1、2.4粒子濾波例子濾波是以貝葉斯濾波和重要性采樣為基本框架的。因此，想要掌握例子濾波，對于上述兩個基本內容必須有一個初步的了解。重要性采樣呢，其實就是根據對粒子的信任程度添加不同的權重，添加權重的規則就是：對于我們信任度高的粒子，給它們添加的權重就相對大一些；否則，就加的權重小一些。根據權 重的分布形式，實際上就是它與目標的相似程度。粒子濾波的結構實際上就是加一層重要性采樣思想在里面的蒙特卡羅方法（Monte Carlo method,即以某時間出現的頻率來指代該事件的概率）。該方法的基 本思想是用一組樣本（或稱粒子）來近似表示系統的后驗概率分布，然后使用這 一近似的表示來估計非線性系統的狀態

2、。采用此思想，在濾波過程中粒子濾波可 以處理任意形式的概率，而不像Kalman濾波只能處理線性高斯分布的概率問題。 粒子濾波的一大優勢也在于此，因此近年來該算法在許多領域得到成功應用。貝葉斯濾波理論貝葉斯濾波泛指一類以貝葉斯定理為基礎的濾波技術，其根據所獲得的觀測，對狀態后驗概率分布、狀態先驗概率分布、狀態估計值以及狀態預測值等感興趣 量進行遞歸計算。假設有一個系統，我們知道它的狀態方程，和測量方程如下：=（,（狀態方程）（2.4.1）=（,（測量方程）（2.4.2）其中x為系統狀態，y為測量到的數據，f,h是狀態轉移函數和測量函數，v,n 為過程噪聲和測量噪聲，噪聲都是獨立同分布的。由貝葉斯

3、理論可知，狀態估計問題（目標跟蹤、信號濾波）就是根據之前一 系列的已有數據（測量數據）遞推的計算出當前狀態的可信度，這個可信度就是概率公式p（ ）,它需要通過預測和更新兩個步奏來遞推的計算。預測過程是利用系統模型（狀態方程2.4.2）預測狀態的先驗概率密度，也就是 通過已有的先驗知識對未來的狀態進行猜測，即 p（ ）。更新過程則利用 最新的測量值對先驗概率密度進行修正， 得到后驗概率密度，也就是對之前的猜 測進行修正。處理這些問題之前，假設系統的狀態轉移服從一階馬爾科夫模型，即當前時 刻的狀態x（k）只與上一個時刻的狀態x（k-1）有關，k時刻測量到的數據y（k）只與當 前的狀態x（k）有關。

4、p(),先不知k時刻的測量數據p()=更新階段：當獲取 k時刻的觀測值p( ),得到后驗概率密度p(預測階段：為了進行遞推，不放假設已知k-1時刻的概率密度函數 ,預測狀態x(k)出現的概率為：。(243)后，利用觀測值修正先驗概率密度這就是濾波了。=(2.4.4)其中歸一化常數：可得：p( )= (2.4.6)綜上所述，(2.4.3)和(2.4.6)實現了由k-1時刻后驗濾波概率p(近k時刻后驗濾波概率p()的遞推更新過程。由測量方程(2-16)可知y(k)只與x(k)有關，p()也稱之為似然函數，只和測量噪聲n(k)的概率分布有關：p( )=(2.4.7)蒙特卡洛采樣蒙特卡洛方法(Mont

5、e Carlo Method)也稱統計模擬方法，是 20世紀40年 代中期由于科學技術的發展和電子計算機的發明而被提出的一種以概率統計理 論為指導的一類非常重要的數值計算方法。蒙特卡洛方法的基本原理是，事件的概率可以用大量試驗中發生的頻率來估 計，當樣本容量足夠大時，可以認為該事件發生的頻率即為其概率。因此，可以 先對影響其可靠度的隨機變量進行大量的隨機抽樣，然后把這些抽樣值一組一組地代入功能函數式，確定結構是否失效，最后從中求得結構的失效概率。蒙特卡 洛方法在金融工程學、宏觀經濟學、計算物理學(如粒子運輸計算、量子熱力學 計算、空氣動力學計算)等領域應用廣泛。假設我們能得到一些服從一個目標概

6、率分布p(x)的樣本(，)(每個樣本看成一個粒子)。那么這些粒子作為一部分自變量的某些函數的期望值：印(x)=(2.4.8)蒙特卡洛采樣的思想就是用部分樣本的平均值代替積分，求期望：Ef(x)(2.4.9)在上一節中，貝葉斯后驗概率的計算里要用到積分(2.4.5),但這個積分很 難直接算出。為了解決這個積分難的問題，可以用蒙特卡洛采樣來代替計算后驗 概率。假設能從后驗概率中采樣到N個樣本，那么后驗概率的計算可近似表示為:()=-=p( ) (2.4.10)當前狀態的期望值：Ef( ) =( )d =-(2.4.11)通過這些采樣的粒子(樣本)的狀態值直接平均就得到了期望值，也就是濾波后的值，這

7、里的f(x)就是每個粒子的狀態函數。這就是粒子濾波了，只要從 后驗概率中采樣很多粒子，用它們的狀態求平均就得到了濾波結果。貝葉斯重要性采樣在蒙特卡洛采樣中，我們從后驗概率中采集到了N個樣本(粒子)，但事實上后驗概率不知道啊，怎么從后驗概率分布中采樣！所以直接應用是行不通的。無法直接從后驗概率分布p()中采樣，就從一個已知的可以采樣的分布q()里去采樣：那么上節里當前狀態的期望值： TOC o 1-5 h z Ef( ) -( )d=q( )d=q( )d=q( )d(2.4.12)其中權值=(2.4.13)(2.4.14)一 (2.4.15)用樣本的平均來求它們的期望,(2.4.16)由因為測

8、量數據的概率 P()=(2.4.12)可以進一步寫成Ef()=所以，通過采樣 N個樣本一(2.4.15)可近似為Ef()=其中=(2.4.17)貝葉斯重要性采樣提出了重要性概率密度的概念，從一個已知分布中進行采 樣得到獨立同分布的采樣點，取代從后驗概率密度中進行采樣，從理論上提供了 解決采樣難的方法。2.4.4序列重要性采樣(SIS)貝葉斯重要性采樣解決了在不知后驗概率的前提下，無法從后驗概率采樣的問題。但估計后驗濾波概率需要利用所有的觀測數據，每次新的觀測數據到來都得重新計算，每個粒子的權重()也需重新計算，這樣會造成計算量過大。為了解決這一問題，人們提出了序列重要性采樣( Sequenti

9、al Importance Sampling, SIS)。假設重要性概率密度可以分解為=(2.4.18)設系統的狀態是一個馬爾科夫過程，且給定系統狀態下各次觀測獨立，則有=(2.4.19)=(2.4.20)止匕時，通過參考分布q()得到樣本集以及從q( ,)得到樣本點，這樣就可得到新的樣本集粒子權值的遞歸形式如下=(2.4.21)通常，還需要對粒子權值進行歸一化處理，即=(2.4.22)K時刻，系統狀態的估計值可表示為=(2.4.23)序列重要性采樣算法(SIS)以遞推的方式實現了貝葉斯重要性采樣，以遞 歸更新的方式實現了對粒子權值的重新計算。2.4.5SIR算法及粒子退化在應用SIS濾波的過

10、程中，存在一個粒子退化的問題。就是經過幾次迭代 以后，很多粒子的權重都變得很小，可以忽略了，只有少數粒子的權重比較大。并且粒子權值的方差隨著時間增大， 狀態空間中的有效粒子數較少。隨著無效采 樣粒子數目的增加，使得大量的計算浪費在對估計后驗濾波概率分布幾乎不起作 用的粒子上，使得估計性能下降。克服序列重要性采樣算法權值退化現象最直接的方法是增加粒子數， 而這會 造成計算量的相應增加，影響計算的實時性。因此，一般采用以下兩種途徑：(1) 選擇合適的重要性概率密度函數；(2)在序列重要性采樣之后，采用重采樣方法。對于第一種方法：選取重要性概率密度函數的一個標準就是使得粒子權值的 方差 最小。Dou

11、cet等給出的最優重要性概率密度函數為：q()= p()=(2.4.24)此時，粒子權值為=(2.4.25)以作為重要性概率密度函數需要對其直接采樣在實際情況中，構造最優重要性概率密度函數的困難程度與直接從后驗概率分布中抽取樣本的 困難程度等同。因此我們更習慣采用重采樣方法。重采樣的思路是：既然那些權重小的不起作用了，那就不要了。要保持粒子 數目不變，得用一些新的粒子來取代它們。找新粒子最簡單的方法就是將權重大 的粒子多復制幾個出來，并且權重越大的粒子復制的次數越多。有了重采樣，就有了基本的粒子濾波算法。1993年，Gordon等人最先提出了一種名為 Bootstrap的粒子濾波算法。該算 法在每步迭代過程中，根據粒子權值對離散粒子進行重采樣，在一定程度上克服 了粒子退化的問題。在運算思想上，該算法與