1、計算材料學II 1 尚 家 香新主樓 D431房間82316500 (O)2. 教學內容 量子力學基礎電子結構計算方法及應用分子動力學方法及應用3. 教學安排及方式 4. 考核方式 考試：成績按100分計。其中期末考試占80，平時成績占20。第一原理：First-principles, ab initio calculation分子動力學Monte Carlo 方法相場相圖計算有限元方法 尺寸基本單元：宏觀(Macroscopic)介觀(Mesoscopic)微觀(Microscopic)時間尺度：ps (10-12s) 年分子動力學腐蝕、疲勞、蠕變晶體結構層內晶粒層狀結構試樣電子結構2.3

2、經典物理學的困難和量子力學產生19世紀末，物理學普遍存在一種樂觀情緒，認為對復雜紛紜的物理現象的本質的認識已經完成。牛頓力學熱力學和統計物理麥克斯韋方程：電、磁、光兩朵烏云經典物理學在微觀領域遇到困難： （1）不能解釋黑體輻射的能譜、比熱容隨溫度變化 （2）光的波動說無法解釋光電效應 （3）不能給出原子的穩定結構，不能說明原子光譜 的規律。為什么天體能夠無摩擦穿行于“以太”？為什么無法測量“以太”速度？黑體輻射的紫外災難？1. 黑體輻射問題問題的提出：研究黑體輻射與周圍物體處于平衡狀態 時的能量密度隨波長的分布曲線與經典理論不符合黑體：一個物體能夠全部吸收投射到它上面的輻射而沒有反射。圓圈代表

3、實驗數據. 基于熱力學基于經典電動力學統計物理學理論物理學家試圖用經典物理來說明能量分布規律，都沒有成功！維恩1893年用熱力學并加上一些假設，得到維恩公式：瑞金公式：只在高頻段與實驗符合，低頻不符合Rayleigh and Jeans利用電動力學導出了另一式子：在低頻段與實驗符合，而在高頻段不符合。在極高頻率時能量趨于無窮大。紫外災難普朗克(理論物理學家)，1900年研究，從實驗著手，密切關注實驗進展。從魯本斯得到信息。普朗克公式頻率低頻率高維恩公式: 瑞金公式普朗克并不滿足找到一個經驗公式，探求理論基礎？經過三個月的緊張工作，試圖從熱力學普遍理論的基礎上推出這個與實驗完全一致的公式。但是失

4、敗了最后只好“孤注一擲”，采用玻爾茲曼統計分布來試一試，即能量分成一份一份地分給有限個諧振子。普朗克量子假說： 對于一定頻率的輻射，物體只能以 h 為能量單位吸收或發射它，h是一個普適常數。 即物體吸收或發射電磁輻射時，只能以量子的方式進行，每個量子的能量為 在此基礎上，推導出：普朗克根據黑體輻射的數據常數，計算出普朗克常數1900年12月14日，普朗克在德國物理年會上報告了他的結果，完成了從經典物理學到量子理論的第一個飛越，開創了量子理論的先河。1918年獲獎普朗克常數相對論力學退化為牛頓力學h的作用可以忽略，量子力學退化為經典力學2. 光電效應 1902年Lenard發現了光電效應： 19

5、05年獲獎 (1) 要從一個給定的金屬表面獲得電子，只有大于 一定頻率的入射光才是有效的；(2) 發射出來的電子最大速度不依賴于光的強度，只與光的波長有關，波長減小時電子動能增加。1905年Einstein在普朗克量子假說的啟發下，大膽地提出了光量子的假說。光是由光量子組成，每個光量子的能量與頻率的關系為：根據能量守恒定律，得出Einstein 光電方程還沒有得到承認；但同時實驗工作者開展了全面工作。密立根(1905)1914從實驗上證實了Einstein 光電方程。1919年康普頓散射實驗進一步證明光有粒子性，（1927年獲獎） 高頻率的X 射線被輕元素中的電子散射后,波長隨入射角的增大而增

6、大.按照經典電動力學,電磁波被散射后波長不應改變.如果把這個過程看作是光子與電子碰撞的過程,就可以解釋這個過程.以上三個實驗說明： 光 既有波動性又有粒子性 即波粒二象性Einstein1921年獲獎密立根1923年獲獎3. 原子結構的困難（1）Rutherford 提出了原子的有核模型，1908化學獎 1910發現原子的有核模型原子的穩定性問題：原子就不穩定，最后落入原子核中，致使整個原子塌陷而實際上并非如此。電子繞原子核做高速旋轉（2）原子光譜原子光譜是由一條條斷續的光譜線構成的。對于確定的原子，在各種激發條件下得到的光譜線是一樣的。1885年Balmer 給出了計算氫原子光譜的公式為：根

7、據經典物理，如果電子繞原子核做高速旋轉，輻射頻率應該是連續的。而且原子也不穩定。無法解釋實驗現象？（3）玻爾的原子結構理論玻爾量子論（假設）原子中電子只能處于一系列特定軌道電子在這些軌道上可以穩定運動，不輻射電磁波，但可以突然從一個軌道躍遷到另一個軌道，同時吸收或放出能量（電磁波），頻率為量子化條件：廣義動量廣義坐標周期運動積分電子落入核中 光譜連續復雜光譜 光譜強度 有核模型經典模型 量子化條件 玻爾理論導致困難導致玻爾理論的局限：將微觀粒子看成經典力學中的 質點，不能解釋稍復雜原子(氦)的譜線。也 不能給出處理譜線強度的方法。2.4 微粒的波粒二象性1924年，法國青年德布羅意逆向思維：光

8、：波 =粒子 ； 反之： 粒子波？大膽提出：實物粒子具有波動性. 波矢運動方向單位矢量其中德布羅意關系德布羅意在他的博士論文提出：在一定的情形下，任一運動質點能夠被衍射。穿過一個相當小的開孔的電子群會表現為衍射現象。正是這一方面，有可能尋得我們觀點的實驗證據。問：有沒有辦法驗證這一新的觀點？答：通過電子在晶體上的衍射實驗，應當有可能觀察到這種波動的效應。被1927年戴維革末的電子衍射實驗證實德布羅意1929年獲得Nobel獎電子被有序合金Cu3Au衍射照片電子具有波動性，驗證德布羅意的預言。根據德布羅意關系：可以計算任何實物粒子的波長（物質波）對于自由粒子，動能和動量都是常量，所以與自由粒子對

9、應的德布羅意波長不變，因此可以用平面波來描述：用復數表示波函數自由粒子的波函數用復數表示：為什么？求自由粒子的德布羅意波長設自由粒子的動能為E，粒子的速度遠小于光速，有則德布羅意波長為：如果電子用v伏電壓加速，則代如上式得:如v=150伏，則如v=10000伏，則所以要觀察電子衍射，用普通光柵不行，必須采用晶體作光柵。例1. 設有一個重為m=50kg的短跑運動員，以v=10ms-1 的速度運動，求其相應的德布羅意波長。解 : 該運動員的動量為P=mv=500kg. m. s-1相應的德布羅意波長為:答:運動員相應的德布羅意波長為1.521036m。討論：他的德布羅意波長與自身的尺寸相比太小。例

10、2. 求能量為100eV的自由電子的德布羅意波長。解：由計算德布羅意波長公式可知討論：電子的德布羅意波長遠大于它本身的 尺寸，它的波動性不能忽略。答:略（利用德布羅意關系式，討論波動性與粒子性的關系.）2.5 波函數 薛定鍔方程 (1) 薛定鍔方程 其中E為能量本征值， 為描述體系狀態的波函數，H為體系的哈密頓量， 定態問題，即 不隨時間改變，可得到定態薛定鍔方程 (2) 定態薛定鍔方程 定態薛定諤方程推導有一種特殊情況，勢場不隨時間而變:用分離變量法解方程設VVVV左、右兩邊變量獨立，兩邊必為常數，記為E同除上式兩端得VV其中E的物理意義是粒子的總能量由（2）V方程定態薛定諤方程對給一個具體

11、問題，就給定一個 ，由(3)解出 滿足方程能量本征函數(4)(6)(5)(7)VVV能量算符哈密頓算符能量本征方程能量本征函數， 本征值(7)V 若能量本征方程 的本征值為：本征函數為：則體系的第n個定態波函數為通解應為其中Cn由初始條件定波函數絕對值的平方為粒子在空間一點出現的幾率，由波函數可以得出體系的各種性質 ，因此說波函數描寫體系的量子狀態表示在r點處 的體積元xyz中找到粒子的幾率.歸一化條件(3) 波函數統計解釋波函數的標準條件: 有限性, 連續性和單值性邊界條件和歸一化條件. (4) 態疊加原理 也是可能的態。如果是體系的可能狀態，則他們的線性疊加態迭加原理推廣到更一般的情況：如

12、果 是粒子可能的態，則意義: 當體系處于線性疊加態時, 粒子既可處在1態,也可處于2態. 測量時將會發現, 粒子分別以一定的幾率存在2.6 算符和力學量 3 1.算符：作用在一個函數上變成另一個函數的符號。 通常使用 表示算符，則其定義可表示為：2. 本征值方程如果算符 作用于一個函數 ，結果等于 乘以一個常數的本征值本征函數本征值方程動量算符：坐標算符：能量與哈密頓算符相對應怎樣得到的？如果量子力學中的物理量F在經典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符 由經典表示式 將P換成算符 即得算符與它表示的力學量之間的關系？體系處于哈密頓算符本征態，能量有確定值，這個值就是H在本征態時本征值

13、。只有量子力學中才有, 而經典力學中沒有的力學量(自旋)算符的引進到后面再講.3. 厄米算符定義：如果 滿足下式，叫厄米算符其中， 和 都是任意函數， x 代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個區域。基本假設：如果算符力學量 表示力學量F，那么 當體系處于 的本征態時，力學量有確定值， 這個值就是 在這個態中的本征值。力學量的數值都是實數。厄米算符的性質：（1) 厄米算符的本征值是實數（2）厄米算符屬于不同本征值的本證函數相互正交屬于動量算符不同本征值的兩個本征函數相互正交一般地，如果兩函數 滿足關系式：式中積分是對變量變化的全部區域進行的，則稱相互正交。可以證明:厄米算符的屬于不同本征值的兩個本征函數相互正交。（3）厄米算符本征函數組成完全系 如果一套本征函數 能將任一函數 線性組合而成則這套本征函數就是一個完全系。厄米算符本征函數組成正交歸一完全系4. 力學量與算符的關系（基本假定）量子力學中表示力學量的算符都是厄米算符，他們的本征函數組成完全系。當體系處于波函數 所描寫的