1、、選擇題:1.設隨機變量 X,且(A) X的函數2.設X的概率密度為(A)X9 x e9dx概率論與數理統計練習題專業班 姓名第四章隨機變量的數字特征(一)E(X)存在，則E(X)是(B)f(x)學號確定常數(C)隨機變量(D) x的函數3.設是隨機變量,E(A)E()二、填空題:1 e90(B)存在,(B)E(31.設隨機變量X的可能取值為2.設X為正態分布的隨機變量,則 E(09x)0,1,Xx e9dX-2 ,則 E(3(C)(C)(D) 1E(2,相應的概率分布為,.01,E(X)，一、，1概率密度為f(x) 一=e2 2,則 E(2X2 1)X21012P1/51/61/51/151

2、1/303.設隨機變量X的概率分布，則 E(X 3X2)(X 1)2 B-116/15、 ，一一一，一、14.設隨機變量 X的留度函數為f(x) -e2IX (),則 E(X)_Q三、計算題：1.袋中有5個乒乓球，編號為1,2, 3,4,5,從中任取3個，以X表示取出的3個球中最大編號，求E(X)解：X的可能取值為3, 4,P(X 3)1C；110P(X4)CC3310E(X) 31034 一104.52.設隨機變量X的密度函數為f (x)2(10 x)0 x1一甘，求E(X)其它解：E(X)1ox2(1 x)dx3.設隨機變量求 E(|XI)解： x2(x )2 22yI y |e 三dy2

3、yye 2 dyx 、一 ，、一，.，、 e4.設隨機變量 X的密度函數為f(x)00，試求下列隨機變量的數學期望。0(1) 丫 e2X(2) 丫2max X, 2(3) 丫3 minX,2解：(1) E(Y)2xe edx E(Y2)22e xdxxxedx2e 23e2(3) E(Y3)2xe0 xdxx .2e dx、選擇題:1 3e 22e 21.已知E(X)(A) 9概率論與數理統計練習題專業姓名學號第四章 隨機變量的數字特征(二)21,D(X) 3,則 E3(X2)(B) 6(C) 30(D) 362.設XB(n, p),則有(A)E(2X 1)2np(B)D(2X1)4np(1P

4、)(C)E(2X 1)4np 1(D)D(2X1)4np(1p)3.設服從參數為的泊松分布,3,則(A)E( ) 2D()(B)E(D(C)E( ) 2D()(D)E(D(二、填空題:1.設隨機變量X的可能取值為0,1,2,相應的概率分布為,.01,D(X)2.設隨機變量X的密度函數為f(x)1 . |x| z2e (),則 D(X)3.隨機變量X服從區間0, 2上的均勻分布，則D(X) _2E(X)1/34.設正態分布Y的密度函數是(y 3)2,則 D(X)1/2三、計算題：1.設隨機變量 方差；X的可能取值為1,2, 3,相應的概率分布為，.02,求：Y 2X1的期望與解：E(X)0.32

5、 0.50.2 1.9D(X)_ 2E(X )_ 2(EX)一- 一 一 2一0.3 4 0.5 9 0.2 (1.9)0.49E(Y)2E(X)12.8D(Y)4D(X)1.962 .設隨機變量 X N(0,1),試求 E | x|、D|X|、E(X3)與 E(X4)解： E |X |1x1：2-x2x2D|X |E(X2)e 2 dx20 x T,je dx22ex22_2_2E(|X | ) (E|x|)_ 2E(X )x2e 2 dxx22xex22x2e 2dx = 1所以D | X | 1E(X3)e 2 dxE(X4)x2de 2x2e 2 dx = 3ax3.設隨機變量X的分布

6、密度為f(x)bx(1)常數A,B, C的值;(2)方差解：(1) 2E(X)axdx所以x其它D(X);42 x(bxc)dxP(1 X|23)f(x)dx 1-1斛得a , b43 |456b31一，c4c 2 ,4二 x 1226c2a1.5b26b 2c24 ,已知E(X)(3)隨機變量56b 6c32,P(1 X 3)且，求:4Y eX的期望與方差。D(X)(x 2)2 f (x)dx124/(x 2)2dx2(112x)(x 2) dx4E(Y)D(Y)ex f (x)dx21一xexdx42(11x)exdx4_2_2E(Y ) (E(Y)e2x f (x)dx122 24(e

7、1)1 x (一4 22x2 e,0 T1 x 1 2x 4122 24(2 /24(e1)1(e241)2121 222-e (e 1) 4概率論與數理統計練習題專業姓名學號第四章 隨機變量的數字特征(三)選擇題:對任意兩個隨機變量 X和Y,若E(XY) EX EY ,則D(XY) D(X)D(Y)D(X Y) D(X) D(Y)X與Y相互獨立X與丫不相互獨立2.由D(X Y) D(X) D(Y)即可斷定X與丫不相關F(x, y) Fx(x) Fy(y)X與Y相互獨立(D)相關系數XY 1二、填空題:.設維隨機變量(X,Y)服從N(0,0,1,1,0),則D(3X 2Y).設 X 與Y 獨立

8、，且 D(X) 6, D(Y) 3,則 D(2X Y)13271.已知二維隨機變量(X,Y)的分布律如表:試驗證X與Y不相關，但X與Y不獨立。解：X的分布律為：X 101P丫的分布律為：X 101PXY10110010125三、計算題:E(X) ( 1) 0.375 0 0.25 1 0.375 0E(Y) ( 1) 0.375 0 0.25 1 0.375 0E(XY) ( 1)( 1) 0.125 ( 1) 0 0.125 ( 1) 1 0.1250 1 ( 1) 0.125 0 1 1 0.125 = 0 xy E(XY) E(X)E(Y) 0所以X與Y不相關。P(X 1,Y1) 0.1

9、25 WP(X 1)P(Y1) 0.375 0.375所以X與Y不相互獨立。.設 D(X) 25, D(Y) 36, XY 0.4,求：D(X Y), D(X Y)解：Cov(X,Y) xy . D(X) , D(Y) 0.4 5 6 12D(XY)D(X)2Cov(X,Y)D(Y)85,D(XY)D(X)2Cov(X,Y)D(Y)37.設 X N(0,4), YU(0,4),且 X, 丫相互獨立，求： E(XY) , D(X Y), D(2X 3Y)解：E(X)4 00 , D(X) 4, E(Y) 0242D(Y)行xyE(XY)0,D(XY)D(X) D(Y) 44 16D(2X3Y)

10、4D(X) 9D(Y)1612 284 .設 X,Y相互獨立，其密度函數分別為fX(x)2x0 x其它fY(y)(y 5)E(XY)解：E(X)1x 2xdx 公03(210 3E(Y)5 y e (y 5)dye5ey(y 1)卜E(XY)2 E(X)E(Y)-35.(1)設隨機變量W (aX一 2 一一3Y) ,E(X) E(Y) 0, D(X)4,D(Y)16, XY0.5。求常數a使E(W)為最小，并求E(W)的最小值。(2)設隨機變量(X,Y)服從二維正態分布，且有D(X),D(Y)隨機變量WX aY與V X aY相互獨立。解：(1) Wa2X2 6aXY 9Y2E(W)Ea2X2

11、6aXY 9Y2 a2E(X2) 6aE(XY)9E(Y2)2_2_2a D(X) (E(X) 6aE(XY) 9D(Y) (E(Y)2_.4a 24a 144,2_ 2_4( a 6a 36) 4(a 3)27當a 3時，E(W)最小，最小值為108。(2)要使隨機變量 W X aY與V X aY相互獨立，則E(WV) E(W)E(V) 0由于 E(WV) E(W)E(V) E(X2 a2Y2) (E(X)2 a2(E(Y)2_2 _D(X) a D(Y)所以2 X 2 Y概率論與數理統計練習題系 專業班 姓名 學號第五章大數定律與中心極限定理一、選擇題：1.設n是n次重復試驗中事件 A出現

12、的次數，p是事件A在每次試驗中出現的概率，則對任意0均有 lim P p0(00(D)不存在2.設隨機變量X,E(X2)D(X) 0.1 ,則一定有P 110.9P0 X2 0.9P| X1|10.9P| X1 0.13. Xi,X2，Xio00是同分布相互獨立的隨機變量，Xi B(1,p),則下列不正確的是(A)1000 Xi1000 i 11000(B) Pa Xi bi 1(b 1000P) (a 1000p)1000pq 1000pq1000Xi B(1000, p) i 11000Pa Xi b (b)(a)i 1、填空題:1.對于隨機變量 X,僅知其E(X) 3, D(X) 則可知

13、P| X 3| 325224225.設隨機變量X和Y的數學期望分別為2和2,方差分別為1和4,而相關系數為0.5,則根據契比雪夫不等式P x Y 612三、計算題:1.設各零件的重量是同分布相互獨立的隨機變量,其數學期望為0.5kg,均方差為0.1kg,問5000只零件的總重量超過 2510kg的概率是多少解：設第i件零件的重量為隨機變量Xi,根據題意得 EXi 0.5, JDX 0.1.5000E(Xi)i 150005000 0.5 2500,D( Xi) 5000 0.01 50.i 150005000P( Xii 12510)P( i 1 2Xi 2500150010,D( Xi) 1

14、500125.i 1121500P(| Xi | 15) i 1(1.34) 0.18.n(2) P(| Xi| 10)i 1n0.900.95.根據1010 2的單倜性得-= 1.645,故 n 12 ()443.4.n1.64512所以n最多為443個數相加3.某藥廠斷言，該廠生產的某種藥品對于醫治一種疑難的血液病的治愈率為，醫院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言。(1)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是，問接受這一斷言的概率是多少(2)若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是，問接受這一斷言的概率是多少解：(1)令Xi 1為第i個

15、病人治愈成功，反之則 Xi 0.100令Y Xi,Y- B(100,0.8), E(Y) 80, D(Y) 16. i 1P(YY 80 75 8075) P( 一 , 一).162165()0.8944.4(2)令Xi 1為第i個病人治愈成功，反之則 Xi 0.100令 Y Xi,Y -B(100,0.7), E(Y) 70, D(Y) 21. i 1P(YY 7075 70、.75) P21 - -21-) 14. 一食品店有三種蛋糕出售，由于售出哪一種蛋糕是隨機的，因而售出一只蛋糕的價格是一個 隨機變量，它取1元、元、元各個值的概率分別為、。某天售出300只蛋糕。(1)求收入至少400元

16、的概率；(2)求售出價格為元的蛋糕多于60只的概率。X 11.2 1.5解：(1)設X (i=1,2,3,300)為蛋糕的價格，其分布律為：P 0.3 0.2 0.5E(Xi) 1 0.3 1.2 0.2 1.5 0.5 1.29 (i 1,2,3，300)_2 _D(Xi) 1 0.3 1.44 0.2 2.25 0.5 (1.29)0.0489 (i 1,2,3,300)300P(X400) PX 300 1.29.300 0.0489400 300 1.29；300.0.0489X 300 1.29 400 300 1.291 p 300,0.0489,300 0.04891(3.394)0.0003記Y為售出蛋糕的價格為元的數量，則