1、 前面介紹的三角形單元和四面體單元，其邊界都是直線和平面，對于結構復雜的曲邊和曲面外形，只能通過減小單元尺寸，增加單元數量進行逐漸逼近。這樣，自由度的數目隨之增加，計算時間長，工作量大。另外，這些單元的位移模式是線性模式，是實際位移模式的最低級逼近形式，問題的求解精度受到限制。為了克服以上缺點，人們試圖找出這樣一種單元：一方面，單元能很好地適應曲線邊界和曲面邊界，準確地模擬結構形狀；另一方面，這種單元要具有較高次的位移模式，能更好地反映結構的復雜應力分布情況，即使單元網格劃分比較稀疏，也可得到較好的計算精度。等參數單元（等參元）就具備了以上兩條優點，因此，得到廣泛應用。6-1 等參元的概念第六

2、章 等參數單元1等參數單元 每一種等參數單元有二種形式：一種形式在局部座標 或 中，是以邊長為2的正方形單元或邊長為2的立方體單元用作計算稱為母單元；另一種形式在整體座標 x y或x y z中，通過母單元映射到整體座標上的單元用于離散結構物稱為子單元。由于母單元上的位移函數與座標變換的函數具有相同的參數。這就是等參數單元名稱的來由。 母單元的位移函數:座標變換的映射關系:2 等參元的基本思想：首先導出關于局部坐標系的規整形狀的單元（母單元）的高階位移模式的形函數，然后利用形函數進行坐標變換，得到關于整體坐標系的復雜形狀的單元（子單元），這種子單元的位移函數插值公式與位置坐標變換式都用相同的形函

3、數與結點參數進行插值，稱其為等參元。一、形函數對于單元形函數的確定，首先假設單元的位移模式，代入結點的位移和坐標，從而推導出單元的任意一點的位移插值函數，即形函數。實際上，形函數是定義在單元內部的、滿足一定條件的、坐標的連續函數。形函數不僅可以用于單元位移函數的插值，還可以用于單元形狀的變換。形函數應滿足的條件是：3(6-1)1. 在結點i處 ， 在其他結點處 ； 2. 能保證用它定義的未知量（位移或坐標）在相鄰單元之 間的連續性；3. 應包含任意線性項，以保證用它定義的單元位移可滿足常應變條件； 應滿足下列等式以保證用它定義的單元位移能反映剛體位移。4如圖6-1所示，坐標原點在單位形心上。單

4、元邊界是四條直線： ， 。為保證用形函數定義的未知量在相鄰單元之間的連續性，單元結點數目應與形函數階次相適應。因此，對于線性、二次和三次形函數，單元每邊的結點數分別為兩個、三個和四個。除四個角點外，其他結點位于各邊的二分點或三分點上。 二維母單元是平面中的22正方形二、母單元首先，根據形函數的定義，在局部坐標中，建立起幾何形狀簡單且規整的單元，稱為母單元。5圖6-1 二維母單元(a) 線 性 單 元(b) 二 次 單 元123412348756 1) 線性單元（4結點）(6-3)以上形函數也可以合并表示為（i=1, 2, 3, 4） (6-4)其中(6-5)6三、坐標變換母單元可以直接用來進行

5、有限元分析，其單元特性可以按照前面幾章中講述的步驟進行。但是這些單元形狀規整，難以適應實際工程中出現的各種結構的復雜形狀。為了解決這個矛盾，需要用坐標變換的方法，把形狀規整的母單元，轉換成具有曲線（面）邊界的形狀復雜的單元。轉換后的單元稱為子單元。子單元在幾何上可以適應各種實際結構的復雜外形。這樣，對于一個實際結構，就可以采用各種形狀復雜的子單元在整體坐標系中進行劃分，來逼近其復雜的曲線或曲面邊界。而每個子單元，通過坐標變換，都可以映射成一個局部坐標系下的規整單元，即母單元，計算比較簡單。為了進行坐標變換，必須在局部坐標 和整體坐標 之間建立一一對應關系。這種對應關系可以利用形函數建立起來。

6、7等參數單元1. 平面坐標變換 在整體坐標系中，子單元內任一點的坐標用形函數表示如下(6-4) 其中，Ni 是用局部坐標表示的形函數，xi，yi 是結點i的整體坐標，上式即為平面坐標變換公式。返回8 若以母單元上12邊為例，通過映射可得在平面內任一直線，12邊的方程為 = -1,代入 通過局部座標與整體座標的映射關系把母單元變換到整體座標上成為一個任意四邊形用于離散結構物，它能適合于任意曲邊的形狀。9同理可得 把以參數 代表的 x方程和 y方程消去 ，則得 x , y 所組成的直線方程 y=kx+b 所以母單元上的四個邊都可以通過映射在x, y座標面上得出一個任意四邊形，用該四邊形離散結構物。

7、10（a）母單元 （b）子單元圖6-2 二維單元的平面坐標變換1234875623154678等參數單元返回 圖6-2表示了二維單元的平面坐標變換。母單元是正方形，子單元則分別變換成任意四邊形和曲邊四邊形。而且相鄰子單元在公共邊上的整體坐標是連續的。以二次單元為例，兩個相鄰單公共邊界上都是二次曲線（拋物線），而在三個公共結點上具有相同的坐標。因此，整個公共邊界都有相同的坐標，即相鄰單元是連續的。11等參數單元2. 兩類坐標系的關系以上坐標變換式給出了局部坐標和整體坐標之間的一一對應關系。如果給定了局部坐標 的值，則可以求出整體坐標 的對應值，反之亦然。在有限元分析中，兩者的作用是不同的。直角坐

8、標系在 整個結構的所有子單元中共同采用，所以稱為整體坐標。返回而曲線坐標系 則只適用于單個獨立的子單元，所以稱為局部坐標。整體坐標在整體分析中采用，局部坐標則在單元分析中采用。12現在討論兩類坐標系中有關偏導數的關系，以二維坐標為例：根據復合函數的求導法則，有(6-5) 上式可寫成矩陣形式(6-6)其中：J稱為雅可比（Jacobi）矩陣式（6- 7）的逆變換式為(6-7)(6-8)其中，J-1是J的逆陣13等參數單元 四、等參元在有限元分析中，定義一個單元需要確定其幾何形狀以及位移分布。以上已經建立了各種子單元的幾何形狀，還需要假設其內部的位移分布情況。子單元的位移模式可用形函數表示如下(6-9)用矩陣表示為返回14(6-10)其中：N為用局部坐標表示的形函數， 是整體坐標下的結點位移。比較子單元的坐標變換式和位移模式，兩者都利用了形函數，它們可以是局部坐標的一次、二次、三次甚至更高次的函數。坐標變換式是根據結點的坐標 和形函數 來確定單元的幾何形狀；位移模式是根據結點的位移 和形函數 來確定單元的位移場。如果單元坐標變換式和位移模式所用的形函數的階次相等，即用于規定單元形狀的結點數等于用于規定單元位移的結點數，那么這種單元就稱為等參數單元（等參元）。在等參元中坐標變換和位移模式一般使用相同的結點。15等參數單元等參元具有以下優點：1）可以模擬曲線和曲面邊界，適用于處