1、等邊對等角證法探究“等邊對等角”的證明方法共有六種，即歐幾里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方 法、萊斯利的方法、作高法和實驗操作法,而關于等腰三角形判定定理一一“等角對等邊”的 證明方法共有七種，即歐幾里得的反證法、想象有兩個三角形、大邊對大角、作頂角角平分 線、作底邊的高、做底角的角平分線和實驗操作法.早期教科書中的等腰三角形知識，為今日 教學提供了豐富素材。在平面幾何中，三角形的“等邊對等角” “等角對等邊”是對三角形邊角關系的定性刻 畫，是三角學中邊角定量關系的基礎.在西方數學史上，幾何原本卷一命題5 （等腰三角 形底角相等）是一個著名的幾何定理，被稱為“驢橋定理”，既因為歐幾里得在證

2、明該定理 時所用的圖形像一座簡單的桁架橋，也因為它阻擋了許多中世紀的學習者進一步學習幾何 原本后續命題的腳步。關于等腰三角形的性質和判定，我國現行五種初中數學教材（人教版、北師大版、滬教 版、浙教版及蘇教版）的內容安排大同小異.在引入上，五種教材均設計了折紙活動;在“等 邊對等角”的證明上，人教版和北師大版教材通過作底邊的中線，利用SSS定理加以論證， 而滬教版和浙教版教材通過作頂角的平分線，利用SAS進行說理，而蘇教版教材除折紙驗證 外，并未給出具體的說理過程.關于“三線合一”性質，浙教版教材設計了以“幾何畫板”為 工具的探究活動，而另四種教材均通過“等邊對等角”加以說理.關于“等角對等邊“

3、，北師 大版教材僅僅作輔助線的提示而未給出完整的證明，其余四版教材均通過作頂角平分線，運 用AAS定理進行說理,已有的教學設計大多從教材出發，通過剪紙、折疊引入新課。一、”等邊對等角”的證明考察發現，在103種教科書中，有2種只提示學生作輔助線，通過三角形全等進行證明， 但未給出完整的證明過程；101種教科書給出了完整的證明，證明方法大致可分為6類：歐兒 里得的方法、帕普斯的方法、勒讓德的方法、萊斯利的方法、作高法、實驗操作法。1、歐幾里得的方法歐幾里得的偉大貢獻在于公理化體系的建立，其幾何原本從給定的少數公理、公設 及定義出發，用邏輯推論方法推導了四百多個命題2.“等邊對等角”作為幾何原本第

4、 一卷命題5,其證明過程嚴格遵循公理化體系，只用到了命題5之前的公設、公理及命題.有 10種教科書沿用了歐幾里得的證明.在等腰4ABC中，CA=CB.在兩腰CA和CB的延長線上取兩 點D, E,使得AD=BE,并連接AE和BD,那么CD=CE,由SAS定理，可證ACAE會ZXCBD,故有N CAE二NCBD;再由SAS定理，可證BAE0ZABD,故有NEAB=NDBA.根據“等量減等量，差相 等”，得NCAB=NCBA。2、帕普斯的方法11種教科書采用了古希臘數學家帕普斯（Pappus,公元3世紀末）的方法：將等腰三角 形ACAB和ACBA看作兩個三角形，然后用SAS證明ACAB/4CBA.也

5、許有人會認為，把一個 三角形看作兩個三角形，對學生來說較為抽象，于是把另一個三角形“外化”出來了.等 腰ABC, CA=CB,想象AABC被拿起、翻轉后放下，記作AA，B，Cf （A，, B , C分別對 應 A, B, C）.那么，AC=A，Cf =BOB Cf ,那么在AABC 和AA，C 中，AC=BZ C , BC=AZC，且NONC7 .根據 SAS 定理有AABC&B A C，那么NA=NB，又因為NB=NB， 等量代換得NA二NB。3、勒讓德的方法法國數學家勒讓德(A. M. Legendre, 17521833)通過作底邊中線的方法來構造全等 三角形，從而得到“等邊對等角”.有

6、4種教科書采用他的方法，在等腰AABC中，CA=CB.過 點C作底邊AB的中線CD.由SSS定理可證CAD0ZXCBD,那么NA=NB。4、萊斯利的方法蘇格蘭數學家萊斯利(J. Leslie, 1766-1832)的方法有69種教科書采用.在等腰4 ABC中，CA=CB.過頂點C作NBCA的角平分線，交AB于點D,根據定理SAS可證ACD02XBCD, 故得NA=NB。5、作高法4種教科書采用作高法.給定CA和CB為等腰4ABC中相等的兩邊，作CDAB交AB于點 D,如圖 5.在 RtZXCAD 和 RtZSCBD 中，CA=CB, CD=CD,根據 HL 定理，可證ACAD也CBD,所 以

7、NA = NB。6、實驗操作法有5種教科書采用了實驗操作(折疊).通過尺規作圖構造一個等腰4CAB,小心地將三 角形從紙上剪下.沿底邊AB的中線將三角形折疊，并比擬NCAB和NCBA的大小。接著再構造 不同尺寸的等腰三角形，同樣比擬兩個底角的大小.我們觀察到，等腰三角形的底角是相等的。二、結論與啟示“等邊對等角”在兩千多年的歷史長河中，涌現了許多優秀的證明方法.這些證明方法相 繼出現于本文所考察的103種早期幾何教科書中.遺憾的是，我們在今天的教科書中卻幾乎看 不見它們的蹤影.美英早期幾何教科書中的證法各有特色，關于“等邊對等角”的證明，“萊 斯利的方法”在各教科書中占絕對優勢.而關于“等角對

8、等邊”的證明，“歐幾里得的反證法” 在相當長的時期內都是主流方法，但到了 19世紀80年代以后，“作底邊上的高”后來居上， 而歐氏方法逐漸退出了歷史舞臺.“等邊對等角”教學提供了一定的啟示。1、營造探究之樂.本節內容可采用探究式學習的模式，設計不同大小等腰三角形的折紙 活動，引導學生歸納出等腰三角形的性質.通過體驗性極強的折紙活動，學生能提高學習興趣, 讓數學課堂活起來.接下來，教師那么可以利用幾何畫板等現代工具對學生的猜測加以檢驗.在 定理的證明上，先由學生自主探究其證明方法，再由教師進行講授，使學生充分參與到課堂 中來。2、彰顯方法之美.無論是“等邊對等角”還是“等角對等邊“，早期教科書都

9、呈現了豐 富的證明方法,這些來自不同時空的靈活、多樣的方法，能夠拓寬學生的視野.教科書上呈現 的一兩種推導方法是遠遠不夠的，教師應該對歷史上的多種證明方法進行介紹.而且，數學知 識畢業后不用就很快遺忘了，但排除法、反證法等思想對學生來說卻是受益終身的.因此，教 學不能僅局限于證明過程本身，更重要的是讓學生掌握證明背后蘊含的思想方法.3、實現能力之助.“等邊對等角”與“等角對等邊”互為逆命題，要判斷這兩個命題的 真假必須分別對其進行嚴格的證明，這對于培養學生的邏輯推理能力有著極大的幫助.同時, 課堂上安排折紙的實驗操作，也有利于學生直觀想象素養的開展。4、達成德育之效.一方面，教學過程中可以講述“驢橋”的故事，告訴同學們中世紀時 期人們學習幾何也同樣會遇到挫折，讓學生們得到撫慰，使數學變得不那么可怕.另一方面, 通過