L.e L2.e. test L1.e L2.e (1) L.e1 = 0(2) L2.e1 = 0F( 2, 154) = 1125.58 Prob F = 0.00000e1|Coef.Std. Err.tP|t|95% Conf.erval-+-e1|L1 |.9807905.021235446.190.000.9388

24、4451.022737_cons|.0004358.00076130.570.568-.0010681.0019396. reg ln_consump ln_m1 ln_m2. predict e, res. reg e L.e5.3 自相關的檢驗12結果顯示L.e 的t 值和P 值分別為-3.46 和 0.001 。驗：也可以durbinh 命令來完成上述t 檢輸出結果為：細心的讀者會發(fā)現，此處得到的結果與上面手動計算出的結果是一致的。對于高階自相關，可以采用F 檢驗，下面是檢驗AR(2)令：輸出結果為：若需進行Breusch-Godfreys LM 檢驗，則只需在回歸后執(zhí)行bgodfrey

25、 命令即可: 5輸出結果為：其中，選項lag(2) 用于指定自相關的階數，對于小樣本還可以增加small 選項：當然，也可以手動計算上述結果：5也可以從網上bgtest 命令，它的使用方法和原理與 bgodfrey 命令基本相同。. bgodfrey,lag(2) smallBreusch-Godfrey LM test for autocorrelationlags(p) |chi2dfProb chi2-+- 2|148.97720.0000H0: no serial correlation. reg ln_consump ln_m1 ln_m2. bgodfrey,lag(2)F( 2,

26、 149) = 6.44 Prob F = 0.0021. reg e L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2 L.e L2.e. test L.e L2.eDurbin-Watson h-sistic: 0.0928273 t = 1.13013 P-value = 0.2602. reg dln_consump L.dln_consump L.dln_m1 L.dln_m2. durbinh13在第 5.3.4 小節(jié)所介紹的 Q 檢驗，可以采用 ac 和 pac 命令進行分析。由于 這部分至于內容在第 11 章時間序列分析中詳加介紹，這里就不再贅述。65.4GLS

27、估計本節(jié)中假設在 6 已知的情況下，采用第四章介紹的 GLS 進行估計。當 6 未知時， 我們就需要采用FGLS 估計模型，這將在下一節(jié)中介紹，但本節(jié)的內容是基礎。5.4.1AR(1) 過程在處理序列相關的過程中，應用的最多的是假設隨機干擾項服從 AR(1) 過程，此時模型可以表示為：yt = x0t + t t = t1 + ut(5-19)(5-20)可以對模型做22其中， E u = 0 , E u = , E u u = 0t 6= s) , | s ， t 均不與 ut 相關，所以，s 2uCov(t , ts) = E t ts =(5-25)1 2結合(5-24) 和(5-25)

28、 兩式，可以得到任意兩個時期干擾的相關系數為：Cov( , )t t 1s= (5-26) =sVar(t )至此，(5-2)式就可以表示為：1 22 1T 1 T 2 T 311 22 (5-27)8 = 6 = . . . .T 1.T 2.T 3.1假設 已知，那么 6 也是已知的，那么模型(5-19) 的GLS 估計量為： = X0 61X1X0 61y,(5-28)樣本方差為：Var() = 2X0 61X1.(5-29)一般的處理方法是，首先求得 P 矩陣，使之滿足 P0P = 61 ， 進而將模型(5-19) 轉化為：y = X + (5-30)其中， y = Py , X =

29、PX , = P ，且 p1 201001000 0 P = (5-31),. .00.1= E 0000 227222 22v因為， Var( ) = Var) ，且 E v = 0 , 所以 = Var = E +v 2 v = +( )tttttttt 1t 1tt 1, 于是， t = t 1 + vt 。15那么， (5-28) 式的GLS 估計就可以轉化為如下OLS 估計： = X X1X y(5-32)該轉換通常稱為“部分差分”(partial difference)、“準差分”(quasi difference)或“偽差分” (pseudodifference)。需要的是， 由

30、于在上述轉換的過程中， 常數項被轉換成(1 2)1/2, (1 ), , (1 ) ，所以在小樣本下，擬合優(yōu)度也就失去了其 常規(guī)意義，這與在第四章中異方差時的結果是一樣的。5.4.2AR(2) 過程設隨機干擾項服從如下 AR(2) 過程，此時模型可以表示為yt = x t + t= 1t 1 + 2t 2 + ut(5-33)(5-34)t其中， E ut = 0 , E u2 = 2 , E ut us = 0(t = s) 。模型的穩(wěn)定性 條件為： 1 + 2 1 ,tu2 1 1 且 1 2 2(5-41)s = 1s1 + 2s2,5.4 GLS 估計16得到 6 矩陣后，滿足 P0P

31、 = 61 的矩陣定義為： 000100010000u/ qq22221 1 121P =(5-42)021 ,. .00.00.110000 其中， 12/221 +1 ) ( )(221(5-43)u/ =1 2如果 1 和 2 均已知，那么運用OLS 對如下變換后的模型進行估計，y = X + 其中， y = Py , X = PX , = P 。得到的GLS 估計量為 = X0 61X1X0 61y 。(5-44)5.4.3AR(4) 過程當采用季度數據進行實證分析時，假設干擾項服從 AR(4) 過程可能更為合理。但一般并不采用完整的 AR(4) 過程，而是做如下設定：t = t4 +

32、 ut(5-45)Thomas and Wallis(1971) 認為，對于不同的年度，只有相應的季度間才具有明顯的相關性。其處理方式與 AR(1) 過程極為相似， GLS 估計量是建立在如下變換基礎之上的：(p1 z2t = 1, 2, 3, 4,tz =(5-46)tzt zt4t MA(1) 過程盡管在多數情況下都會將序列相關的干擾項設定為自回歸的形式，但經濟理論中也的確存在一些干擾項服從移動平均(MA) 過程的實例。而且，將干擾項設定為MA 或ARMA 過程也往往更能反應數據的真實生成過程。 此時，模型設定為：yt = x0t + t(5-47)ut 1(5-48)t =

33、22其中， E u = 0 , E u = , E u u = 0t 6= s) ，同時滿足可逆條件 0)；且有 = (1u1 + 201 + 20000 1 + 2000 (5-49) =,. . . .00.00.00.1 + 2.1 + 2111相應的GLS 估計量為： = X X Xy12uXX 。1及 Var() = 由 1 = /(1 + 2) 可知， 1 分別在 = 1 和 = 1 時取得最大值 和最小值，分別為 0.5和0.5 。因此，自相關性較強的序列( | 0.5) 不可能服從 MA(1) 過程。至于高階的MA 過程，可以參考Judge 等(1985) 第八章。5.5FGL

34、S 估計當 未知時，可以采用FGLS 估計，主要包括如下兩個步驟：1. 估計 矩陣中的參數，得到 。如在AR(1) 的設定下，定下，需要估計 。需要估計 ，在 MA(1) 的設2. 用 代替 5.4 節(jié)中給出的GLS 估計量中的 ， 得到 = X 1X1X 1y 。當然，也可以采用迭代的方法，重復以上步驟多次直到前后兩次的估計系數不再有明顯變化為止。 因此，這里主要介紹 中參數的估計方法。5.5.1AR(1)過程在AR(1) 的設定下， 主要通過以下幾種方法獲得：1. 樣本相關系數 估計量為： Tet et 1t =2(5-50) = Te2ti =1其中， et 為 OLS 估計的殘差。也可

35、以將 視為回歸式 et = et1 + ut 中系數 的估計值，只是此時 (5-50) 式中的分母 部分不包含 e1 。Theil(1971) 給出了另一個針對小樣本的修正統(tǒng)計量： T(T K)et et 1t =2 =2. D-W 統(tǒng)計量 由(5-11) 式可知，(5-51). Te2(T 1)ti =11 = 1 2 d該估計值與上面的介紹的樣本相關系數非常接近。(5-52)5.5 FGLS 估計183.Durbin 估計量 該方法基于對(5-21) 式的變換:yt= yt1 + xt 0 x0t 1 + ut(5-53)000+ x x0 + ut001 ) + y= (1t 1tt 1

36、00000000其中， x0t = (1, x ) , = ( , ) 。因此，0可以用 y 對常數項、 y、 x 以及 x1tt 1ttt 1做回歸，得到的 yt1 項的估計系數即為 。Theil-Nagar 修正估計量 針對模型中含有部分非常平滑的解釋變量的情況， 8 Theil 和Nagar(1961) 提出了如下估計量：4.T 2(1 d/2) + K 2(5-54) =T 2 K 2其中， d 為D-W 統(tǒng)計值。該統(tǒng)計量是基于對 d 的均值和方差的近似得到的。5.Hilderh-Lu(1960) 搜索法 由于 介于 -1 和 1 之間，所以可以在此范圍內進行搜索以得到能使模型 (5-

37、21) 的殘差平方和最小的 值，作為 的估計值。為了得到全局的最小值，可以先在一個 較大的范圍內以較大的步長進行搜索，繼而一步得到的搜索值附近以一個較小的步長作進一步的搜索。 如，可以先在 (-0.9, 0.9) 范圍內，以每次增加 0.1 的步長對模型 (5-21) 進行估計，假設得到的 最優(yōu)值為 1 = 0.65 ；然后就可以在 (0.55, 0.75) 的范圍內以每次增加 0.01 的 步長對模型 (5-21) 進行估計，本次得到的 2 值即可視為 。5.5.2AR(2)過程在實際操作中，需要首先估計 1 和 2 ，繼而得到轉換模型 (5-44) 。 如果用1和 2 代替 (5-42)

38、式中的 1 和 2 ， 得到 P , 并進而得到 6 ，那么相應的 FGLS 估計量為 = (X0 6 1X)1X0 6 1y 。為了估計 1 和 2 ，可以先求得OLS 的殘差 e = y Xb ，繼而采用以下幾種方法進行估計。1. 依據樣本自相關系數 求得OLS 的殘差后，可以得到樣本自相關系數，PTe et t s t =s+1s = 1, 2(5-55) =PsTe2ti =1它們可以作為 1 和 2 的估計值。然而，對于小樣本而言，它們可能存在較大的偏差（參見Malinvaud ,1970, pp.517）。將 1 和 2 代入 (5-39) 和(5-40) 式即到 1 和 2 的估

39、計值：1(1 2)1 =(5-56)21 12 21(5-57) =221 18所謂平滑是指變量的當期觀察值與前期觀察值間的差異相對于其絕對數值而言非常小，也就是說 變化非常緩慢。192. 回歸法 這與上一小節(jié)的方法極為相似， 1 和 2 的估計值可以通過對下式做OLS 回歸得到，et= 1et 1 + 2et 2 + vtt = 3, 4, , T(5-58)非線性估計 Tu2 最小時對應的 1 , 2 和 。其中ee采用非線性估計的基本思路是找到使得+12t =2 te 和 e 由 (5-36) 和 (5-37) 兩式定義。 由于 e 和 e 的定義方式不同于 u2, t = 3, 4,

40、, T ，所t1212以通常采用以下漸進等價的修正估計方法： Tu2 ，以獲得 1 、 2 和 的估計值；1.最小化t =3 t T2x , u2 = y2 1 y1 (x2 1x1) 2e02.最小化u ，其中 u = y e e111 02 1t =1 t由此可獲得 1 、 2 、 、 e0 和 e1 的估計值； Tu2，以獲得 1 、 2 和 的估計值。3.設定 ee = 0 ，最小化= 10tt =1可以采用迭代或數值算法 (如 Gau相關內容。ewton) 進行估計，具體可參考第8章非線性估計部分5.5.3AR(4)過程對于AR(4) 過程，可以通過如下回歸得到 的估計值：et =

41、et4 + ut ,其中， et 為OLS 估計的殘差。5.5.4MA(1)過程t = 5, 6, , T.(5-59)在 5.4.4 小節(jié)中，已經得到當隨機干擾項服從MA(1) 過程時的GLS 估計量為， = X 1X1X 1y(5-60)211() = X XVar(5-61)可以u其中有兩個未知參數需要估計： 和 2 。由于 OLS 估計仍然是無偏且一致的，所以u利用OLS 的殘差 et 來估計這兩個參數。由(5-48) 式可知，222Var1 + )( ) = = (tu可以采用如下估計式，T 1T22221 + ) =e(5-62) = (utt =1此式中包含兩個參數，無法求解。可

42、以利用 t 和 t1 間的協(xié)方差構造如下估計式：T 1T2Cov(t , te e(5-63) = =1t t 1ut =25.6 異方差和序列相關形式未知時的OLS 穩(wěn)健性估計202由于 e 是 的一致估計，根據“大數法則”可知，由 (5-62) 和 (5-63) 解得的 和 是 和 ttuu可以得到如下 FGLS 一致估計量： = X0 6 1X1X0 6 1y1的一致估計量。據此，(5-64)21Var X0 6X(5-65)() = u當然， 可以通過對 6 矩陣進行 Cholesky 分解，得到 P 矩陣后 對轉換后的模型進行 OLS 估計。操作的過程中僅需估計 ，這可以利用 在 5

43、.4.4 小節(jié)中 解得一階自相關系數 1 = /(1 + 2) ，構造如下估計式：PT 1 + et et 1t =2(5-66)1 =PTe2ti =1得到 ，進而得到 6 = 6 () 。 但由于進行 Cholesky 分解的形式較為復雜， 9就不再深入分析，有的讀者可以參考Judge 等(1985, pp.299-304) 。5.6異方差和序列相關形式未知時的 OLS 穩(wěn)健性估計當對序列相關的具體形式一無所知時，可以仍然采用 OLS 估計系數，但推及推論需要知道， OLS 估計量的漸進分布為：基于其方差的漸進分布得到穩(wěn)健性估計。T ( )d N (0, Q1Q1)(5-67)xx X0

44、0X 1其中 Qx =X0X， = lim E的目的在于得到 的一致估計量。設 mt = xt t ，。TTt 則TTXXX =x 0=mt ttt =1t =1因此， ! !#TTXX1mtm0t = limEt Tt =1t =1假設 mt 是協(xié)方差穩(wěn)定的 ( mt 與 mts 間的協(xié)方差不依賴于 t ) 。mt與 mt v(5-68)這里，間的自協(xié)方差定義為： 100v = E mt m0t v 一般而言，有如下性質存在：1.mt 是序列相關的，這是因為 t 的序列相關性，所以 0v = E mt m0t v 6= 0 ；同期相關性( E mit m0j t 6= 0 ) ，這是因為一般

45、而言 xt 是相關的。2.223.異方差性( E m = ) ，這是由解釋變量的異方差性決定的。i ti9不過，利用 SA中的矩陣函數可以很輕易地做到這一點。10顯然， E mt m0t +v = 00v 。21由于自相關的形式未知，所以也就無法進行一些含有參數的設定。近期的研究主要集中于采用非參數方法來得到 一致性估計上。下面，如下設定對此作一簡單介紹。首先，需作 TT 1mtm t T = E T(5-69)t =1t =1將等式右邊展開，整理得： 11T 1T 21 (5-70) T = +( + ) +( + ) + +(+ )012T 112T 1TTT顯然， v 的一致估計量為：T

46、T 1T 1T vm m或m m (5-71)=ttvt vvt vt =v+1t =v+1其中， m t = xt et ， et 為OLS 估計的殘差。 于是， T 的估計量為：T 1T 21 T 1 T= +( + ) +( + ) + +(+ )012T 112TTTT 1(5-72) T v = +( + )0vvTv=1但一般而言，該估計量是不一致的。因為參數的個數大于樣本數，并且其增加速度比 n 要快，所以無法得到當 n 時的估計式。為了得到 T 的一致估計量，需要作一些限制。假設隨著 v ， v 會以相當快的速度趨向于 0 ，可以得到如下修正統(tǒng)計量：q(T ) T(5-73)=

47、 +( + )0vvv=1p其中，隨著 T , q(T ) 是一致估計，因為已經 假設 q(T ) 增加的足夠慢。至此，需要強調以下幾點：干擾項的自相關會隨著時間的拉長而逐漸的假設在多數情況下都是非常合理的。比如，最常用 AR(1) 模型 ( | 1 ) 就具有這個性質。因此，這里 q(T ) 的值越大就表明會包含較多的控制可能存在的序列相關問題，盡管序列相關形式是未知的。這里省略了 (T v)/ T 項，因為給定 q(T ) 相對于 T 僅緩慢增加，對于所有的 v F=0.0000Residual | .013753691156 .000088165R-squared=0.9860-+-Ad

48、j R-squared =0.9858Total | .983357802158 .006223784Root MSE= .00939ln_consump |Coef.Std.Err.tP|t|95% Conf.erval-+- ln_m1 |.282468.06554314.31 0.000.1530015.4119345ln_m2 |.8169021.0542766 15.05 0.000.7096902.924114_cons | -.2435428.1682721 -1.45 0.150 -.5759286.088843-+-rho |.9806157Durbin-Watson sis

49、tic (original)0.068613Durbin-Watson sistic (transformed) 1.50868325robust 采用Huber/White/sandwich 公式估計系數的方差。clusterhc2 hc3分組變量，如、地區(qū)等，用于估計僅有組間存在相關性，而組內獨立的情況。同在第四章中介紹的reg 命令的hc2, hc3 具有相同的含義。若需進行 5.6 小節(jié)中介紹的Newey-West 估計，可以采用newey 命令， 15 其基本語法格式如下：其中，選項 lag 對應 (5-74) 式中的 q 。所以，以下兩條命令的效果是相同的，都是采用 White公式

50、估計系數的方差。若選定q=2 ，則可采用如下命令進行估計：有的讀者可以對比一下這里得到的標準差和OLS 估計的結果，看看二者有何差異。至于當干擾項服從 AR(2)，AR(4) 或 MA(1) 過程時的估計方法，SA 中并沒有專門令可供采用。 不過，可以根據前面介紹的理論知識，很方便的寫出一些小程序進行估計。受限于篇幅，下面僅以 干擾項服從 MA(1) 過程為例 (見 5.5.4 小節(jié)) 進行說明，其它的處理命令均放置于附錄中。15 SA 的使用者們還提供了該命令的兩個擴展命令，分別為 nwest 和 newey2 。前者可以進行離散模型的 方差穩(wěn)健性估計。后者則可以應用到面板數據模型中，同時也

51、允許使用工具變量。qui reg ln_consump ln_m1 ln_m2 qui dwslocal rho = 1 - r(dw)/2local phi = rho/(1-rho)/*see equation 66*/*= to form the matrix Sigmaz =/*see equation 49*/ local T = _Ntempname a bmat a = phi*I(T-1)mat b = J(T,T,0)mat S1 = b mat S12,1 = amat S2 = b mat S21,2 = amat Sigma = (1+phi2)*I(T) mat Si

52、gma = Sigma + S1 + S2mat P = cholesky(Sigma)newey ln_consump ln_m1 ln_m2, lag(2)newey ln_consump ln_m1 ln_m2, lag(0) regln_consump ln_m1 ln_m2, robustnewey depvar varlist weight if in,lag(#) noconstant level(#)5.7 SA 實現26mat P = Pmkm n_consump , mat(y) mkm n_m1 ln_m2 , mat(X) mat y_star = P*ymat X_star = P*Xsvmat y_star , names(y) svmat X_star , names(x)reg y x*/*estimate the transformed m*/27本章附錄附錄 1: 本章使用的主tsset dwsereturn list testcrcar1