1、2021高考數(shù)學(xué)（理）真題本資料分試卷使用地區(qū)、試卷總評、考點(diǎn)分布細(xì)目表、試題深度解讀四個模塊,其中試題深度解讀模塊又分為【命題意圖】答案：解：點(diǎn)評：【知識鏈接】等欄目，其中解：中盡可能提供多種解法供參考.本資料部分內(nèi)容來源于網(wǎng)絡(luò)一、試卷使用地區(qū)2021年全國甲卷即原來的全國III卷，使用地區(qū)為四川、云南、貴州、廣西、西藏二、試卷總評2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科命題，堅持思想性與科學(xué)性的高度統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實(shí)際的學(xué)科特點(diǎn)，命制具有教育意義的試題，以增強(qiáng)考生社會責(zé)任感，引導(dǎo)考生形成正確的人生觀、價值觀、世界觀.如第8題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之三角高程測童法為背景設(shè)計要求考生能正

2、確應(yīng)用線線關(guān)系、線而關(guān)系、點(diǎn)面關(guān)系等兒何知識構(gòu)建計算模型，情境真實(shí),突出理論聯(lián)系實(shí)際.深化新時代教育評價改革總體方案提出，構(gòu)建引導(dǎo)考生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系，改變相對固化的試題形式，増強(qiáng)試題開放性，減少死記碩背和“機(jī)械刷題”現(xiàn)彖.2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科命題積極貫徹總體方案要求，加人開放題的創(chuàng)新力度，利用開放題考查考生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，發(fā)揮數(shù)學(xué)科的選拔功能如第18題給出部分已知條件，要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題，充分考査考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.該套試題突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，重視理性思維,堅

3、持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則；倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際、學(xué)以致用，關(guān)注我國社會主義建設(shè)和科學(xué)技術(shù)發(fā)展的重要成杲，通過設(shè)計真實(shí)問題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.如第2題以我國在脫貧攻堅工作取得全面勝利和農(nóng)村振興為背景，通過圖表給出某地農(nóng)戶家庭收入情況的抽樣調(diào)査結(jié)果，以此設(shè)計問題，考査考生分析問題和數(shù)據(jù)處理的能力身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容，在高考評價體系的核心價值指標(biāo)體系中，包含有健康情感的指標(biāo)，要求考生具有健康意識,注重增強(qiáng)體質(zhì)，健全人格，鍛煉意志.本套試卷對此也有所體現(xiàn)，如第4題以社會普遍關(guān)注的青少年視力問題為背景，重點(diǎn)考査考生的數(shù)學(xué)理解能力和運(yùn)算求解能力.總之,2021年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科很好地落

4、實(shí)了立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高考核心功能，同時突出數(shù)學(xué)學(xué)科特色，試題有坡度，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)科的選拔功能，對深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了枳極的導(dǎo)向作用.三、考點(diǎn)分布細(xì)目表題號命題點(diǎn)模塊（題目數(shù)）1集合的交集集合（共1題）2頻率分布直方圖概率與統(tǒng)計（共3題）3復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算復(fù)數(shù)（共1題）4指數(shù)與對數(shù)的應(yīng)用函數(shù)（共3題）5雙曲線的幾何性質(zhì)解析幾何（共3題）6三視圖立體幾何（共3題）7等比數(shù)列、充分條件與必要條件數(shù)列（共2題）常用邏輯用語（共1題）8解三角形的應(yīng)用三角函數(shù)與解三角形（共3題）9三角變換三角函數(shù)與解三角形（共3題）10古典概型概率與統(tǒng)計（共3題）11球與幾何體的切接立體幾何（共3題

5、）12函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)（共3題）13導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)（共2題）14平面向量的數(shù)量枳及坐標(biāo)運(yùn)算平面向量（共1題）15橢圓解析幾何（共3題）16三角函數(shù)的圖彖與性質(zhì)三角函數(shù)與解三角形（共3題）17獨(dú)立性檢驗概率與統(tǒng)計（共3題）18等差數(shù)列數(shù)列（共2題）19線線垂直的證明及二面角的計算立體幾何（共3題）20拋物線及直線與圓的位置關(guān)系解析幾何（共3題）21導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)（共3題）導(dǎo)數(shù)（共2題）22極坐標(biāo)與參數(shù)方程選修4-423絕對值函數(shù)的圖彖及恒成立問題選項4-5四、試題深度解讀設(shè)集合M=x|0vxv4,W=x*K5,則MDN=()A.X0 xB.Xix4s313JC.x|4x5D.x|0a5【命題意

6、圖】本題考查集合的交集運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).難度：容易.答案：B解：因為M=x|0 x4,A=a:|x50%，故D正確；該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值的估計值為3x0.024-4x0.04+5x0.10+6x0.14+7x0.20+8x0.20+9x0.10+10 x0.104-11x0.04+12x0.02+13x0.02+14x0.02=7.68(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結(jié)論中不正確的是C.故選C.點(diǎn)評：統(tǒng)計圖表是高考考查的熱點(diǎn)，但考查方式不限于課本涉及的統(tǒng)計分布直方圖及莖葉圖,生產(chǎn)與生活中常用的折線圖、柱形圖、扇形圖、雷達(dá)圖在高考中多次考查.【知識鏈接】

7、解決頻率分布直方圖問題時要抓住3個要點(diǎn)直方圖中各小長方形的面積之和為1.頻率頻率直方圖中縱軸表示命詁故每組樣本的頻率為組距X亦二即矩形的面積.(3)直方圖中每組樣本的頻數(shù)為頻率X總體數(shù).2用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法眾數(shù)為頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)；中位數(shù)為平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；平均數(shù)等于每個小矩形面積與小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之積的和.TOC o 1-5 h z已知(10遼=3+2/,則2=()3.|3.3:一1lB.一1+/C.+lD.一-22:答案：B解：解法一：因為(1-/)2=-2/所以2=芝芻=卩：2護(hù)=證迢=_1+中

8、故選b.-2/-2z-z22解法二：因為(1-/)2=-2/，所以Z=上卻=土2=-1+-/.故選B.、727-2/-22解法三：因為(1-/)2=-2/，設(shè)Z=X+yi(X,yeR),由(I遼=3+2i可得2y-2xi=3+2/，所以332y=3,2x=2t即x=1,y=，所以z=1+亍i,故選B.點(diǎn)評：復(fù)數(shù)是高考每年必考知識點(diǎn)，一般以容易題面目呈現(xiàn)，位于選擇題的前3題的位置上，考查熱點(diǎn)一是復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，如復(fù)數(shù)的模、共轆復(fù)數(shù)、純虎數(shù)、復(fù)數(shù)的幾何意義等，二是復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算.【知識鏈接】解復(fù)數(shù)運(yùn)算問題的常見類型及解題策略復(fù)數(shù)的乘法.復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的四則運(yùn)算，可將含有虛數(shù)

9、單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可.復(fù)數(shù)的除法.除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軌復(fù)數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形式.復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)概念的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為a+bi(a,bER)的形式，再結(jié)合相關(guān)定義解答.復(fù)數(shù)的運(yùn)算與復(fù)數(shù)幾何意義的綜合題.先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡，一般化為的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義解答.青少年視力是社會普遍關(guān)注的問題，視力情況口【借助視力表測屋.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)丄和小數(shù)記錄表的數(shù)據(jù)卩的滿足厶=5+lgU.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為

10、()(幀心1.259)A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【命題意圖】本題考查對數(shù)式與指數(shù)式的互化，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).難度：容易.答案：C1解：由L=5+lgV，當(dāng)厶=4.9時，IgU=0.1,則V=1O-01=10_=-=0.8.101.259故選C.點(diǎn)評：本題以社會普遍關(guān)注的青少年視力問題為背景，重點(diǎn)考查考生的數(shù)學(xué)理解能力和近似求解能力.身心健康是素質(zhì)教育的核心內(nèi)容，在高考評價體系的核心價值指標(biāo)體系中，包含有健康情感的指標(biāo)，要求考生具有健康意識,注重增強(qiáng)體質(zhì)，健全人格，鍛煉意志.【知識鏈接】若&0且工1,N0,則/=NOlog“N=b.已知仟遲是雙曲線。的兩個焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn)，

11、且ZFfF?=60。,可二3月，則C的離心率為（）A.近B.空C.打D.屈2【命題意圖】本題考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：容易答案：A解：因為川=3|啓由雙曲線的定義可得用一|朋|=2|啓|=2,所PF2=a,PFl=3a；因為令卩竹=60。，由余弦定理可得4云二9亍+夕-2x3aacos60。，整理可得4疋=7/,所以K=二=?,即*Q故選A.cr42點(diǎn)評：雙曲線是高考必考問題,一般作為客觀題考查，若單獨(dú)考查雙曲線的定義與幾何性質(zhì)，一般為基礎(chǔ)題，若與其他知識交匯考查，町能會出現(xiàn)難度較人的客觀題.【知識鏈接】在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)

12、常結(jié)合I朋一啟|=2a,運(yùn)用平方的方法，建立與I朋II啟I的聯(lián)系.雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線半一芻=1（Q0,方0）中,離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k=滿足關(guān)系式=l+fa在一個正方體中,過頂點(diǎn)川的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是（）正視圖C.【命題意圖】本題考查三視圖的識別，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)難度：容易答案：D解：由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示,所以其側(cè)視圖為，故選D.點(diǎn)評：有關(guān)三視圖的試題，往年人多與幾何體的體積、表面枳交匯考查，今年考查三視圖的識別,不

13、需要計算,難度也有所降低,屬于送分題.【知識鏈接】三視圖問題的常見類型及解題策略由幾何體的直觀圖求三視圖.注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線表示，不能看到的部分用虎線表示.由幾何體的部分視圖畫岀剩余的部分視圖.先根據(jù)已知的一部分三視圖，還原、推測直觀圖的可能形式,然后再找其剩下部分三視圖的可能形式.當(dāng)然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給岀的部分三視圖是否符合.由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀.要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理,結(jié)合空間想彖將三視圖還原為實(shí)物圖.等比數(shù)列的公比為Q,前項和為S”，設(shè)甲：q0,乙：Sti是遞增數(shù)列，則()甲是乙的充分條

14、件但不是必要條件甲是乙的必要條件但不是充分條件甲是乙的充要條件甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【命題意圖】本題考查數(shù)列的單調(diào)性及充分條件與必要條件，考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易答案：B解：解法一：S,是遞增數(shù)列O心0O0且q0,所以q0是S”是遞增數(shù)列必要不充分條件，故選B.解法二：令匕=-1,則q0,但：不是遞增數(shù)列，所以甲不是乙的充分條件.若彳0成立，所以甲是乙的必要條件.故選B.點(diǎn)評：要否定一個結(jié)論，有時可通過構(gòu)造反例來完成.【知識鏈接】充分條件、必要條件的三種判定方法定義法：根據(jù)pqgp進(jìn)行判斷,適用于定義、定理判斷性問題.集合法：根據(jù)p,q成立的對彖的集合之間的包含關(guān)

15、系進(jìn)行判斷，多適用于命題中涉及字母范【韋I的推斷問題.等價轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個命題與其逆否命題的等價性，進(jìn)行判斷，適用于條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題.從集合的角度理解充分條件與必要條件若P以集合A的形式出現(xiàn),Q以集合3的形式出現(xiàn)，即A=xp(X),B=xq(x),則關(guān)于充分條件、必要條件又可以敘述為：若肚，則P是由正弦定理得：31。W1001004sin45sin75tan15cos15sin15sm15=sin(45-30)=sin45cos30-cos45sm30=所以歲二工=100弟+1)X73,所以肚2=40+100373.故選B./6-/2【分析】本題以測量珠穆朗瑪峰高程的方法之三角高

16、程測量法為背景設(shè)計，要求考生能正確應(yīng)用線線關(guān)系、線而關(guān)系、點(diǎn)而關(guān)系等兒何知識構(gòu)建計算模型，情境真實(shí)，突出理論聯(lián)系實(shí)際，求解的關(guān)鍵是將已知所求量轉(zhuǎn)化到一個三角形中，借助正弦定理或余弦定理求解.【知識鏈接】求距離、高度問題的注意事項選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解：若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.確定用正眩定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理./龍、0,tan2a=cosa2-sina,則Xana=33【命題意圖】本題同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng)難度：中點(diǎn)偏易答案：A,小cos

17、a口csm2a2sinccosacosa解：由tan2cr=可得tan2a=；一=2-sinacos2g1-2sin-a2-sma71c.八2sina1.1awI/.cos/.fn.=-:，解得sma=-,2J1-2sura2sina4r/15sina/l5”灶,.cosa=Vl-siirz=,tana=故選Acosa15點(diǎn)評：三角函數(shù)與解三角形是高考中的重點(diǎn)，若解答題中沒有解三角形，則客觀題中一般有3道三角函數(shù)與解三角形試題，這3道題分別考查三角變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及解三角形.【知識鏈接】利用sin：+cos：=1可實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，開方時要根據(jù)角。所在象限確定符號；利用藝7=co

18、satana可以實(shí)現(xiàn)角a的弦切互化.解決三角函數(shù)的求值問題的關(guān)鍵是把“所求角”用“已知角”表示.當(dāng)“已知角”有兩個時，“所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式；當(dāng)“已知角”有一個時,此時應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差、倍的關(guān)系.TOC o 1-5 h z將4個1和2個0隨機(jī)排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）1224A.B.C.D.535【命題意圖】本題考查排列組合與古典概型.考查邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等答案：c解：解法一:先將4個1隨機(jī)排成一行，4個1之間與兩端有5個空,利用插空法排0,若2個0相鄰，則有C；=5102種排法，若2個0不相鄰，則有=10種排法，所以2個0

19、不相鄰的概率為=-.故選C.TOC o 1-5 h z+103解法二：把4個1和2個0隨機(jī)排成一行，排法種數(shù)為C：C；=15,2個0相鄰的排法種數(shù)為C：C；=5,所以22個0不相鄰的概率為1-=,故選c153【命題意圖】概率與統(tǒng)計是高考重點(diǎn)，在高考試卷中既有客觀題又有解答題，由于該模塊涉及知識點(diǎn)比較多,高考命題沒有固定的熱點(diǎn)，一般情況下，統(tǒng)計與概率、隨機(jī)變量的分布列都會涉及，客觀題至少會有2道.求解本題的關(guān)鍵是正確計數(shù)，注意4個1和2個0分別為相同元素,不要誤用排列計數(shù).【知識鏈接】排列應(yīng)用問題的分類與解法對于有限制條件的排列問題，分析問題時有位置分析法、元素分析法,在實(shí)際進(jìn)行排列時一般采用特

20、殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用河接法.對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題釆用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法.占典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本爭件的總數(shù)和爭件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本爭件，基本爭件的表示方法冇列舉法、列表法和樹狀圖法、排列組合法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇.已如凡EC是半徑為1的球0的球面上的三個點(diǎn)，且4C丄BC,AC=BC=lf則三棱錐O43C的體積為()【命題意圖】本題考查球的幾何性質(zhì)及棱錐的體積，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等答案：A解：tAC=為等腰

21、直角三角形，則aASC外接圓的半徑為返,又球的半徑為1,設(shè)0到平面ABC的距離為d,則d=J12-所以Swc=如c=lxf=故選A.點(diǎn)評：球與幾何體的切接是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，常作為客觀題中的壓軸題，考查熱點(diǎn)是幾何體的外接球，此類問題要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計算能力，才能順利解答.從實(shí)際來看，這部分知識是學(xué)生掌握最為模糊，看到就頭疼的題目分析原因，除了這類題目的入手確實(shí)不易之外,主要是學(xué)生沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.【知識鏈接】1.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進(jìn)行求

22、解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解，其中公式R2=r2+d2使用頻率非常高，考生一定要重視.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域為R./(x+1)為奇函數(shù)，/(x+2)為偶函數(shù)，當(dāng)xel,20j-,f(x)=cvc2+b.若于(0)+/(3)=6,則電卜()TOC o 1-5 h z9375A.B.C.D.242【命題

23、意圖】本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性，考查數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏難答案：D解：解法一：由/(X+1)是奇函數(shù)，所以/(-x+l)=-/(x+l)，令x=0得f(l)=a+b=O,令x=l,/(0)=-/(2)=-47-Z?,又/(x+2)是偶函數(shù)，所以/(x+2)=/(-x+2),令x=l得f(S)=f(i)=a+bt所以/(0)+/(3)=4Z0）的弦，月（朋,處）,弦中點(diǎn)Mao,必）,則弦長7=-1+#|xxz|=寸1+卻必一如；直線M的斜率厶=一勞.已知函數(shù)/（x）=2cos（處+0）的部分圖像如圖所示，則滿足條件7-/0的最小正整數(shù)X為【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖

24、彖與性質(zhì)，考查直觀想彖與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)難度：中等偏難答案：2解：解法一:由圖可知滬學(xué)今茅即丁所以遲2；由五點(diǎn)法可得2今0號即=1,/（）=2cos怦卜0；YIZ丿7t（p=；所以/（x）=2cos|2x-I因為/（一半）=2cos66丿47t所以由60可得/1或/（兀）0；因為/（1）=2cos2一彳卜2cosg一彳=1,又/（2）=2cos（4/(】)/7T，顯然1不符合條件結(jié)合估值可知2在y軸右側(cè)第1個零點(diǎn)與第2個零點(diǎn)之間，符合條件.點(diǎn)評：解法二是非常規(guī)解法，但在求解與某些給出圖彖的問題時比較實(shí)用，法無定法，得分是碩道理！【知識鏈接】根據(jù)y=Jsin（4-0）,xWR的圖象求解析式的步

25、驟：（1）首先確定振幅和周期，從而得到月與5（I為離開平衡位置的最人距離，即最犬值與最小值的差的一半.（IDg由周期得到：函數(shù)圖彖在其對稱軸處取得最大值或最小值，且相鄰的兩條對稱軸之間的距離為函數(shù)的半個周期；函數(shù)圖彖與x軸的交點(diǎn)是其對稱中心，相鄰兩個對稱中心間的距離也是函數(shù)的半個周期：一條對稱軸與其相鄰的一個對稱中心間的距離為函數(shù)的+個周期（借助圖彖很好理解記憶）.（2）求。的值時最好選用最值點(diǎn)求.HJT峰點(diǎn)：=+2An；谷點(diǎn)：=.也可用零點(diǎn)求，但要區(qū)分該零點(diǎn)是升零點(diǎn)，還是降零點(diǎn).升零點(diǎn)（圖象上升時與x軸的交點(diǎn)）：處+巾=2k只:降零點(diǎn)（圖象下降時與x軸的交點(diǎn)）:處+0=n+2AJI（以上圧Z

26、）.n(ad-be)12(a+b)(c+d)(d+c)(b+d)P(Kk0.0500.0100.001k3.811663510.828附:甲、乙兩臺機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計270130400【命題意圖】本題考查頻率的計算與獨(dú)立性檢驗，考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)難度：容易解:(1)甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為=75%,200120乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中的一級品的頻率為益=60%.200(2)=型106.635,3

27、9“400(150 x80-120 x50)270 x130 x200 x200故能有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.點(diǎn)評：作為解答題，本題實(shí)在太容易了，只相當(dāng)于課本基礎(chǔ)題的難度，且這種題型平時訓(xùn)練較多，該題就是送分題.【知識鏈接】獨(dú)立性檢驗的一般步驟假設(shè)兩個分類變量X與y沒有關(guān)系；計算出K的觀測值，其中K?二_bc$(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)把K的值與臨界值比較，作出合理的判斷.注意：在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆.已知數(shù)列%的各項均為正數(shù)，記S”為陽的前力項和,從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立.數(shù)列$是等差數(shù)列：數(shù)列底是等差數(shù)

28、列：冬=3.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的證明及匕與S”的關(guān)系，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)抽彖的核心素養(yǎng).難度：中等解：選作條件證明：設(shè)=an+b(a0),則Sn=(伽+b)2,當(dāng),7=1時，q=S=(a+b)；當(dāng)n2時，an=Sn-Szr_1=(an+bj-(an-a+by=d(2c7_a+2Z?):因為也是等差數(shù)列，所以(a+b)=d(2aa+2b),解得b=0；所以a”=/(2”一1),所以冬=3.選作條件證明：因為冬=3坷,是等差數(shù)列,所以公差d=一q=2q,所以S”=“q+_d=irciL,即=肩n,2因為屈7低=肩W+H-肩斤=肩,所以、低

29、是等差數(shù)列.選作條件證明：設(shè)ys=an+b(a0),則Sn=(c2+b)2,當(dāng)n=1時，q=S=(a+b)-；當(dāng)n2時，an=Sn-S”_=+b一(c?一a+b)=d(2an-a+2b)；因為a?=3q,所以a(3a+2h)=3(d+b),解得b=0或b=_丁;當(dāng)b=0時，勺=夕4=/(加一1)，當(dāng)n2時，an-anA=2a2滿足等差數(shù)列的定義此時/”為等差數(shù)列:4a4a當(dāng)b=時，JS”=cm+Z?=677亍a,J兀=亍v0不合題意,舍去.綜上可知%為等差數(shù)列.點(diǎn)評：該題是“結(jié)構(gòu)不良問題”，在老教材高考中首次出現(xiàn)，題目給出部分已知條件，要求考生根據(jù)試題要求構(gòu)建一個命題，充分考查考生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的

30、理解，引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的教學(xué)中，重視培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，克服“機(jī)械刷題”現(xiàn)彖.這種題型對考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)抽彖能力、直觀想彖能力等有很深入的考査,體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則.【知識鏈接】等差數(shù)列的四種判斷方法定義法：zdld是常數(shù))oUJ是等差數(shù)列.等差中項法：2d+=%+d卄2G?EN*)o%是等差數(shù)列.通項公式：m=pn*qgq為常數(shù))。弘是等差數(shù)列.前m項和公式:&=An+Bn(A,B為常數(shù))。去是等差數(shù)列.已知直三棱柱ABCAdG中,側(cè)面AAQB為正方形，AB=BC=2,E,F分別為4C和cq的中點(diǎn),0為棱人坊上的點(diǎn).丄人坊（1）證明：BF丄DE；（2）當(dāng)Q

31、D為何值時，面BB&C與面DFE所成的二面角的正弦值最小？【命題意圖】本題考查線面位置關(guān)系的證明、二面角的計算，考查直觀想象及邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等.解：解法一：取BC中點(diǎn)G,連接EG,則EG人坊，A，坊,G,E共面,且丄Ad,所以丄EG,連接Bfi，由四邊形B&CB為正方形，可得BF丄Bfi,因為BGCEG=G,所以丄平面BfiE,因為應(yīng)u平面AfifiE，所以新丄DE.因為三棱柱ABC-40C是直三棱柱，所以尸色丄底面ABC,所以BB,丄AB因為A.BJIAB,BF丄所以3尸丄43,（2）由（1）知BA、BC,阻兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BA,BC,BBl所在直線為軸建立空間

32、直角坐標(biāo)系,如圖.所以3(OaO),A(2QO),疋(1丄0),尸(021)由題設(shè)(0.2)(0/6此時cos8取最人值為f273vT所以（sin。）遇J1-闇=，此時弘斗解法二：因為三棱柱ABC-Aq是直三棱柱，所以BQ丄底面ABC,所以碼丄AB因為fBJAB,BF丄A%所以肋丄43,因為三棱柱ABC-4/C是直三棱柱，所以尸目丄底面ABC,所以BB丄AB因為BJ!AB,丄所以3尸丄43,又BB、cBF=B,所以43丄平面BCCD.所以BA、BC、BB,兩兩垂直.直三棱柱ABCAlBiC中因為三棱柱ABC一AQG是直三棱柱，所以丄底面ABC,所以BB,丄AB因為A.BJIAB,BF丄所以3尸

33、丄43,又BB、cBF=B,所以43丄平面BCCD.所以BA、BC、BB,兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以BA、BC、BB所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.所以(0,0,0),A(2,0,0),C(020),3】(0,0,2)，A(2,0,2)，G(0,2,2),E(l,l,O),F(O,2,l).由題設(shè)D(o,0,2)(00）,P（l,yo）,Q（l,-yo）,.OP丄OQ,.OPOQ=l-y=l-2p=0,.2p=l,所以拋物線C的方程為v2=aM（0,2）,OM與x=l相切，所以半徑為1,所以O(shè)M的方程為（x-2）2+y2=1；（2）設(shè)人（兒兒）,九（瓊,兒）4（兒，兒），則兒，兒，

34、兒互不相等,所以人九方程為（X）（兒一yj=（y-yf）,因為兒工兒，兒兒工,所以兀一2=（兒+%）（一兀），展開整理得所以直線A4方程為（兀+y2）y+兀兒=o,同理直線AA的方程為x一（兀+兒）y+兒兒=，直線人&的方程為x一（兒+兒），+兒兒=,A4與圓m相切，丄2+兒兒丨=1整理得（K-1）元+2y化+3-）7=0,同理可得（y；-1）7+2兒兒+3-才=0所以兒,兒為方程（才一1）/+2yy+3-y；=0的兩根,0）2y3-yf3=一-，兒兒=r兀一1片一1M到直線人的距離為：|2+3_兀|,2+兒兒丨=才_=丨片+1丨=+1=J1+(兒+兒)h；(2兒尸J(f_i)+4)f才+1V

35、火-1所以直線九人與圓M相切.點(diǎn)評：解析幾何解答題是高考數(shù)學(xué)必考題，該題一般分2問，第1問通常為求曲線的方程，難度較小，第2問通常為直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般運(yùn)算量比較人，相當(dāng)一部分同學(xué)會因為運(yùn)算能力不過關(guān)而失分.【知識鏈接】過不同兩點(diǎn)A(x1,y1).B(x29y2)的直線方程為(/一為)(旳一兒)=()一必)匕一兀)，無論AB斜率是否存在，上式都成立、X已知0且C/H1,函數(shù)/（X）=（X0）.(1)當(dāng)=2時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若曲線y=/(x)與直線y=l有且僅有兩個交點(diǎn)，求a取值范圍.4V【命題意圖】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)問題難度：難.解：當(dāng)“2

36、時)=，*)=2誠2、(2_血2)222令廣“得應(yīng)當(dāng)0。0,當(dāng)”走時/)v0,(2函數(shù)f(x)在0,區(qū)上單調(diào)遞增；在咅,+oo)上單調(diào)遞減;1112(2)解法一:/=1ax=xna=ciinxOxnci-alnx=0設(shè)g(x)=xhia-anxy則問題轉(zhuǎn)化為g(x)=0有2個不同實(shí)根,因為的在(0,侖ana上的值域均為(g(僉時g)0,g(x)是增函數(shù),若0al,則xw。，僉時g(x)0,g(x)是減函數(shù),所以只需1-111-e,gpin-l),則hr(a)=丄-丄=-一,eaeae所以(d)在(1,)上是增函數(shù)，在(匕+8)上是減函數(shù)，且()=0,所以的取值范用是(i,w)U(w,+s).解

37、法二：/(%)=廠1OO皿皿OInxInaxa設(shè)函數(shù)g(x)=,X則g(x)=令g(x)=0,得x=s在(00內(nèi)g(x)0,g(x)單調(diào)遞增；在仏+8)上g，(x)vo,g(x)單調(diào)遞減;又g=0,當(dāng)X趨近于+S時，g(x)趨近于0,所以曲線y=/(X)與直線y=1有且僅有兩個交點(diǎn),即曲線y=g(x)與直線$=總有兩個交點(diǎn)的充分必要條件是0v這即是0g0,是解法二中忽略在（匕+8）上列00,得出/Tcos&（1）將c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（1,0）為C上的動點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足AP=72AA/,寫出廠的軌跡C的參數(shù)方程，并判斷C與C是否有公共點(diǎn).【命題意圖】本題考查直角

38、坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程的互化，圓的幾何性質(zhì),考查數(shù)學(xué)抽彖與邏輯推理的核心素養(yǎng).難度：中等偏易.解：（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程q=2cos/2pcos/1丫，即（x兩+）&=2,即曲線。的直角坐標(biāo)方程為（xV2）2+y2=2；（2）設(shè)P（x,y）,設(shè)M（JI+JTcosd.(x-1)=血(血+Vcos1,Vsin8)=(2+2cos0-sin&),%-l=2+2cos-/2y=2sin0 x=3-+2cos&y=2sin0小x=3-y/2+2cos0故尸的軌跡G的參數(shù)方程為（0為參數(shù)）y=2sin0.曲線C的圓心為（/2,0）,半徑為血，曲線c的圓心為（3-72,0）,半徑為2,則圓心距為3-22v3-2/2-兩圓內(nèi)含,故曲線C與C；沒有公共點(diǎn).點(diǎn)評：本題是一道基礎(chǔ)題，與前兩年第22題相比較,今年的試題較為平和，學(xué)生更容易得分.【知識鏈接】圓的參數(shù)方程fx=2ros(1)圓心在原點(diǎn)、半徑為r的圓的參數(shù)方程制(為參數(shù)八ly=rsin“x=a+