1、第10講 數(shù)列單調(diào)性問題 一選擇題（共3小題）1已知數(shù)列與滿足，在數(shù)列中，設(shè)數(shù)列中的最小項(xiàng)是第項(xiàng)，則等于A30B28C26D24【解析】解：數(shù)列與滿足，在數(shù)列中，疊加可得，最小，故選：2在數(shù)列中，則此數(shù)列最大項(xiàng)的值是A103BCD108【解析】解：對(duì)應(yīng)的拋物線開口向下，對(duì)稱軸為，是整數(shù)，當(dāng)時(shí)，數(shù)列取得最大值，此時(shí)最大項(xiàng)的值為，故選：3設(shè)函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是ABCD【解析】解：函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是遞增數(shù)列，解得：，即：，故選：二填空題（共4小題）4已知是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】解：對(duì)于任意的，恒成立，是遞增數(shù)列，又當(dāng)時(shí)，最小，

2、故答案為：5已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】解：是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的，都有成立，數(shù)列是遞增數(shù)列，對(duì)于任意，化為：，恒成立數(shù)列單調(diào)遞減，恒成立故答案為：6已知數(shù)列滿足，對(duì)于任意的，都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍，【解析】解：，兩式相減得：，對(duì)于任意的，都有恒成立，對(duì)于任意的，都有恒成立，對(duì)于任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是：，7數(shù)列滿足數(shù)列滿足，則中的最大項(xiàng)的值是【解析】解：由，得，取，求得；由，得，兩式作差得，即，又，數(shù)列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，則，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)，中的最大項(xiàng)的值是故答案為：三解答題（共11小題）8已知

3、數(shù)列，前項(xiàng)和滿足，（）求的通項(xiàng)公式；（）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：（）由已知，且，當(dāng)時(shí)，也適合，當(dāng)時(shí)，且也適合，（），設(shè)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，且也適合綜上得（），使數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，對(duì)都成立，則，當(dāng)或2時(shí)，9已知數(shù)列中，為非零常數(shù)），其前項(xiàng)和滿足：（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且，求、的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)、，使得對(duì)任意正整數(shù)，數(shù)列中滿足的最大項(xiàng)恰為第項(xiàng)？若存在，分別求出與的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由【解析】解：（1）由已知，得，則有，即，兩式相加得，即，故數(shù)列是等差數(shù)列又，（2）若，則，由，得，即，是質(zhì)數(shù)，解得，（3）由

4、，得若，則，不合題意，舍去；若，則不等式成立的最大正整數(shù)解為，即，對(duì)任意正整數(shù)都成立，解得，此時(shí)，解得故存在實(shí)數(shù)、滿足條件，與的取值范圍是，10設(shè)數(shù)列滿足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列中的最大項(xiàng)的值【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)也成立，（2），由于，可得，2，3時(shí)，；當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的最大項(xiàng)為，可得11已知是定義在實(shí)數(shù)集上的不恒為0的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有，當(dāng)時(shí)，有（）求的值，并證明恒正；（）判斷在實(shí)數(shù)集上單調(diào)性；（）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，為正整數(shù)）令，問數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)？若存在，求出最大項(xiàng)的值；若不存在，試說明理由【解析】解：（）由，令，則，當(dāng)時(shí)，有，（2分）當(dāng)時(shí)，由于所以，綜上

5、可知，恒正；（4分）（）設(shè)，則，又由（1）可知所以故在實(shí)數(shù)集上是減函數(shù)；（8分）（）由題意，數(shù)列為以首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，（12分）由此可知，隨著的增大而增大，再根據(jù)（2）可得隨著的增大而減小，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，從而存在最大項(xiàng)，其為（14分）12已知數(shù)列滿足：，2，3，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）令，2，求數(shù)列的最大項(xiàng)的值；（3）對(duì)第（2）問中的數(shù)列，如果對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】（1）證明：由題可知：，可得（3分）；即：，又（5分），所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列（4分）（2）解：由（1）可得，故，設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)最大，則有，故數(shù)列的最大項(xiàng)是（8分）（3）解：由（2

6、）可知有最大值是，所以，對(duì)任意，都有，對(duì)任意，都有，即成立，（11分），解得或?qū)崝?shù)的取值范圍是，（12分）13已知無窮數(shù)列滿足：，對(duì)任意正整數(shù)，記對(duì)任意，2，3，對(duì)任意，（）寫出，；（）當(dāng)時(shí)，求證：數(shù)列是遞增數(shù)列，且存在正整數(shù)，使得；（）求集合【解析】（）解：根據(jù)題意可得，；（）證明：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，因?yàn)椋?，令，則，所以，所以存在正整數(shù)，使得；解：由題意得，對(duì)任意，都有且由（）可得，當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得，所以，所以若，則，又因?yàn)?，所以若，則，所以若，則，即下面證明當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有下證對(duì)任意，假設(shè)存在正整數(shù)，使得令集合，則非空集合存在最小數(shù)因?yàn)椋砸驗(yàn)椋?/p>

7、以所以，與矛盾所以對(duì)任意，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，下證對(duì)任意，假設(shè)存在正整數(shù)，使得令集合，則非空集合存在最小數(shù)因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以，且，所以，與矛盾所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有所以，即因?yàn)?，且，所?4設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足若，求證：；若數(shù)列為遞增數(shù)列，求的范圍【解析】（）解：，當(dāng)時(shí)，兩式作差得，當(dāng)時(shí)，則，數(shù)列是等比數(shù)列，；（）證明，若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，綜上，；解：，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在時(shí)取得最小值為12，又，數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，的范圍為15若數(shù)列的每一項(xiàng)都不等于零，且對(duì)于任意的，都有為常數(shù)），則稱數(shù)列為“類等比數(shù)列”已知數(shù)列滿足：，對(duì)于任意的，

8、都有（1）求證：數(shù)列是“類等比數(shù)列”；（2）求通項(xiàng)公式；（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解析】解：（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是“類等比數(shù)列”（2）由已知得，故結(jié)合（1）可知，該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別構(gòu)成以，為首項(xiàng)，且公比皆為2的等比數(shù)例故，（3）若是單調(diào)遞增數(shù)列，則滿足，即，即，解得16已知數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試討論數(shù)列的單調(diào)性（遞增數(shù)列或遞減數(shù)列或常數(shù)列）【解析】解：（1）由已知，得，（3分）又，（2分）所以，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列（1分）（2）由，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞增數(shù)列；（2分）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列；（2分）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列（2分）17已知函數(shù)，（1）求證：對(duì)任意，；（2）試判斷數(shù)列是否是遞增數(shù)列，或是遞減數(shù)列？【解析】（1）證明：由題意，可知，則，則，對(duì)任意，都有恒成立，故命題得證（2）由題意，可知，則，即，數(shù)列是遞增數(shù)列18已知數(shù)列滿足：，為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）若是遞增數(shù)列，且，成等差數(shù)列，求的值；（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，令，求數(shù)列的前