1、3.4 概率的應(yīng)用 例1. 在英語中某些字母出現(xiàn)的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于另外一些字母.在進(jìn)行了更深入的研究之后，人們還發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母被使用的頻率相當(dāng)穩(wěn)定.例如，下面就是英文字母使用頻率的一份統(tǒng)計(jì)表.字母空格ETOANIRS頻率0.20.1050.0710.06440.0630.0590.0540.0530.052字母HDLCFUMPY頻率0.0470.0350.0290.0230.02210.02250.0210.01750.012字母WGBVKXJQZ頻率0.0120.0110.01050.0080.0030.0020.0010.0010.001 從表中我們可以看出，空格的使用頻率最高.有鑒于此，人們?cè)?/p>

2、設(shè)計(jì)鍵盤時(shí)，空格鍵不僅最大,而且放在使用方便的位置. 近年來對(duì)漢語的統(tǒng)計(jì)研究有了很大的發(fā)展.關(guān)于漢字的使用頻率已有初步統(tǒng)計(jì)資料，對(duì)漢語常用詞也作了一些統(tǒng)計(jì)研究.這些信息對(duì)漢字輸入方案等的研制有很大幫助.使用過漢字拼音輸入法的同學(xué)可能有體會(huì). 如圖，當(dāng)輸入拼音“shu”，則提示有以下幾種可供選擇：1.數(shù)，2.書，3.樹，4.屬，5.署這個(gè)顯示順序基本上就是按照拼音為“shu”的漢字出現(xiàn)頻率從大到小排列的.數(shù) 1 數(shù) 2 書 3 樹 4 屬 5 署 6 輸 7 淑 8 術(shù) 9 舒 例2. 在密碼的編制和破譯中，概率論起著重要的作用.要使敵人不能破譯電文而又能使盟友容易譯出電文，一直是外交官和將軍們

3、關(guān)心的問題.為了保密，通訊雙方事先有一個(gè)秘密約定，稱為密鑰.發(fā)送信息方要把發(fā)出的真實(shí)信息明文，按密鑰規(guī)定，變成密文.接收方將密文按密鑰還原成明文. 例如，古羅馬偉大的軍事和政治家凱撒大帝把明文中的每個(gè)字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母來代替，形成密文.接收方收到密文后，將每個(gè)字母前移三位后便得到明文. 這是一種原始的編制密碼方法。 以傳送命令：“We will start the fight at eleven O clock on Wednesday”為例，編譯這個(gè)命令得到“Zh zloo vwduw wkh iljkw dw hohyhq r forfn rq Zhgqhvgdb”。 如

4、果初次接觸，會(huì)感到莫名其妙，不知如何是好。 在書面語言中單個(gè)的字母不是以同樣的頻率出現(xiàn)的.從例1中英文字母出現(xiàn)頻率的統(tǒng)計(jì)表中我們可以看出，在英文常用文章中， 這種方法使用了很長一段時(shí)間后，有人掌握了破譯的方法。你知道是如何破譯的嗎？ 平均說來出現(xiàn)字母“E”的頻率約為10.5%, “T”約為7.1%，而“J”的出現(xiàn)遠(yuǎn)小于1%. 如果掌握了這個(gè)規(guī)律，再用上面的方法解密，通過對(duì)用密碼寫的密文中的字母進(jìn)行頻率分析，就能比較容易地破譯出密文，出現(xiàn)頻率最高的字母，無論你在編譯中使用什么字母，它一般都表示“e”，出現(xiàn)頻率次高的字母大概是“t”，等等。 現(xiàn)代保密系統(tǒng)采用了能確保每個(gè)字母出現(xiàn)在密文中的概率都相等

5、的技術(shù). 一種理論上不可破譯的密碼是“一次性密碼本”（用后立即銷毀）. 這種密碼本是一長串的隨機(jī)數(shù)，每個(gè)都在1和26之間.這樣一種密碼本可能從以下數(shù)開始：19，7，12，1，3，8，. 。 如“ELEVEN”這個(gè)詞，用按字母表順序排在E后面第19個(gè)字母表示E，而用L后面第7個(gè)字母表示L，等等.因此，ELEVEN變成了XSQWHV. 注意，盡管在明文中“E”出現(xiàn)3次，但是在密文XSQWHV中卻是用三個(gè)不同的字母來替換的. 例3. 社會(huì)調(diào)查人員希望從人群的隨機(jī)抽樣調(diào)查中得到對(duì)他們所提問題誠實(shí)的回答.但是被采訪者常常不愿意如實(shí)地作出應(yīng)答. 1965年Stanley L. Warner發(fā)明了一種應(yīng)用概

6、率知識(shí)來消除這種不愿意情緒的方法. Warner的隨機(jī)化應(yīng)答方法要求人們隨機(jī)地回答所提兩個(gè)問題中的一個(gè)，而不必告訴采訪者回答的是哪個(gè)問題. 兩個(gè)問題中有一個(gè)是敏感的或者是令人為難的；另一個(gè)問題是無關(guān)緊要的. 這樣應(yīng)答者將樂意如實(shí)地回答問題，因?yàn)橹挥兴雷约夯卮鸬氖悄膫€(gè)問題. 例如在調(diào)查運(yùn)動(dòng)員服用興奮劑的時(shí)候，無關(guān)緊要的問題是“你的身份證號(hào)碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎”，敏感的問題是“你服用過興奮劑嗎”，然后要求被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員擲一枚硬幣.如果出現(xiàn)正面，就回答第一個(gè)問題，否則回答第二個(gè)問題. 假如我們把這種方法用于200個(gè)被調(diào)查的運(yùn)動(dòng)員，得到54個(gè)“是”的回答. 因?yàn)閿S硬幣出現(xiàn)正面的概率為 ，我們期望大約有

7、100人回答了第一個(gè)問題.因?yàn)樯矸葑C號(hào)碼尾數(shù)是奇數(shù)或偶數(shù)的可能性是同樣的，因而在回答第一個(gè)問題的100人中大約有一半人，即50人，回答了“是”.其余4個(gè)回答“是”的人服用過興奮劑. 由此我們估計(jì)這群人中大約有4%的人服用過興奮劑 例4. 為了估計(jì)水庫中的魚的尾數(shù)，可以使用以下的方法：先從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如2000尾，給每尾魚作上記號(hào)，不影響其存活，然后放回水庫.經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r(shí)間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數(shù)量的魚，例如500尾，查看其中有記號(hào)的魚，設(shè)有40尾. 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計(jì)水庫內(nèi)魚的尾數(shù).解：設(shè)水庫中魚的尾數(shù)為n，從水庫中任捕一尾，每尾魚被捕的頻率（代替概

8、率）為 ，第二次從水庫中捕出500尾，帶有記號(hào)的魚有40尾，則帶記號(hào)的魚被捕的頻率（代替概率）為 則解得n25000.所以水庫中約有魚25000尾 .例5.深夜，一輛出租車被牽涉進(jìn)一起交通事故，該市有兩家出租車公司：紅色出租車公司和藍(lán)色出租車公司，其中藍(lán)色出租車公司和紅色出租車公司分別占整個(gè)城市出租車的85%和15%，據(jù)現(xiàn)場(chǎng)目擊證人說，事故現(xiàn)場(chǎng)的出租車是紅色的，對(duì)證人的辨別能力作了測(cè)試，測(cè)得他辨認(rèn)顏色的正確率為80%，于是警察就認(rèn)定紅色出租車具有較大的肇事嫌疑。 請(qǐng)問警察的認(rèn)定對(duì)紅色出租車公平嗎？試說明理由。 解：設(shè)該城市有出租車1000輛，那么依題意可得如下信息：從表中可以看出，當(dāng)證人說出租

9、車是紅色時(shí)，且經(jīng)確認(rèn)是紅色的概率為 而是藍(lán)色的概率為 在這種情況下，以證人的證詞作為推斷的依據(jù)，對(duì)紅色出租車顯然是不公平的。例6. 在42位美國總統(tǒng)中，有兩人的生日相同，三人卒日相同。什爾克生于1795年11月2日，哈定則生于1865年11月2日；門羅卒于1831年7月4日，而亞當(dāng)斯、杰佛遜都卒于1826年7月4日。還有兩位總統(tǒng)的死期都是3月8日：費(fèi)爾莫死于1874年，塔夫脫死于1930年，這是巧合嗎？ 解：這是歷史上有名的生日問題，記n為相關(guān)的人數(shù)，n個(gè)人中至少有兩人的生日在同一天的概率為P(A)，則有下表： 上表所列的答案足以引起多數(shù)人的驚奇，因?yàn)椤爸辽儆袃扇松障嗤边@件事情發(fā)生的概率，

10、并不是大多數(shù)人直覺想象中的那樣小，而是相當(dāng)大， 由表中可以看出，當(dāng)人數(shù)是40時(shí)，“至少有兩人生日相同”的概率為0.89，因此，在41位美國總統(tǒng)中，有兩人生日相同，三人卒日相同，根本不是什么巧合，而是很正常的.例7某種病治愈的概率是0.3，那么，前7個(gè)人沒有治愈，后3個(gè)人一定能治愈嗎？如何理解治愈的概率是0.3？解：如果把治療一個(gè)病人作為一次試驗(yàn)，治愈率是0.3，隨著試驗(yàn)次數(shù)增加，即治療的病人數(shù)的增加，大約有30%的人能夠治愈，對(duì)于一次試驗(yàn)來說，其結(jié)果是隨機(jī)的，因此前7個(gè)病人沒治愈是可能的，對(duì)后3個(gè)人來說，其結(jié)果仍然是隨機(jī)的，即有可能治愈，也可能沒有治愈。 治愈的概率是0.3，是指如果患病的人有

11、1000人，那么我們根據(jù)治愈的頻率應(yīng)在治愈的概率附近擺動(dòng)這一前提，就可以認(rèn)為這1000人中，大約有300人能治愈，這個(gè)事先估計(jì)對(duì)于醫(yī)藥衛(wèi)生部門是很有參考價(jià)值的。這也進(jìn)一步說明了隨機(jī)事件的概率只是反映了大量重復(fù)試驗(yàn)條件下，隨機(jī)試驗(yàn)發(fā)生的頻率穩(wěn)定性。例8有人說，既然拋擲一枚硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5，那么連續(xù)兩次拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。你認(rèn)為這種想法正確嗎？例9概率天氣預(yù)報(bào)是用概率值表示預(yù)報(bào)量出現(xiàn)可能性的大小，它所提供的不是某種天氣現(xiàn)象的“有”或“無”、某種氣象要素值的“大”或“小”，而是天氣現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性有多大。 如對(duì)降水的預(yù)報(bào)，傳統(tǒng)的天氣預(yù)報(bào)一般預(yù)報(bào)有雨或無

12、雨，而概率天氣預(yù)報(bào)則給出可能出現(xiàn)降水的百分?jǐn)?shù)，百分?jǐn)?shù)越大，出現(xiàn)降水的可能性越大。 概率天氣預(yù)報(bào)既反映了天氣變化確定性的一面，又反映了天氣變化的不確定性和不確定程度。 在許多情況下，這種預(yù)報(bào)形式更能適應(yīng)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)和軍事活動(dòng)的需要。 請(qǐng)問：你對(duì)概率天氣預(yù)報(bào)，如概率降水預(yù)報(bào)了解多少？4在一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，一種血清被注射到500只豚鼠體內(nèi)，最初，這些豚鼠中150只有圓形細(xì)胞，250只有橢圓形細(xì)胞，100只有不規(guī)則形狀細(xì)胞，被注射這種血清之后，沒有一個(gè)具有圓形細(xì)胞的豚鼠被感染，50個(gè)具有橢圓形細(xì)胞的豚鼠被感染，具有不規(guī)則形狀細(xì)胞的豚鼠全部被感染。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，估計(jì)具有下列細(xì)胞有豚鼠被這種血清感染的概率：（1）圓

13、形細(xì)胞；（2）橢圓形細(xì)胞；（3）不規(guī)則形狀細(xì)胞。解：（1）記“具有圓形細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件A，則由題意可知，A為不可能事件，所以P(A)=0；（2）記“具有橢圓形細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件B，則由題意，得P(B)=0.2.（3）記“具有不規(guī)則形狀細(xì)胞的豚鼠被感染”為事件C，則由題意可知，C為必然事件，所以P(C)=1. ; ; orz25msr ; 地對(duì)哥哥和姐姐說：“瞧瞧，這父子倆長得，可真叫個(gè)像啊！”又笑著對(duì)東伢子說：“小東伢簡直就是把你給揉小了呢！”小東伢馬上說：“二舅爺，那是不是把我拽大了就變成我爹了？”小東伢冷不丁的這一句話，把大家都給逗笑了。沒想到這小東西還有更絕的！只見他依偎在

14、耿英的懷里抬起小腦袋問：“姨姨，你這樣喜歡我，怎么就沒有自己的小伢子呢？”耿英都給羞臊死了，那么能說會(huì)道的嘴巴愣是說不出來一句話來。喬氏說：“我的小東伢啊，你可真正是個(gè)小人兒呢。姨姨光顧了做生意賺銀子了，還沒有結(jié)婚呢，哪來的小伢子啊！姨姨以后會(huì)有的！”又說：“英丫頭啊，你和哥哥都不小了，老家也都有青梅竹馬的心上人在等著呢，回去了就結(jié)婚吧，好讓你娘早點(diǎn)兒抱上孫娃外外的！”耿正和耿英都說：“是，娘娘。我們回去后，把重要的事情安排好了，就操辦這事！”沒有想到耿直也冷不丁給來了一句：“娘娘，我姐以后生了兒子，肯定長得像小東伢！您不知道，我的大壯哥哥跟東伢子姐夫長得就很像呢！”耿英羞得滿臉緋紅，就手打了

15、弟弟腦袋一巴掌，說：“你怎么也像個(gè)小娃娃一樣！”耿直委屈地說：“我說的是實(shí)話嘛！”喬氏伸手摸一摸耿直腦袋上被打的地方，說：“直伢子沒有錯(cuò)，是你姐姐不好，娘娘替她給你道歉啊！不生氣哦！”44第九十八回 耿兄妹重返白家院|（別后七載常思念，觸景生情過云煙；一朝終得再相見，故人已辭淚蹉跎。）臘月二十八那天，天氣很是晴好，幾乎沒有一絲風(fēng)。耿家兄妹三人乘坐大騾車，沿著近八年之前爹爹帶著他們沿江南下時(shí)走過的路，緩緩地朝武昌鎮(zhèn)走來。進(jìn)入鎮(zhèn)子以后，騾車走得更慢了。冬日里溫暖的陽光照耀著，街面越來越熟悉起來。時(shí)間過去這么多年了，武昌鎮(zhèn)上的變化雖然也有一些，但基本輪廓還是記憶中的老樣子。近中午了，人們大概是回家吃飯去了吧，街面上只有稀稀拉拉很少的行人。兄妹三人一直默默地坐在車上，誰也不想說話。此時(shí)此刻，充斥在他們心里的，全部都是爹爹當(dāng)年帶他們離開這里時(shí)的情景；在他們的眼前晃動(dòng)著的，是爹爹挑著籮筐在他們的前面顫悠悠一步步南行