1、關于線性離散系統與Z變換第一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月第6章 離散控制系統與Z變換6.1 概述6.2 采樣過程與采樣定理6.3 Z變換和Z反變換6.4 脈沖傳遞函數6.5 離散系統的穩定性分析6.6 數字控制器與離散PID控制第二張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6.1 概述在連續控制系統中，所有傳遞的信號（控制信號、反饋信號、偏差信號）都是時間的連續函數；而在離散控制系統中，上述信號不是時間變量的連續函數，而是時間上離散的脈沖序列或數碼，即離散信號。離散信號通常是按照一定的時間間隔對連續的模擬信號進行采樣而得到的，這樣的信號又稱為采樣信號。第三張，PPT共八十四頁，創

2、作于2022年6月通常把用采樣開關（采樣器）將連續信號轉換為脈沖序列形式的離散系統稱為采樣控制系統或脈沖控制系統。把用模-數轉換器（A/D）將連續信號轉換為數字序列形式并用數字計算機或控制器進行控制的離散系統稱為數字控制系統或計算機控制系統。第四張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-1 為典型的閉環采樣控制系統原理圖連續偏差信號瞬時脈沖幅值實現脈沖序列轉換為連續信號圖6-1典型的閉環采樣控制系統原理圖第五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-2 為典型的計算機控制系統原理圖圖6-2 典型計算機控制系統原理圖第六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-3 為計算機控制

3、系統結構圖理想采樣開關圖6-3 計算機控制系統結構圖第七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月離散控制系統廣泛應用的主要原因：（1）由數字計算機構成的數字校正裝置易于通過改變計算程序而靈活地實現控制規律的改變 （如自適應、最優化、智能控制等），從而可以大大地提高控制系統的性能；（2）采用高靈敏度的控制元件，可以提高系統的控制精度；（3）離散信號的傳遞可以有效地抑制噪聲，提高系統的抗干擾能力；（4）用一臺計算機分時控制若干個被控對象，以提高設備的利用率。第八張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6.2 采樣過程與采樣定理一、采樣過程二、采樣定理 采樣信號的拉氏變換 采樣信號的頻譜 采樣定

4、理三、信號保持第九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月一、采樣過程采樣過程，即按照一定的時間間隔對連續信號進行采樣，將其變換為在時間上離散的脈沖序列的過程。把連續信號轉換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又稱采樣開關。第十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-4 采樣過程采樣器每隔時間T瞬時閉合一下立即打開，閉合的時間為，當信號x(t)加在輸入端時，在輸出端得到的是開關閉合瞬時輸入信號x(t)的幅值，在開關打開的時間內，輸出端沒有信號。圖6-4 采樣過程第十一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-5 采樣信號的調制過程圖6-5 采樣信號的調制過程第十二張，PPT共八十四頁，

5、創作于2022年6月實際脈沖序列數學表達式:當實際脈沖持續時間h遠遠小于采樣周期T0時，實際脈沖序列可近似用平頂脈沖序列表示。第十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月其中表示發生在nT0時刻單位強度脈沖 表示發生在nT0時刻強度為(nT0)脈沖 當脈沖持續時間h遠遠小于小于周期T0，同時也遠遠小于用以描述數字控制系統中具有連續工作狀態部分慣性的時間常數時，式中表示發生在t=nT0時刻的具有單位強度的理想脈沖，即 第十四張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月從物理意義上講，上述采樣過程可以理解為脈沖調制過程。采樣器是一種理想脈沖發生器，通過它將連續函數調制成理想脈沖序列。第十五張，P

6、PT共八十四頁，創作于2022年6月二、采樣定理1、采樣信號的拉氏變換2、采樣信號的頻譜3、采樣定理第十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月1、采樣信號的拉氏變換第十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月2、采樣信號的頻譜由于采樣信號x*(t)只描述了x(t)在采樣瞬時的數值，所以X*(s)不能給出連續函數x(t)在采樣間隔之間的信息。因此，采樣信號的頻譜與連續信號的頻譜相比要發生變化。研究采樣信號的頻譜，目的是找出X*(s)與X(s)之間的相互聯系。第十八張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月 圖 6-7連續信號的頻譜通常連續信號x(t)的頻譜|X(j)|是單一的連續頻譜，

7、如圖6-7所示。其中max為連續頻譜的最大截止頻率； 第十九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月離散信號x*(t)的頻譜則是以采樣角頻率s為周期的無窮多個頻譜之和，如圖6-8所示，其中n=0時，|X(j)|為采樣頻譜的主頻譜，其余頻譜（n=1,2,）都是由于采樣而引起的高頻頻譜。第二十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-8 離散信號的頻譜根據采樣角頻率s的大小，采樣頻譜可能有兩種情況：一種是采樣角頻率s大于兩倍的連續頻譜的最大截止頻率max，即s2max，此時，采樣信號的頻譜不會發生重迭，如圖6-8(a)所示；另一種情況是當s2max時，采樣信號的頻譜相互發生重迭，如圖6-8

8、(b)所示。圖6-8 離散信號的頻譜第二十一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖7-7 離散信號的頻譜當s2max時，如果用一個如圖6-8（a）虛線所示的低通濾波器濾掉|max的高頻分量，那么在濾波器輸出端便可得到|X(j)|的連續頻譜，除了幅值變化1/T倍外，頻譜形狀沒有畸變，從而可以將原信號恢復出來。當s2max,，而不取恰好等于2max的情形。第二十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月三、信號保持（1）在離散控制系統中，把離散脈沖序列較準確的轉變為連續信號的過程稱為信號復現過程。實現復現過程的裝置稱為保持器。從數學上說，保持器的任務是解決各采樣點之間的插值問題。第二十四張

9、，PPT共八十四頁，創作于2022年6月三、信號保持（2）在滿足采樣定理的條件下，采用理想濾波器濾去各高頻分量，保留主頻譜，就可以無失真的復現采樣器的輸入信號。理想濾波器實際上是不存在的。工程上，通常只能采用接近于理想濾波器的低通濾波器來近似代替。第二十五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-9 零階保持器的輸出特性 零階保持（滯后）圖6-9 零階保持器的輸出特性第二十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-10 零階保持器的頻率特性 圖6-10 零階保持器的頻率特性圖第二十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月圖6-10 零階保持器的頻率特性 第二十八張，PPT共八

10、十四頁，創作于2022年6月6.3 Z變換和Z反變換Z變換是從拉氏變換引伸出來的一種變換方法。利用Z變換可將描述離散系統動態過程的差分方程轉換為代數方程，使求解過程大為簡化。因此，Z變換成為分析離散控制系統的重要數學工具。第二十九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6.3 Z變換和Z反變換一、Z變換的定義二、Z變換的基本定理 1、線性定理 2、滯后定理 3、超前定理 4、初值定理 5、終值定理 6、位移定理三、Z反變換第三十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月一、Z變換的定義(1)由連續函數x(t)得拉氏變換為設x(t)的采樣信號為x*(t)，則其拉氏變換式為第三十一張，PPT共八

11、十四頁，創作于2022年6月一、Z變換的定義(2)在上式中，e-Ts是s的超越函數，不便直接運算。為了便于應用，令變量 z=eTs （6-16）將式（6-16）代入式（6-15）中，則采樣信號x*(t)的Z變換定義為第三十二張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月一、Z變換的定義(3)Z變換是拉氏變換的一種變形。Z變換只是表示了連續信號在采樣時刻的特性，并不能反映采樣時刻之間的特性。上式中Zx(t)是為了書寫方便，并不意味著對連續信號x(t)取Z變換，而是仍指采樣信號x*(t)的Z變換。第三十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月例6-1 求單位階躍函數l(t)的Z變換。第三十四張，P

12、PT共八十四頁，創作于2022年6月例6-2 求指數函數e-t的Z變換。第三十五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月例6-3第三十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月對于任意G(s)，只要它為s的有理函數，且分母多項式能夠分解因式時，都可以通過部分分式法，將其分解為部分分式，然后求出相應的Z變換式。附錄中列出了常用時間函數的Z變換和拉普拉斯變換式，利用此表可以根據給定的時間函數或拉普拉斯變換式直接查出對應的Z變換。第三十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月二、Z變換的基本定理1、線性定理2、滯后定理3、超前定理 4、初值定理5、終值定理6、位移定理第三十八張，PPT共八十

13、四頁，創作于2022年6月1、線性定理Z變換也遵從線性函數的齊次性和迭加性。第三十九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月2、滯后定理(平移定理)若函數x(t-mT)比函數x(t)右移（滯后）m個采樣周期，且x(t)的Z變換為X(z),則有滯后定理說明，原函數在時域中滯后m個采樣周期，相當于其Z變換乘以z-m。 顯然，算子z-m有明確的物理意義：z-m代表時域中的滯后環節，它將采樣信號滯后m個采樣周期。第四十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、超前定理(正偏移定理)若函數x(t+mT)比函數x(t)左移（超前）m個采樣周期，且x(t) 的Z變換為X(z)，則超前定理說明，原函數在

14、時域中超前m個采樣周期，相當于其Z變換乘以zm。第四十一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月4、初值定理第四十二張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月5、終值定理第四十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6、復數位移定理第四十四張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月三、Z變換方法1、級數求和法2、部分分式法3、留數計算法 第四十五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月2.部分分式法設連續時間函數x(t)的拉氏變換X(s)為有理函數，即將X(s)展成部分分式形式可得由拉氏反變換可知, 的時間函數為第四十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月可得, (s)的Z變換為

15、 的Z變換為例6.3、6.4第四十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3.留數計算法設連續時間函數x(t)的拉氏變換X(s)及其全部極點pi（i=1,2,3)為已知，則連續時間函數x(t)的Z變換可由留數計算法求得例6.5、6.6第四十八張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月四、Z反變換第四十九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月2.部分分式法與應用部分分式法求拉氏反變換相似。與它對應的時間函數為式中Z變換為所以x(t)的變換為可得第五十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月例6.11、6.123. 留數計算法 由反演積分法推導出，參見胡壽松（第四版）教材。 例6.13、

16、6.14、6.15根據 的極點分布情況， （1）極點不同時，第五十一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月五、連續系統的離散化方程差分方程差分方程是用來描述離散化系統的一種數學模型。對于一般的離散系統，如果它的Z變換可以寫成第五十二張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月則根據Z反變換，它的差分方程可以寫成如下例 6.16、6.17第五十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月六、用Z變換法求解差分方程 用Z變換法求解差分方程，與用拉氏變換法求解微分方程類似。 采用Z變換法求解差分方程的實質是將差分方程變換成以z為變量的代數方程，通過該代數方程，獲得差分方程的解。第五十四張，PPT共

17、八十四頁，創作于2022年6月六、用Z變換法求解差分方程設x(k)的Z變換為Zx(k)=X(z)，則x(k+1)的Z變換為同樣，當m為正整數時，則有例 6.18、6.19第五十五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6.4 脈沖傳遞函數1、脈沖傳遞函數的定義2、開環系統的脈沖傳遞函數 （串聯時的脈沖傳遞函數）3、閉環系統的脈沖傳遞函數第五十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月1、脈沖傳遞函數定義第五十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月1、脈沖傳遞函數定義系統輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號的Z變換之比。脈沖傳遞函數求解步驟：1）求出系統的傳遞函數G(s).2）根據拉氏變

18、換，求脈沖響應函數g(t).3）計算例6.20第五十八張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月2、開環系統的脈沖傳遞函數（串聯時的Z傳遞函數）第五十九張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的脈沖傳遞函數第六十張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的脈沖傳遞函數第六十一張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的脈沖傳遞函數第六十二張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月第六十三張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月第六十四張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的Z傳遞函數第六十五張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的Z傳遞函數第六十六張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月3、閉環系統的Z傳遞函數第六十七張，PPT共八十四頁，創作于2022年6月6.5 離散系統的穩定性分析一、s平面到z平面之間的映射二、線性離散系統穩定性的充要條件三、線性離散系統穩定性的判別方法第六十八張，PPT共八十四頁，創作于2