1、 方程求根方法 函數(shù)求極值方法 常微分方程問題 思考題與練習(xí)題代數(shù)方程與常微分方程例6.1求解 3 次方程 x3 + 1 = 0 。 求多項(xiàng)式根(零點(diǎn))方法: R= roots(P)P是多項(xiàng)式 P(x) = a1xn + a2 xn-1 + + an x + an+1系數(shù)a1,a2,an+1,R為多項(xiàng)式全部零點(diǎn)。 求數(shù)值解P=1,0,0,1;R=roots(P)R = -1.0000 0.5000 + 0.8660i 0.5000 - 0.8660i求符號(hào)解 sym x;solve(x3+1=0)ans = -1 1/2-1/2*i*3(1/2) 1/2+1/2*i*3(1/2)相關(guān)命令：PO

2、LY, POLYVAL, FZEROX=1:7;P=poly(X) 1 -28 322 -1960 6769 -13132 13068 -5040roots(P)ans = 7.0000 6.0000 5.0000 4.0000 3.0000 2.0000 1.0000 x=1:0.1:7; y=polyval(P,x);plot(x,y,X,zeros(1,7),o)多項(xiàng)式求根方法p=1 -30 0 2552; roots(p)ans = 26.3146 11.8615 -8.1761 r x例6.3 球體的吃水深度. 計(jì)算半徑 r =10 cm的球體,密度 =0.638.浸入水深度 x =

3、 ?解：重量體積 x3 30 x2 +2552 =0求函數(shù)零點(diǎn)方法fun=inline(x.3-30*x.2+2552);x=fzero(fun,10)x = 11.8615求一元函數(shù)最小值方法Xmin=fminbnd(fun，x1，x2)fun是目標(biāo)函數(shù),x1，x2是最小值點(diǎn)搜索區(qū)間,Xmin是目標(biāo)函數(shù)的最小值點(diǎn)。例6.7求一元函數(shù)f(x) = 0.5 x exp( x2)在區(qū)間0，2內(nèi)的最小值，并繪出函數(shù)圖形標(biāo)出最小值點(diǎn)。 fun=inline(0.5-x.*exp(-x.2);fplot(fun,0,2),hold onx0,y0=fminbnd(fun,0,2)plot(x0,y0,o

4、) x0 = 0.7071y0 = 0.0711 溫室例6.9 花園靠樓房處有一溫室,溫室伸入花園 2 米,高3米.溫室上方是樓房窗臺(tái),要將梯子從花園地上放靠在樓房墻上不損壞溫室，用 7 米長(zhǎng)的梯子是否可行？ 解:設(shè)梯子長(zhǎng)度為L(zhǎng), 梯子與地面的 夾角為 數(shù)學(xué)模型:L=inline(2./cos(alpha)+3./sin(alpha)x,Lmin=fminbnd(L,0.8,0.9)x = 0.8528Lmin = 7.0235梯子長(zhǎng)度基本可行。MATLAB求常微分方程初值問題 數(shù)值方法是先創(chuàng)建函數(shù)文件,用以描述微分方程右端二元函數(shù),然后用ode23()求出數(shù)值解引例 炮彈在飛行過程中,空氣阻

5、力與飛行速度v的平方成正比,如果初始速度v0 ,由牛頓第二定律,得一階微分方程主要信息是右端項(xiàng)和初始值:例7.1 馬爾薩斯模型,以1994 年我國(guó)人口為12億為初值，求解常微分方程 N(t)表示人口數(shù)量,取人口變化率r =0.015,微分方程function z=fun1(t,N)z=0.015*N; ode23(fun1,1994,2020,12)T,N=ode23(fun1,1994,2020,12)命令窗口 編輯窗口 例2. Logistic模型 創(chuàng)建微分方程右端函數(shù):function z=fun2(t,u)z=u.*(1-u);ode23(fun2,0,6,1.8)ode23(fun2

6、,0,6,0.2)在命令窗口求數(shù)值解x,y=meshgrid(0:.25:6,0:.05:2);k=y.*(1-y);d=sqrt(1+k.2);px=1./d;py=k./d;quiver(x,y,px,py),hold onu=dsolve(Du=u*(1-u),u(0)=.2); v=dsolve(Dv=v*(1-v),v(0)=1.8);ezplot(u,0,6)ezplot(v,0,6)根據(jù)微分方程右端函數(shù) f(x，y)= u(1 u)，區(qū)域D = (x, y) | 0 x 6, 0 y 2內(nèi)未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，確定解函數(shù)曲線的切線對(duì)應(yīng)單位向量，繪制向量場(chǎng)。常微分方程組初值問題一階常微

7、分方程組初值問題數(shù)值求解方法T,y = ode23( F ,Tspan,y0) 其中, F是函數(shù)文件, 表示 微分方程右端函數(shù)Tspan = t0 Tfinal 求解區(qū)域; y0 初始條件注: 函數(shù)F(t,y) 必須返回列向量. 數(shù)值解 y 的每一行對(duì)應(yīng)于列向量T中的每一行數(shù)據(jù)捕食者與被捕食者問題 海島上有狐貍和野兔,當(dāng)野兔數(shù)量增多時(shí)，狐貍捕食野兔導(dǎo)致狐群數(shù)量增長(zhǎng);大量兔子被捕食使狐群進(jìn)入饑餓狀態(tài)其數(shù)量下降;狐群數(shù)量下降導(dǎo)致兔子被捕食機(jī)會(huì)減少,兔群數(shù)量回升。微分方程模型如下計(jì)算 x(t)，y(t) 當(dāng)t0，20時(shí)的數(shù)據(jù)。繪圖并分析捕食者和被捕食者的數(shù)量變化規(guī)律。x(0)= 100y(0)=20 創(chuàng)建MATLAB的函數(shù)文件function z=fox(t,y)z(1,:)=y(1)-0.015*y(1).*y(2);z(2,:)=-y(2)+0.01*y(1).*y(2);Y0=100,20;t,Y=ode23(fox,0,20,Y0);x=Y(:,1);y=Y(:,2);figure(1),plot(t,x,b,t,y,r)figure(2),plot(x,y) 求微分方程數(shù)值解并繪解函數(shù)圖形-兔子數(shù)量; -狐貍數(shù)量兔-狐數(shù)量變化相位圖思考題與練習(xí)題對(duì)“梯子問題”中的數(shù)學(xué)模型用MATLAB命令