1、學習好資料 歡迎下載三角形相像 教學大綱：相像三角形是中學幾何的重要內容,包括相像三角形的性質、判定定理及其應用,是 中考必考內容,以相像三角形為背景的綜合題是常見的熱點題型,所以把握好相像三角形的基礎學問至關重要,本講就如何判定三角形相像,以及應用相像三角形的判定、性質來解決與比例線段有關的運算和證明的問題進行探究；【例題講解】一、如何證明三角形相像例 1 已知,如圖, D 為 ABC 內一點連結ED、AD ,以 BC 為邊在ABC 外作 CBE= ABD ,BCE= BAD 求證： DBE ABC 分析：由已知條件 ABD= CBE, DBC 公用；所以 DBE= ABC ,要證的DBE

2、和 ABC ,有一對角相等,要證兩個三角形相像,或者再找一對角相等,或者 找夾這個角的兩邊對應成比例；從已知條件中可看到 CBE ABD ,這樣既有相等的角,又有成比例的線段,問題 就可以得到解決；證明： 在 CBE 和 ABD 中, CBE= ABD, BCE= BAD CBE ABD BC AB=BE BD即BC BE=AB BD=AB BD DBE ABC 在 DBE 和 ABC 中,CBE= ABD, DBC= DBC CBE+ DBC= ABD+ DBC DBE= ABC 且BC BE學習好資料 歡迎下載例 2 矩形 ABCD 中, BC=3AB ,E、F,是 BC 邊的三等分點,連

3、結AE 、AF 、AC,問圖中是否存在非全等的相像三角形？請證明你的結論；AD分析：此題要找出相像三角形,那么如何查找相像三角形呢？下面我們來看一看相像三角形的幾種基本圖形：BEFC（1） 如圖：稱為 “ 平行線型 ” 的相像三角形BDAECBEADCDBACE2如圖：其中 1=2,就 ADE ABC 稱為 “ 相交線型 ” 的相像三角形；B2EAD4BEADBD1AE112C2CC3如圖： 1= 2, B= D,就 ADE ABC ,稱為 “旋轉型 ”的相像三角形；觀看此題的圖形,假如存在相像三角形只可能是“ 相交線型 ” 的相像三角形,及EAF 與 ECA 解：設 AB=a ,就 BE=E

4、F=FC=3a ,DA21由勾股定理可求得AE=2 a,在 EAF 與 ECA 中, AEF 為公共角,且AEEC2BEEFAEC所以 EAF ECA （兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相像）點撥： 以上兩例中都用了相像三角形的判定定理 強訓練；【練習】2,該定理的敏捷應用是教學上的難點所在,應留意加如圖：點 G 在平行四邊形學習好資料歡迎下載A42FDABCD 的邊 DC 的延長線上 ,AG 交 BC、BD 于點 E、F,就 AGD ；B3 E1CG點撥：（1）證明三角形相像的首選方法是“ 兩個角對應相等的兩個三角形相像”；（2）找到兩個三角形中有兩對角對應相等,便可按對應頂點的次序精確

5、地把這一對相像三角形登記來；二、如何應用相像三角形證明比例式和乘積式例 3 已知：如圖,在ABC 中, BAC=90 0,M 是 BC 的中點, DM BC 于點 E,交 BA 的延長線于2點 D.求證：（ 1） MA 2=MD ME ；（ 2）AE2 MEAD MDD證明：（ 1） BAC=90 0,M 是 BC 的中點,AMA=MC , 1=C,1 EDM BC, C=D=90 0-B,2 1=D, 2= 2,BM C MAE MDA ,MA ME, MA 2=MD ME MD MA2（2） MAE MDA ,AE MA,AE MEAE2 MA ME MEAD MD AD MA AD MD

6、 MA MD點撥： （1）通過一對相像三角形來證明比例線段,是證比例線段的一種基本方法；本例第（1）小題證明 MA 2=MD ME ,常常可以把其中的 MA 看作一對相像三角形的公共邊,再去查找與確定需證相似的三角形；（ 2）本例的關鍵是證明MAE MDA ,這種具有特別關系（有一個公共角和一條公共邊）的三角形的相像,在解題中應用許多,應從下面兩個方面深刻懂得：學習好資料 歡迎下載命題 1 如圖,假如 1=2,那么ABD ACB ,AB 2=AD AC ；命題 2 如圖,假如 AB 2=AD AC,那么ABD ACB , 1=2；C例 4 如圖 ABC 中, AD 為中線, CF 為任始終線,

7、 CF 交 AD 于 E,A1B交 AB 于 F,求證： AE ：ED=2AF ：FB；D分析 ：圖中沒有現成的相像形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考慮作平行線構造相像形；怎樣作？觀看要證明的結論,緊緊扣住結論中“ AE： ED” 的特點,作DG BA 交 CF 于 G,得 AEF DEG ,AEAF；與結論AE2AFAF相比較,明顯問題轉化為證DEDGEDFB1 2BFDG1FB；2證明： 過 D 點作 DG AB 交 FC 于 G, 就 AEF DEG；（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線所得三角形與原三角形相像）AE DEAF DG（1） D 為 BC 的中點,且DG

8、BFG 為 FC 的中點就 DG 為 CBF 的中位線,DG1BF（2）2將（ 2）代入（ 1）得：AEAF2AFDE1 2BFFB點撥： （1）為了得到比例式,通常用過一點作某始終線的平行線的方法,在作平行線時必需留意緊扣與結論有關的線段；學習好資料歡迎下載” 的方法,即構造相像形,寫（ 2）在探究證題思路的過程中,我們可以實行“做做比比,比比做做出比例式時要始終留意待證結論中的有關線段,并準時與待證結論中的有關線段進行比較,以便確定下 一步需要解決什么問題；三、如何用相像三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等；例 5 已知：如圖 E、F分別是正方形ABCD 的邊 AB 和 AD 上的點,且

9、EBAF1,求證：AEF= FBD ABAD3分析： 要證角相等,一般來說可通過全等三角形、相像三角形,等邊對等角等方法來實現,此題要證的兩個角分別在兩個三角形中,可考慮用相像三角形來證,但要證的兩個角所在的三角形明顯不行,所以證明此題的關鍵是構造相像三角形,能相像 （一個在直角三角形中,另一個在斜三角形中）證明： 作 FGBD,垂足為 G, 設 AB=AD=3k AFD就 BE=AF=k ,AE=DF=2k , BD=32 k ADB=450, FGD=900G E DFG=450DG=FG=DF2 kBC2BG=32 k2k22kAFFG1AEBG2又 A= FGB=900 AEF GBF

10、 AEF= FBD 點撥： 本例是通過構造一對相像三角形,而證明兩個角相等,而證明兩個三角形相像又運用了代數法,設參數,運算邊長,從而證明兩個三角形的對應邊成比例,運用代數法解幾何題一般在遇到正方 形和正三角形的條件時成效很好 . 學習好資料 歡迎下載例 6 直角三角形 ABC 中, ACB=90 ,BCDE 是正方形, AE 交 BC 于 F,FG AC 交 AB 于 G,求證： FC=FG 分析：要證明 FC=FG,從圖中可以看出它們所在的三角形明顯不全等,但存在較多的平行線的條件,因而可用比例線段來證明；要證明 FC=FG,第一要找出與 FC、 FG 相關的比例線段,圖中與 FC、FG相

11、關的比例式較多,就應挑選與 FC、FG 都有聯系的比作為過渡,最終必需得到 FC FG（“ ？”代表. .相同的線段或相等的線段）,便可完成證明；D證明： FG AC BE, ABE AGF C就有GF BEAF AED AFC AGFBEAE而 FC DE 就有CF DEAFGF BECFAFAEDEAE又 BE=DE （正方形的邊長相等）DF BEGF,即 GF=CF ；BE點撥： 應用比例線段證明兩直線平行或兩線段相等時,（1）要留意假如相關的比例式較多,一時難以作出挑選,應將全部相關的比例式都寫出來,然后再認真對比、分析選出有用的；（2）要留意比例性質的敏捷運用,善于總結比例式變換時的方法和技巧；變化時,要頭腦清醒,思路清楚,一個字母也不放過,并且每一步都要有根有據,切不行無依據的亂變,或者相當然地硬變；【練習】學習好資料歡迎下載DSRQC1.在平行四邊形ABCD 內, AR 、BR、CP、DP 各為四角的平分線,求證： SQ AB ,RP BC APB2.已知 A 、C、 E 和 B、F、D 分別是 O 的兩邊上的點,且E AB ED,BC FE,求證： AF CD C AOBFD【課后作業】時間： 25 分鐘1、 已知 ABC 中, AB=AC , A=36 ,BD 是角平分線,A求證：ABC BCD DB C學習好資料歡迎下載FE 2、 ABC 中,在