1、7.3.2離散型隨機變量的方差課標要求素養要求1.通過具體實例，理解離散型隨機變量的分布列及方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機變量的方差，并能解決一些實際問題.通過研究離散型隨機變量的方差，進一步提升數學抽象及數據分析素養.新知探究甲、乙兩個工人生產同一產品，在相同的條件下，他們生產100件產品所出的不合格產品數分別用X，Y表示，X，Y的分布列如下：X0123P0.60.20.10.1Y0123P0.50.30.20如何比較甲、乙兩人的技術？問題情境中的問題，我們可以分別求出甲、乙兩人不合格品數的均值，但是兩人的均值相等，我們應如何更準確地比較兩個工人的技術水平？提示我們知道，當樣本平均值相

2、差不大時，可以利用樣本方差考察樣本數據與樣本平均值的偏離程度1離散型隨機變量的方差、標準差正確求解隨機變量的方差的關鍵是正確求解分布列及其期望值設離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2xixnPp1p2pipn考慮X所有可能取值xi與E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2 ，(xnE(X)2 ，因為X取每個值的概率不盡相同，所以我們用偏差平方關于取值概率的加權平均，來度量隨機變量X取值與其均值E(X)的偏離程度，我們稱D(X)(x1E(X)2 p1 (x2E(X)2 p2(xnE(X)2pneq o(,sup6(n),sdo4(i1) (xiE(X)2pi為隨機變量X的方差，有時

3、也記為Var(X)，并稱eq r(D（X）)為隨機變量X的標準差，記為(X)2幾個常見的結論(1)D(aXb)a2D(X)(2)若X服從兩點分布，則D(X)p(1p)拓展深化微判斷1離散型隨機變量的方差越大， 隨機變量越穩定()提示隨機變量的方差越小，隨機變量越穩定2若a是常數， 則D(a)0.()3離散型隨機變量的方差反映了隨機變量偏離于期望的平均程度()微訓練1若隨機變量X服從兩點分布， 且成功的概率p0.5, 則E(X)和D(X)分別為()A0.5和0.25 B0.5和0.75C1和0.25 D1和0.75解析E(X)p0.5，D(X)p(1p)0.50.50.25.答案A2設隨機變量X

4、的方差D(X)1，則D(2X1)的值為()A2 B3 C4 D5解析D(2X1)4D(X)414.答案C微思考離散型隨機變量的方差越大，隨機變量越穩定還是方差越小越穩定？提示離散型隨機變量的方差越小隨機變量越穩定.題型一求離散型隨機變量的方差角度1用定義求離散型隨機變量的方差【例1】設離散型隨機變量X的分布列為X1234Peq f(1,4)eq f(1,3)eq f(1,6)eq f(1,4)則D(X)等于()A.eq f(29,12) B.eq f(121,144) C.eq f(179,144) D.eq f(17,12)解析由題意知，E(X)1eq f(1,4)2eq f(1,3)3eq

5、 f(1,6)4eq f(1,4)eq f(29,12)，故D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(29,12)eq sup12(2)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(29,12)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(29,12)eq sup12(2)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(4f(29,12)eq sup12(2)eq f(1,4)eq f(179,144).答案C角度2求兩點分布的方差【例2】若某運動員投籃命中率p0.8，則該運動員在一次投籃中命中次數X的方差

6、為_解析依題意知：X服從兩點分布，所以D(X)0.8(10.8)0.16.答案0.16規律方法求離散型隨機變量的方差的類型及解決方法(1)已知分布列型(非兩點分布)：直接利用定義求解，先求均值，再求方差(2)已知分布列是兩點分布：直接套用公式D(X)p(1p)求解(3)未知分布列型：求解時可先借助已知條件及概率知識求得分布列，然后轉化成(1)中的情況【訓練1】袋中有大小相同的四個球，編號分別為1，2，3，4，每次從袋中任取一個球，記下其編號若所取球的編號為偶數，則把該球編號改為3后放回袋中繼續取球；若所取球的編號為奇數，則停止取球(1)求“第二次取球后才停止取球”的概率；(2)若第一次取到偶數

7、，記第二次和第一次取球的編號之和為X，求X的分布列和方差解(1)記“第二次取球后才停止取球”為事件A.易知第一次取到偶數球的概率為eq f(2,4)eq f(1,2)，第二次取球時袋中有三個奇數，所以第二次取到奇數球的概率為eq f(3,4)，而這兩次取球相互獨立，所以P(A)eq f(1,2)eq f(3,4)eq f(3,8).(2)若第一次取到2，則第二次取球時袋中有編號為1，3，3，4的四個球；若第一次取到4，則第二次取球時袋中有編號為1，2，3，3的四個球所以X的可能取值為3，5，6，7，所以P(X3)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,8)，P(X5)eq f(1,2

8、)eq f(2,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(3,8)，P(X6)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,2)eq f(1,4)eq f(1,4)，P(X7)eq f(1,2)eq f(2,4)eq f(1,4)，所以X的分布列為X3567Peq f(1,8)eq f(3,8)eq f(1,4)eq f(1,4)均值E(X)3eq f(1,8)5eq f(3,8)6eq f(1,4)7eq f(1,4)eq f(11,2)，方差D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(11,2)eq sup12(2)eq f(1,8)eq blc(rc)(avs4a

9、lco1(5f(11,2)eq sup12(2)eq f(3,8)eq blc(rc)(avs4alco1(6f(11,2)eq sup12(2)eq f(1,4)eq blc(rc)(avs4alco1(7f(11,2)eq sup12(2)eq f(1,4)eq f(3,2).題型二方差的性質的應用【例3】已知隨機變量X的分布列為：X01xPeq f(1,2)eq f(1,3)p若E(X)eq f(2,3).(1)求D(X)的值；(2)若Y3X2，求eq r(D（Y）)的值解由分布列的性質，得eq f(1,2)eq f(1,3)p1，解得peq f(1,6)，E(X)0eq f(1,2)1

10、eq f(1,3)eq f(1,6)xeq f(2,3)， x2.(1)D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(2,3)eq sup12(2)eq f(1,6)eq f(15,27)eq f(5,9).(2)Y3X2，D(Y)D(3X2)9D(X)5，eq r(D（Y）)eq r(5).規律方法求隨機變量YaXb方差的方法求隨機變量YaXb的方差，一種方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后

11、求方差；另一種方法是應用公式D(aXb)a2D(X)求解【訓練2】設隨機變量X的分布列為X101Peq f(1,2)eq f(1,3)eq f(1,6)若Y2X2，則D(Y)等于()Aeq f(1,3) B.eq f(5,9) C.eq f(10,9) D.eq f(20,9)解析由題意知，E(X)1eq f(1,2)0eq f(1,3)1eq f(1,6)eq f(1,3)，故D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc

12、)(avs4alco1(1f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,6)eq f(5,9)，D(Y)D(2X2)4D(X)4eq f(5,9)eq f(20,9).答案D題型三均值與方差的綜合應用【例4】有甲、乙兩種建筑材料，從中各取等量樣品檢查它們的抗拉強度如下：XA110120125130135P0.10.20.40.10.2XB100115125130145P0.10.20.40.10.2其中，XA，XB分別表示甲、乙兩種材料的抗拉強度，在使用時要求抗拉強度不低于120，試比較甲、乙兩種建筑材料的穩定程度(哪一個的穩定性較好)解E(XA)1100.11200.21250.41300

13、.11350.2125，E(XB)1000.11150.21250.41300.11450.2125，D(XA)0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(135125)250，D(XB)0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)20.1(130125)20.2(145125)2165.由此可見E(XA)E(XB)，D(XA)D(XB)，故兩種材料的抗拉強度的平均值相等，其穩定程度材料乙明顯不如材料甲，即甲的穩定性好規律方法(1)均值體現了隨機變量取值的平均大小，在兩種產品相比較時，只比較均值往往是不恰當的

14、，還需比較它們的取值的離散程度，即通過比較方差，才能準確地得出更恰當的判斷(2)離散型隨機變量的分布列、均值、方差之間存在著緊密的聯系，利用題目中所給出的條件，合理地列出方程或方程組求解，同時也應注意合理選擇公式，簡化問題的解答過程【訓練3】袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1，2，3，4)現從袋中任取一球，X表示所取球的標號(1)求X的方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，試求a，b的值解(1)X的分布列為X01234Peq f(1,2)eq f(1,20)eq f(1,10)eq f(3,20)eq f(1,5)則E(X)0eq f(1,2)

15、1eq f(1,20)2eq f(1,10)3eq f(3,20)4eq f(1,5)1.5.D(X)(01.5)2eq f(1,2)(11.5)2eq f(1,20)(21.5)2eq f(1,10)(31.5)2eq f(3,20)(41.5)2eq f(1,5)2.75.(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，得a2.又E(Y)aE(X)b，所以當a2時，由121.5b，得b2；當a2時，由121.5b，得b4.所以eq blc(avs4alco1(a2，,b2)或eq blc(avs4alco1(a2，,b4)即為所求.一、素養落地1通過本節課的學習，進一步提升數學抽象及數據

16、分析素養2隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值的穩定與波動、集中與離散的程度，以及隨機變量取值偏離于均值的平均程度方差D(X)或標準差eq r(D（X）)越小，則隨機變量取值偏離均值的平均程度越小，說明X的取值越集中；方差D(X)或標準差eq r(D（X）)越大，表明隨機變量取值偏離均值的平均程度越大，說明X的取值越分散3求離散型隨機變量X的均值、方差的步驟(1)理解X的意義，寫出X的所有可能取值(2)求X取每一個值的概率(3)寫出隨機變量X的分布列(4)由均值、方差的定義求E(X)，D(X)特別地，若隨機變量服從兩點分布，可根據公式直接計算E(X)和D(X)二、素養訓練1若離散型隨機變

17、量X的標準差eq r(D（X）)為8，則隨機變量Y2X1的標準差為()A8 B15 C16 D32解析eq r(D（2X1）)eq r(4D（X）)2eq r(D（X）)16.答案C2設隨機變量X的分布列為X123Peq f(1,2)xy若E(X)eq f(15,8)，則D(X)()A.eq f(33,64) B.eq f(55,64) C.eq f(7,32) D.eq f(9,32)解析由隨機變量分布列的性質得xyeq f(1,2)，由E(X)eq f(15,8)，得1eq f(1,2)2x3yeq f(15,8)，解得xeq f(1,8)，yeq f(3,8).D(X)eq blc(rc

18、)(avs4alco1(1f(15,8)eq sup12(2)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(15,8)eq sup12(2)eq f(1,8)eq blc(rc)(avs4alco1(3f(15,8)eq f(3,8)eq f(55,64).答案B3有甲、乙兩種水稻，測得每種水稻各10株的分蘗數據，計算出樣本均值E(X甲)E(X乙)，方差分別為D(X甲)11，D(X乙)3.4.由此可以估計()A甲種水稻比乙種水稻分蘗整齊B乙種水稻比甲種水稻分蘗整齊C甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度相同D甲、乙兩種水稻分蘗整齊程度不能比較解析由E(X甲)E(X乙)，D(X甲)D(X

19、乙)知B正確答案B4已知離散型隨機變量X的分布列如下表所示，若E(X)0，D(X)1，則a_，b_X1012Pabceq f(1,12)解析由題意知eq blc(avs4alco1(abcf(11,12)，,acf(1,6)0，,acf(1,3)1，)解得eq blc(avs4alco1(af(5,12)，,bf(1,4)，,cf(1,4).)答案eq f(5,12)eq f(1,4)5甲、乙兩人進行定點投籃游戲，投籃者若投中，則繼續投籃，否則由對方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲、乙命中的概率分別為eq f(1,3)，eq f(3,4).(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中

20、，乙投籃的次數為X，求X的分布列、期望及標準差解(1)設第三次由乙投籃為事件A，則P(A)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(13,18).(2)由題意，X的取值為0，1，2.P(X0)eq f(1,3)eq f(1,3)eq f(1,9)；P(X1)eq f(1,3)eq f(2,3)eq f(2,3)eq f(1,4)eq f(7,18).P(X2)eq f(2,3)eq f(3,4)eq f(1,2).故X的分布列為X012Peq f(1,9)eq f(7,18)eq f(1,2)E(X)0eq f(1,9)1eq f(7,18)2eq f(

21、1,2)eq f(25,18)，D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(25,18)eq sup12(2)eq f(1,9)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(25,18)eq sup12(2)eq f(7,18)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(25,18)eq sup12(2)eq f(1,2)eq f(149,324)，eq r(D（X）)eq f(r(149),18).基礎達標一、選擇題1設一隨機試驗的結果只有A和eq o(A,sup6()，且P(A)m，令隨機變量Xeq blc(avs4alco1(1，A發生，,0，A不發生，)則X的方差D(

22、X)等于()Am B2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)解析由題意知X服從兩點分布，故D(X)m(1m)答案D2已知隨機變量X的分布列為P(Xk)eq f(1,5)，k1，2，3，4，5，則D(2X5)()A6 B8 C3 D4解析E(X)1eq f(1,5)2eq f(1,5)3eq f(1,5)4eq f(1,5)5eq f(1,5)3，D(X)eq f(1,5)(13)2(23)2(33)2(43)2(53)22，D(2X5)4D(X)428.答案B3設隨機變量X的概率分布列為P(Xk)pk(1p)1k(k0，1)，則E(X)，D(X)的值分別是()A0和1 Bp和p2Cp和1p Dp

23、和(1p)p解析易知X服從兩點分布，E(X)p，D(X)p(1p)答案D4以往的統計資料表明，甲、乙兩運動員在比賽中得分情況為X1(甲得分)012P(X1xi)0.20.50.3X2(乙得分)012P(X2xi)0.30.30.4現有一場比賽，派哪位運動員參加較好？()A甲 B乙C甲、乙均可 D無法確定解析E(X1)E(X2)1.1，D(X1)1.120.20.120.50.920.30.49，D(X2)1.120.30.120.30.920.40.69，D(X1)D(X2)，即甲比乙得分穩定，選甲參加較好答案A5設10 x1x2x3D(X2)BD(X1)D(X2)CD(X1)D(X2)答案A

24、二、填空題6若某事件在一次試驗中發生次數的方差等于0.25，則該事件在一次試驗中發生的概率為_解析設該事件在一次試驗中發生的概率為p，事件在一次試驗中發生次數記為X，則X服從兩點分布，則D(X)p(1p)，所以p(1p)0.25，解得p0.5.答案0.57已知隨機變量X的分布列為X01xPeq f(1,5)peq f(3,10)且E(X)1.1，則D(X)_解析由隨機變量分布列的性質可得p1eq f(1,5)eq f(3,10)eq f(1,2).又E(X)0eq f(1,5)1eq f(1,2)xeq f(3,10)1.1，解得x2.所以D(X)(01.1)2eq f(1,5)(11.1)2

25、eq f(1,2)(21.1)2eq f(3,10)0.49.答案0.498隨機變量X的分布列如下：X101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(X)eq f(1,3)，則D(X)_解析由題意得eq blc(avs4alco1(2bac，,abc1，,caf(1,3)，)解得aeq f(1,6)，beq f(1,3)，ceq f(1,2)，故D(X)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(0f(1,3)eq sup12(2)eq f(1,3)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,3

26、)eq sup12(2)eq f(1,2)eq f(5,9).答案eq f(5,9)三、解答題9已知海關大樓頂端鑲有A，B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1，X2(單位：s)，其分布列如下：X121012P0.050.050.80.050.05X221012P0.10.20.40.20.1根據這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質量解由題意得，E(X1)0，E(X2)0，E(X1)E(X2)D(X1)(20)20.05(10)20.05(00)20.8(10)20.05(20)20.050.5，D(X2)(20)20.1(10)20.2(00)20.4(10)20.2(20)20

27、.11.2.D(X1)D(X2)綜上可知，A大鐘的質量較好10甲、乙兩個野生動物保護區有相同的自然環境，且野生動物的種類和數量也大致相等，而兩個保護區內每個季度發現違反保護條例的事件次數的分布列分別為：甲保護區：X0123P0.30.30.20.2乙保護區：Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護區的管理水平解甲保護區違規次數X的數學期望和方差為：E(X)00.310.320.230.21.3，D(X)(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保護區違規次數Y的數學期望和方差為：E(Y)00.110.520.41.3，D(Y)(01.3)2

28、0.1(11.3)20.5(21.3)20.40.41.因為E(X)E(Y)，D(X)D(Y)，所以兩個保護區內每個季度發生的違規事件的平均次數相同，但甲保護區的違規事件次數相對分散和波動，乙保護區內的違規事件次數更加集中和穩定能力提升11若X是離散型隨機變量，P(Xx1)eq f(2,3)，P(Xx2)eq f(1,3)，且x1x2，又已知E(X)eq f(4,3)，D(X)eq f(2,9)，則x1x2的值為()A.eq f(5,3) B.eq f(7,3) C3 D.eq f(11,3)解析x1，x2滿足eq blc(avs4alco1(f(2,3)x1f(1,3)x2f(4,3)，,blc(rc)(avs4alco1(x1f(4,3)sup12(2)f(2,3)blc(rc)(avs4alco1(x2f(4,3)s