1、PAGE PAGE 46在數學教學中 聚焦核心(hxn)概念 滲透(shntu)思想(sxing)方法 澄城縣教研室 丁宏海各位老師，大家早上好！談不上報告，算是和大家進行一次交流。下面，我從以下三個方面來談“在數學教學中 聚焦核心概念 關注思想方法”：一、聚焦新課標的10個核心概念，抓好新一輪數學教學二、滲透數學思想方法，提高數學教學質量三、數學核心概念與思想方法的教學設計框架一、聚焦新課標的10 個核心概念，抓好新一輪數學教學（一）核心概念的表述 美國著名教育學家赫德(Hurd)認為,組成科學課程中的概念和原理應該能夠展現當代學科前景,是學科結構的主干部分,它們被稱為核心概念(keycon

2、ceptsorrepresentativeideas)。戴伊(Day)指出,核心概念是某個知識領域的中心,雖然不是所有人都接受了這些知識,但它們卻獲得了廣泛的應用,而且這些知識還能經得起時間的檢驗。費德恩(Feden)等人認為,核心概念是一種教師希望學生理解并能在忘記其非本質信息或周邊信息之后,仍然能應用的概念性知識,并且他們認為核心概念必須清楚地呈現給學生。美國課程專家埃里克森(Erickson)認為,核心概念是指居于學科中心,具有超越課堂之外的持久價值和遷移價值的關鍵性概念、原理或方法。這些核心概念具有廣闊的解釋空間,源于學科中的各種概念、理論、原理和解釋體系,為領域的發展提供了深入的視角

3、,還為學科之間提供了聯系。總而言之,核心概念是位于學科中心的概念性知識,包括了重要概念、原理、理論等的基本理解和解釋,這些內容能夠展現當代學科前景,是學科結構的主干部分。美國著名教育學家赫德(Hurd)進一步提出,核心概念的選擇不是隨意的,而是一定要展現學科的邏輯結構,即這些核心概念能夠有效的組織起大量的事實和其他概念。不僅如此,這些核心概念應具有一定的前沿性,因為這些內容將延續在學習者以后的生活中,并且極有可能會影響學習者對新知識的探索和獲取,從而進一步影響未來的科學。美國著名教育學家赫德(Hurd)列出選擇核心概念的標準如下:展現了當代科學的主要觀點和思維結構; 足以能夠組織和解釋大量的現

4、象和數據;包含了大量的邏輯內容,有足夠的空間用于解釋,概括,推論等;在教學中可以用上各類情境下的例子,并可使用于日常生活中常見的情況和環境;可以提供許多機會,用以發展與本學科特色相關的認知技能和邏輯思維過程; 可以用于組建更高階的概念,而且可望與其他學科的概念結構建立聯系; 表達了科學在人類智力成果中所占有的地位。研究者們認為,核心概念可以根據學生的認知能力和經驗,按照一定的系列逐漸進階發展,以層層深入(shnr)的方式被學生理解。這些逐漸進階的核心概念 表現出了概念的獲得和發展,是可持續學習的基礎。2011版數學課程標準，修訂組通過廣泛聽取各方意見和建議，對課程標準實驗(shyn)稿中提出的

5、6個核心(hxn)概念“數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識和推理能力”做了調整。共提出了10個核心概念。這就是：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。這十個核心概念可以分成三層：第一層，主要體現在某一內容領域的核心概念。數感、符號意識、運算能力主要體現在數與代數領域，空間觀念主要體現在圖形與幾何領域，數據分析觀念主要體現在統計與概率領域；第二層，體現在不同內容領域的核心概念，包括幾何直觀、推理能力和模型思想；第三層，超越課程內容，整個數學課程都應特別注重培養學生的應用意識和創新意識。核心概念的確定，對于教師教學和學生的學習都

6、具有極為重要的意義。（二）為什么要提出核心概念 核心概念的設計與課程目標的實現、課程內容實質的理解以及教學的重點難點的把握有密切關系。第一、這些核心概念的內涵在性質上是體現學習主體學生的特征，他們涉及的是學生在數學學習中應該建立和培養的關于數學的感悟、觀念、意識、思想、能力等。第二、這些核心概念不是設計者超乎于數學課程之外加的，而是實實在在蘊涵于具體的課程內容之中，或者與課程內容緊密結合的，從這一意義上說，這些核心概念往往是一類課程內容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內容的線索和層次，抓住教學中的關鍵，并在數學過程中有機地發展學生的數學素養。第三、這些核心概念本質上體現的是數學的基本思想。

7、數學的基本思想指對數學及其對象、數學概念和數學結構及數學方法的本質性認識。數學的基本思想集中反映為數學抽象，數學推理，數學思想模型。這些思想是數學學習中的重要目標。不難看出，核心概念對數學基本思想的體現是鮮明的。比如，與“數與代數”部分內容直接關聯的數感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學要更關注其數學思想本質。第四、這些核心概念都是數學課程的目標點，也應該成為數學課堂教學的目標，并通過教師的教學予以落實。僅以“數學思考”和“問題解決”部分的目標設定來看，課程標準就提出了：“建立數感、符號意識和空間觀

8、念，初步形成幾何直觀和運算能力”；“發展數據分析觀念、感受隨機現象”；“發展合情推理和演繹推理能力”；“增強應用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識”。這些目標表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。常見(chn jin)的概念教學程序是：從學生(xu sheng)熟悉的事例或數學知識的新舊聯系中引入給出定義(dngy)讓學生舉例通過反例對概念進行辨析通過各種練習讓學生把握概念的內涵與外延。這五個步驟包括了概念的引入概念的形成概念的明確用符號表示概念概念的鞏固和應用。但是，在課堂教學中老師們對這五個環節的把握并不到位，原因在于許多教師認為，數學就是學一些結論去解題。在這五個教學

9、環節中，很多老師認為，重心是，因為形成學生的解題能力，他們認為只是形式，忽視它的教學價值，其實從，目的是使學生看到數學概念的背景和來源，體驗和體會概念的形成過程，也就是認識上的適應，從而引起認知結構的新建構，是學生完成認知心理學上的“同化、順化或與平衡”的重要認知過程。例如：“三角形”概念的教學，直接給出并讓學生熟讀“由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形”，由于沒有實際問題的呈現，所以學生覺得沒有任何意義，因為不需要用這個定義去判定一個圖形是否三角形。如果要讓學生真正理解這一概念，應該讓學生從“金字塔、飛機、建筑物”等許多“三角形”常見圖片中，找出其共性，抽象出“三角形

10、”圖形。在幾何與圖形部分的概念教學中忽視“幾何直觀”。例如：梯形定義的教學強調讓學生熟讀“一組對邊平行，且另一組對邊不平行”，但不重視讓學生先畫一個梯形與平行四邊形，去觀察比較，從而理解定義。在統計與概率部分有關概念的教學中忽視“數據分析的理念”。如“平均數、概率”概念的教學僅停留在計算的層面，實際上計算并不是重點，重點是用這兩個概念去分析數據，得出結論。再如“隨機事件” 概念的教學，很多學生誤認為“火星上有沒有人”是隨機事件。火星上有沒有人要么有，要么沒有，只是我不知道結果，這沒有任何隨機性，叫未知事件，不是隨機事件。一個硬幣在沒有擲以前，判斷是正面向上還是反面向上是隨機事件，如果擲完了后用

11、紙蓋住讓第三個人猜，這已不是隨機事件，因為它不是“結果不確定”，而是“結果已確定”而我不知道。所以說這些核心概念的提出，一方面有利于教材編寫者和廣大教師更好地理解課程目標和內容，另一方面有利于廣大教師整體把握數學教學的核心，合理而有效地設計和組織教學活動。就是說對他們的理解與認識成為我們正確把握課程內容從而實現課程目標的重要抓手。（三）核心概念在課堂教學中的地位美國地平線研究組主席維斯及高級研究助理帕斯利經過了18 個月的觀察,對364 節課詳細分析,發現優質課堂主要有幾個特征,其中包括:(1) 在課堂教學過程中,教師善用多種策略(如:展現真實世界中的實例,為學生提供一手經驗等) ,為某個科學

12、概念提供清晰的闡釋；(2) 吸引學生從事動腦筋的活動；(3) 幫助學生理解學科的核心概念等。作為優質課堂的主要特征之一,圍繞學科核心概念進行課堂教學成為國際科學教育界關注的熱點。（四）10個核心概念的理解 1、數感 一般人提起數感，總感到它是比較玄乎的。也有人質疑，像“數感”這種因人的感覺而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來嗎？一些老師也感到,數感作為課堂教學目標不好把握。這些情況說明，有必要加強教師對數感的認識。什么(shn me)是數感？“數感”一詞的英文表述(bio sh)為“Number Sense”，可翻譯為多種意思，如感覺(gnju)、感官、理念、意識、領悟等。例如：認為

13、數感是“關于數字（量）的一種直覺”；數感與語感、方向感、美感等類似，都會有一種“直感”的涵義，具有對特定對象的一種敏感性及相關的鑒別（鑒賞）能力；數感是一種主動地、自覺地或自動地理解數和運用數的態度和意識，是一種基本的數學素養。或認為數感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識”來統一指稱，這一知識是程序性的、內隱的、非結構性的。標準實驗稿提出“數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性做出解釋。”2011版課程標準的提法是：“數感主要是指關于數與數量、數量關

14、系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”數與數量、數量關系、運算結果估計，這主要是基于義務教育階段數學課程內容的范圍并根據學生的實際所做出的要求，這有利于教師在教學中更好地把握數感培養的幾條主線。一是關于數與數量。在小學低段，兒童對數的感悟是從數數學習辨認各組實物對象的多少開始建立的，學習用數表示多少的第一步就是數數，隨著學習年級的增高，學生經歷了更多的對數意義的感悟，如對分數、負數、有理數的感悟，并形成對數的各種表征方式的理解，這是一個逐漸展開的過程。二是關于數量關系。它是培養學生數感的另一個層次，即不同年齡段的學生在理解了所

15、學數的意義及表征后，他就具備了理解一定數量關系的基礎，如學生在學習分數概念后，就建立起整體與部分之間關系的感悟，依賴于具體情境或圖形，會分辨兩個分數的大小。隨著他們數感的增強，學生年級的升高和數系的擴充，學生對數量關系的感悟也會逐步提升，最后達到對具體問題所涉及的數量關系的整體把握。三是關于運算結果估計。它是數學課程中所占學時較多的內容，過去更多關注運算法則的掌握和運算技能的訓練，其實通過運算培養學生的估算意識和能力，以此發展學生的數感應成為我們現在課程教學的目標。因此，課程標準在“數與代數”部分多處提到估計及估算的要求。如，“在生活情境中感受大數的意義并能進行估計”“能結合具體情境，選擇恰當

16、的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”（第一學段）；“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算”“會根據給出的有正比例關系的數據在方格子上面圖，會根據其中一個量的值估計另一個量的值”（第二學段）；“能用有理數估計一個無理數的大致范圍”（第三學段）。所以，對運算結果的估計反映的是學生對數學對象更為綜合的數感。如何培養學生的數感數感既然是對數的一種感悟，它就不會像知識、技能的獲得那樣立竿見影，它需要教師在教學中潛移默化，積累經驗，經歷一個逐步建立、發展的過程。具體做法是如下。第一，重視低學段學生對數的感覺的建立，并在數感培養上處理好階段性和發展性的關系。培養學生的數感，第一學段數學是重點

17、。課程標準在第一學段目標中，明確指出：“在運用數及適當的度量單位描述現實生活中的簡單現象，以及對運算結果進行估計的過程中，發展數感。”教學要選擇適合學生年齡特征的方式，提供實物，聯系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式，如剛入學的兒童在認識10以內數的時候，應該通過實物、圖片等，將數與物對應起來。然后，結合具體教學內容，逐步提升和發展學生的數感。在第二學段應結合學生所熟悉的現實素材感受大數的意義，并能對一些問題進行估算；能了解負數的意義用負數表示日常生活的問題，建立起對負數的數感。第二，緊密結合現實生活情境和實例，培養學生的數感。由于現實生活情境和實例，與學生的實際生活經驗密切相連(x

18、in lin)，不僅能夠為學生提供真實自然的數的感悟環境，也能讓學生在數的認知上經歷由具體到抽象的過程，逐步發展學生關于數的思維, 理解現實生活中數的意義，理解或表述(bio sh)具體情境中的數量關系。如讓學生通過調查、討論，弄清楚自己的學號、地區郵政編碼、汽車牌照號、身份證編號的規律和意義，進一步建立數感。第三，讓學生多經歷有關數的活動過程，逐步積累數感經驗。在具體的數學活動中，讓學生動腦、動手(dng shu)、動口，多種感官協調活動，加之相互交流，這對強化他們感知思維，積累數感經驗非常有益。如讓學生調查：從你家到學校的路程大約有多遠？你到學校大約要多長時間？教室面積有多大？學校食堂有多

19、大？你家住房有多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學生針對一周出版的某種報紙，討論中間出現了哪些與數、數量、運算有關的數學問題，分別表述這些問題中關于數的意義作用，如何用數來解決這些具體問題等。在初中，隨著對數的認識領域的擴大以及數的認識的積累，可以引導學生在較復雜的數量關系和運算中提升數感。2、符號意識： 符號對于數學來說是特有的。它既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法。數學符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數學能夠超越于數學對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數學引向深入；它具有明確性，某一數學符號的意義一旦被賦予，它就

20、在這確定的意義下被運用，不會含糊，不會產生歧義，從而帶來數學極大的嚴謹性；它具有可操作性，數學過程往往體現于數學符號之間的“運算”，針對這種“運算”的算法是形式化的，幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起。此外數學符號還具有簡略性和通用性等特點。正因為如此，數學符號在數學發展中起著舉足輕重的作用。學生在數學學習過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數學符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構成了學生數學學習的重要內容，學生掌握數學符號、運用數學符號能力的培養也成為重要的教學目標。（1）什么是符號意識。從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代碼。數字

21、、字母、圖形、關系式等構成了數學的符號系統。符號意識( Sym-bol sense)是學習者在感知、認識、運用數學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。數學符號最本質的意義就在于它是數學抽象的結果。如在數與代數中，數來源于對數量本質（多與少）的抽象，而數字就成為能夠以大小排序的符號。數學符號不僅是一種表示方式，更是與數學概念、命題等具體內容相關的、體現數學基本思想的核心概念，發展學生的符號意識是數學教學的重要目標。（2）課程標準中對符號意識的表述。此次修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”，這說明其意義與課程目標的價值取向和數學符號的本質意義要求更加吻合。在數學學習中，

22、無論是概念、命題學習還是問題解決，都涉及用符號去表征數學對象，并用符號去進行運算、推理，得到一般性的結論。課程標準對符號意識的表述有以下幾層意思。第一(dy)，能夠理解并且運用符號(fho)表示數、數量關系和變化規律，即能夠理解符號所表示的意義與能夠運用符號去表示數學對象（數、數量(shling)關系和變化規律等）。如“+、一、”分別表示特定的運算意義，同時，對數學符號不僅要“懂”，還要會“用”。即運用符號表達數學對象是“用”符號的重要方面,這里的數學對象主要指數、數量關系和變化規律及它們在各個學段的要求。如用數字符號表示現實中的多少，用單一的運算符號表示數字運算關系，而關系式、表格、圖象等又

23、都是表達數量關系和變化規律的符號工具。第二，知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識，要求學生在各學段的學習中，要加強他們在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓練等，如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉換、等價推演、模型抽象及模型解決等。第三，建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式。數學表達是學生在解決具體問題時必須采用的方式，數學表達實質上就是以數學符號作為媒介的一種語言表達,通過培養學生的符號意識，發展學生的數學表達能力已成為當今課堂關注的目標。而發展符號意識最重要的是運用符號進行數學思考，這

24、種思考是數學抽象、數學推理、數學模型等基本數學思想的集中反映，是最具數學特色的思維方式。（3）如何培養學生的符號意識。一是在各學段緊密結合概念、命題、公式的教學，培養學生的符號意識。因為概念、命題、公式是數學課程內容中的重要組成部分，它們又是數學教學的重點，又和數學符號的表達和使用密切相關。因此，課程標準在學段目標和各學段內容標準中都提出了具體要求。如：“能使用符號和詞語描述萬以內數的大小”“認識小括號”（第一學段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數”“結合簡單的時間情境，了解等量關系，并能用字母表示”“能用方程表示簡單情境中的等量關系”（第二學段）；二是結合現實情境培養學生的符號意

25、識。這里一方面，盡可能通過實際問題或現實情境的創設，引導、幫助學生理解符號以及表達式、關系式的意義，或引導學生對現實情境問題進行符號的抽象和表達；另一方面，對某一特定的符號表達式啟發學生進行多樣化的現實意義的填充和解讀。這種建立在現實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學生數學表達和數學符號思維的變通性、遷移性和靈活性。三是在數學問題解決過程中發展學生的符號意識。如引導學生經歷發現問題，提出問題（實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（實際上是使用符號進行運算、推理和數學思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的活動經驗，更好地感悟符號所蘊涵的數學思想本質，逐步促進學生符號意

26、識得到提高。作為一種語言，數學語言有以下三種，一種是數學的普通話，即通常所說的自然語言或文字語言，一種是圖形語言，這是數學里獨特的東西。另外就是符號語言，作為語言，符號語言是數學里一個完整的東西，某種意義上是一個體系，所以從這個角度來說，提升符號意識，對于學習數學，是非常重要的。 因為符號可以用來簡潔、準確的表達，交流起來就方便。 3、空間觀念 （1）什么是空間(kngjin)觀念。關于(guny)空間觀念的含義，也可理解為空間想象力。林崇德在1991年指出，中學生的空間想象包括對平面幾何圖形和立體幾何圖形的運動、變換和位置關系的認識，以及數形結合、代數問題的幾何解釋等。空間想象力主要體現在對

27、諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內化水平上，體現在對簡單形體空間位置的想象和變換（平移(pn y)、旋轉以及分割、割補和疊合等）上，以及對抽象的數學式子（算式或代數式等）給予具體幾何意義的想象解釋或表象能力上。曹才翰提出，空間想象力就是以現實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創造新的形象的能力。同時他指出，空間想象力對初中生來說要求太高了，所以課程標準中只提出培養學生的空間觀念。（2）培養學生空間觀念的意義。數學家和數學教育研究者對于建立培養學生的空間觀念都有相關的描述。數學家阿蒂亞認為，幾何是數學中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思

28、維占主導地位。荷蘭數學家、數學教育家弗萊登塔爾指出，幾何是對空間的把握這個空間是學生生活、呼吸和運動的空間。在這個空間里，學生必須學會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。全美數學教師理事會在美國學校數學課程與評價標準提到，幾何有助于我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現實世界，將幫助學生描述和弄清世界的意義。對于學生來說，發展牢固的空間觀念，掌握幾何的概念和語言，可以較好地為學習數和度量概念做準備，還可以促進其他數學課程的進一步學習。（3）課程標準中關于空間觀念所包含的內容。課程標準是從如下五方面進行刻畫描述的：一是由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；二是由空間圖形反映出實

29、物；三是由復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；四是由基本的圖形中尋找出基本元素及其關系；五是由文字或符號作出或畫出圖形。這幾方面的描述，是在義務教育階段對學生在圖形與幾何內容的學習所要達成的目標。這樣的目標達成的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學習的全過程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與位置等都承載著建立，培養學生空間觀念的任務。 （4）如何培養學生的空間觀念。空間觀念的培養是一個長期的經驗積累的過程，全美數學教師理事會在1989年指出，發展學生的空間觀念，學生必須具有許多經驗。如幾何關系的要點，在空間中物體的方向、方位和透視觀點；相關的形狀和圖

30、形與實物的大小，以及如何通過改變大小來改變形狀。這些經驗要依靠學生以下幾個方面的能力，如會運用像“上面”“下面”和“后面”等一些詞語，畫出一個圖形旋轉90或180以后的圖形，作圖、折疊，讓學生想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形等，這些活動將有助于培養他們的空間觀念。事實上，在圖形與幾何課程的學習中，有很多的素材和機會培養學生的空間觀念的，主要有以下幾方面。 第一，現實問題情境和學生經驗是發展空間觀念的基礎。這在課程標準第一、第二學段的“圖形與運動”“圖形與位置”中的大部分內容的學習，都是培養學生空間觀念的很好素材，都從不同方向觀察物體、運用基本圖形拼圖及基本幾何體的展開圖等，也都是旨在建立培

31、養學生空間觀念的課程內容。教師要在教學中結合學生們熟悉的現實問題情境建立培養學生的空間觀念。 第二，利用多種途徑建立培養學生的空間觀念。生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是建立培養學生空間觀念的有效途徑。教學中教師應結合教學內容恰當地安排學習的活動，創造條件使學生有機會從事上述的活動來建立培養空間觀念。 第三，在學生(xu sheng)的思考、想象過程中建立培養空間觀念。因為(yn wi)學生空間觀念的培養不是一蹴而就的，它需要不斷的經驗積累和豐富的想象力，因此，教學中教師要為學生提供足夠的時間和空間(kngjin)去觀察和想象、操作和分析。4、幾何

32、觀念 （1）什么是幾何直觀。顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；二是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來。幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考和想象。這次課程改革中，強調幾何變換不僅是內容上的變化，也是設計幾何課程指導思想上變化，這將是幾何課程發展的方向。讓圖形“動起來”，在“運動或變換”中來研究、揭示、學習圖形的性質，這樣，一方面，加深了對圖形性質的本質認識；另一方面，對幾何直觀能力也是一種提升。由此可以看到，在義務教育階段對幾何直觀的學習和研究，能把復雜的數學問題變

33、得簡明、形象，能幫助學生直觀地理解數學，從而培養學生的幾何直觀。（2）課程標準中關于幾何直觀所包含的內容。幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。正如前面所指出的，圖形有助于發現、描述問題，有助于探索、發現解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結果，學會用圖形思考、想象問題能使我們更好地感知數學、領悟數學。因此，在義務教育階段教學和指導學生學習時，認識和理解幾何直觀，能幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中教師不僅在幾何內容教

34、學中要重視幾何直觀，在整個數學教學中都應該重視幾何直觀，培養幾何直觀能力應該貫穿義務教育數學課程的始終。為什么要強調幾何直觀，從數學最基本的研究對象說起，數學最主要的研究對象，一個是圖形，一個就是數、字母。 該如何從學習圖形中獲得最大的好處，引用數學家希爾伯特寫的一本書直觀幾何中談到的：圖形可以幫助發現、描述研究的問題；（一旦用圖形把一個問題描述清楚，就有可能使這個問題變得直觀、簡單。） 圖形可以幫助我們尋求解決問題的思路；圖形可以幫助我們理解和記憶得到的結果。從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛偽的，它與數學的內容緊密相連。 （3）如何培養學生的幾何直觀。一是在教學中讓學生逐步養成畫圖

35、習慣，即通過多種途徑和方式讓學生體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的益處。二是重視變換讓圖形動起來，因為幾何變換或圖形的運動是幾何、也是整個數學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法，因此，在教學時教師要充分地利用運動去認識、理解幾何圖形性質，培養學生的幾何直觀。三是學會從“數”與“形”兩個角度相結合認識數學，因為數形結合是對知識、技能的貫通,能有效進行數與形的化歸與轉化。四是掌握、運用一些基本圖形解決實際問題，在教學中教師只有強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶(jy)結果，才能有效培養學生的幾何直觀。 5、數據分析觀念(gunn

36、in) （1）什么(shn me)是數據分析觀念。在課程標準中，將數據分析觀念解釋為：“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面，對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同；另一方面，只要有足夠的數據就可能從中發現規律。”這段表述點明了兩層意思，一是點明了統計的核心是數據分析。“數據是信息的載體，這個載體包括數，也包括語言、信號、圖象，凡是能夠承載事物信息的東西都構成數據，而統計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學和藝術。”二是點明了數

37、據分析觀念的三個重要方面的要求：體會數據中蘊涵著信息；根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性。（2）數據分析觀念的要求。課程標準對數據分析觀念的要求主要表現在三方面。第一，體會在數據中蘊涵著的信息（讓學生能夠體會到數據的作用）。在以信息和技術為基礎的現代社會里，充滿著大量的數據，需要人們面對它們做出合理的決策。因此，數據分析觀念的首要方面是“了解在現實生活中有許多問題應當先做出調查研究，收集數據，通過分析判斷，體會數據中蘊涵著信息。”如課程標準中的一個例子。新年聯歡會準備買水果，調查班級同學最喜歡吃的水果，設計購買方案。 說明借助學生身邊的例子，體會數據調查、數據分析對于決策的作

38、用。此例可以舉一反三。教學中可作如下設計：一是全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內考慮學生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。二是鼓勵學生討論收集數據的方法,如可以采用一個同學提案、贊同舉手的方法,可以采取填寫調查表的方法,還可以采用全部提案后，同學輪流在自己同意的盒里放積木的方法；等等。三是收集并表示數據，參照事先的約定決定購買水果的方案。總之，要根據學生討論的實際情況進行靈活處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原則。在這個例子中不難看出，首先需要設計合適的例子，鼓勵學生收集數據、整理數據、分析數據，從而作出決策和推斷。并在此基礎上，體會數據中蘊涵著信息，體會數

39、據分析的價值。第二，根據問題的背景選擇合適的方法（運用數據可以做什么，怎么來做）。課程標準對數據分析觀念方法的選擇指出：要“了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法。”如課程標準中例38的說明中指出：“條形統計圖有利于直觀了解不同高度的學生數及其差異；扇形統計圖有利于直觀了解不同高度的學生占全班學生的比例及其差異；折線統計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢。”因此，需要我們根據問題的背景選擇合適的統計圖。第三，通過數據分析體驗隨機性。數據的隨機主要有兩層含義：一方面，對于同樣的事情每次收集到的數據可能會是不同的；另一方面，只要有足夠的

40、數據就可能從中發現規律。 如課程標準中例40：袋中裝有4個紅球和1個白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數據中就能發現一些規律，比如，紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。 這幾個方面，還需要老師們去在教學當中去體會，在教學當中去貫徹。6、運算能力 運算是數學的重要內容，在義務教育階段的數學課程的各個學段中，運算都占有很大的比重。學生在學習數學的過程中，要花費較多的時間和精力去學習和掌握關于各種運算的知識(zh shi)及技能。課程標準在學段目標的“知識(zh shi)技能”部分，對各

41、學段運算分別提出(t ch)了明確的要求：第一學段：經歷從日常生活中抽象出數的過程，理解萬以內數的意義，初步認識分數和小數；理解常見的數；體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能，能準確進行運算；在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算。第二學段：體驗從具體情境中認識萬以上的數；理解分數、小數、百分數的意義；掌握必要的運算技能；理解估算的意義；能用方程表示簡單的數量關系，能解簡單的方程。第三學段：運算不僅是數學課程中“數與代數”的重要內容，“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”也都與運算有著密切的聯系，是不可或缺的內容。在課程標準所提出的課程目標中的很多方面，如獲得“四基”（基本知識、基

42、本技能、基本思想、基本活動經驗），運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力等，都與運算的學習有關，運算對實現課程目標發揮著重要的支撐作用。（1）什么是運算能力。根據一定的數學概念、法則和定理，由一些已知量,通過計算得出確定結果的過程，稱為運算。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。課程標準指出：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律，正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。（2）運算能力的特征。

43、運算的正確、靈活、合理和簡潔是運算能力的主要特征。首先要保證運算的正確，為此，必須要正確理解相關的概念、法則、公式和定理等數學知識，明確意識到實施運算的依據。然后，在適度訓練、逐步熟悉的基礎上，清楚地意識到實施運算中的算理。不斷總結正反兩方面的經驗和教訓，逐漸減少在實施運算中，思考概念、法則、公式等的時間和精力，提高運算的熟練程度，以求運算順暢，力求避免失誤。一題多解和多題一解出現在運算過程中是十分普遍的，即一般性與特殊性往往同時出現在實施運算的過程中，一題多解體現了運算的靈活性，多題一解則體現了運算的普適性。一題多解和多題一解的交替出現，相互比較，循環往復，不斷優化，促使學生越來越感悟到：實

44、施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡潔。（3）與運算能力相關的內容。掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步以內為主)。掌握合并同類項和去括號的法則，能進行簡單的整式加法和減法運算；能進行簡單的整式乘法運算（其中多項式相乘僅指一次式之間以及一次式與二次式相乘）。利用乘法公式進行簡單計算；能進行簡單的分式加、減、乘、除運算。了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算；能解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程。掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組。理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方

45、程。能解數字系數的一元一次不等式。（4）要充分重視估算。課程標準在每個學段的學段目標和內容標準中，都強調了估算，提出了具體的要求。第一學段：在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算。在生活(shnghu)情境中感受大數的意義，并能進行估計（例3）；能結合具體情境，選擇適當的單位進行(jnxng)簡單估算，體會估算在生活中的作用（例6）。第二學段：理解估算( sun)的意義。結合現實情境感受大數的意義，并能進行估計（例23）；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（例26，例27）；會用方格紙估計不規則圖形的面枳（例33）。第三學段：掌握必要的估算技能。要求學生能夠用有理數估計一個無理

46、數的大致范圍（例47，例48）；經歷估計方程解的過程（例52）；會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解。不僅僅在于求解，也有利于學生直觀地探究方程的性質，初步感悟通過代入數值進行計算也是求方程解的有效途徑。 需要指出的是，運算能力的形成不是一蹴而就的，運算能力的發展總是從簡單到復雜、從低級到高級、從具體到抽象，有層次地發展起來的。因此，在實際教學過程中，既不能讓學生的運算能力在已有的水平上停滯不前，也不能超越知識的內容和其他能力水平孤立地發展運算能力。應該貫穿于師生共同參與數學教學活動的全過程中，并體現發展的適度性、層次性和階段性。（5）運算能力的培養與發展。運算能力的培養與發展是一個長期

47、的過程，應伴隨著數學知識的積累而深化。正確理解相關的數學概念，是逐步形成運算技能、發展運算能力的前提。運算能力的培養與發展包括運算技能的逐步提高，運算思維素質的提升和發展。在義務教育階段，運算能力的培養、發展要經歷如下幾個過程。第一，由具體到抽象。其中第一學段理解萬以內的數，初步認識整數和分數，初步學習整數的四則運算，以及簡單的分數和小數的加減運算。第二學段認識萬以上的數，進一步學習整數的四則運算（包括混合運算），小數和分數的四則運算（包括混合運算），了解并初步應用運算律。第三學段認識有理數、實數、代數式、方程、不等式、函數，掌握必要的運算技能。第二，由法則到算理。學習和掌握數與式的運算，解方

48、程的運算，讓學生在反復操練、相互交換的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發對“怎樣算？”“怎樣算的好？”“為什么要這樣算？”等一系列問題的思考。這是由法則到算理的思考，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發展的重要內容。課程標準規定了一系列與算理相關的內容。如在第二學段指出：探索并了解運算律（加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律），會應用運算律進行一些簡便運算。了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。第三，由單向思維到逆向、多向思維。逆向思維是數學學習的一個特點。在第二學段，課程標準規定“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互

49、逆關系。”在第三學段，又增加了乘方與開方的互逆關系。到高中階段，更有指數與對數、微分與積分等互逆關系。運算的互逆關系，是逆向思維的重要表現形式之一。運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因導果”和“執果索因”的推理模式也是經常要用到的，表現為有效探索運算的條件與結論，已知與未知的相互聯系及相互轉化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。在實施運算的過程中，還會遇到多個因素的情況，各個因素相互聯系，相互制約，又相輔相成，更加需要不同的思維方向、不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優選用。同時，由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實施運算的過程中，教師

50、對分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序等各個環節都要引導學生進行周密的思考，力求使運算符合算理，達到正確熟練、靈活多樣、合理簡潔，實現運算思維的優化及運算能力的逐步提高。7、推理(tul)能力 推理(tul)在數學中具有重要的地位。課程標準指出：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活(shnghu)中經常使用的思維方式。”學習數學就是要學習推理。具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標。（1）什么是數學推理。數學推理直接與命題有關。在數學中，我們隨時會對思維對象作出一種斷定，即對客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫做判斷。在

51、數學中把表示判斷的語句稱為命題。而數學推理則是以一個或幾個數學命題推出另一個未知命題的思維形式。如果從數學內部看，數學推理反映的是一種基本的數學思想，也是一種主要的數學方法。它與數學證明緊密關聯，數學推理與證明共同構成了數學的最重要的基礎。（2）課程標準中的推理能力。課程標準中的推理能力主要指合情推理與演繹推理。合情推理是數學家喬治波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結論不一定成立的推理）的特稱。其中歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理；類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。而演繹推理是從已有

52、的事實（包括定義、公理、定理等）確定的規則出發，得到某個具體結論的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的結論一定真）。它的思維進程是從一般到特殊。它的基本形式是三段論。合情推理與演繹推理功能不同，但它們是相輔相成的。波利亞很早就注意剄“數學有兩個側面用歐幾里得方式提出來的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學。”因此，與之相適應，應該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發現結論；用演繹推理驗證猜想，證明結論。正如課程標準指出的：“兩種推理功能不同，相輔相成。”（3）如何培養學生的推理能力。在教學中教師應該從以下幾個方面培養學生的推理能力。一是推理能力的發展應貫穿

53、在整個數學的學習過程中。其一，它應貫穿于整個數學課程的各個學習內容，即應包括數與代數、圖形與幾何、統計與概率及綜合與實踐等所有領域內容。其二，它應貫穿于數學課堂教學的各種活動過程。如在概念教學中，讓學生經歷從特定對象的本質屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導學生有條理地表述概念定義；在命題教學中，引導學生分清條件、結論，把握條件、結論間的邏輯關系；在證明教學中，更要讓學生遵循證明，通過數學推理、證明數學結論。其三，它貫穿于整個數學學習環節，如預習、復習、課堂教學、自我練習、測驗考試等，在所有的這些學習環節中，逐步要求學生做到言必有據，合乎邏輯二是通過多樣化的活動，培養學生的推理能力，即在

54、觀察、操作等活動中，能提出一些簡單猜想”（第一學段），“在觀察、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”（第二學段），“在多樣化形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力”（第三學段）。三是讓學生多經歷“猜想一證明”的問題探索過程，即讓學生能親身經歷用合情推理發現結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程，在過程中感悟數學基本思想，積累數學活動經驗。8、模型思想 模型思想是此次修訂標準新增的核心概念。盡管課程標準實驗(shyn)稿在課程實施部分的“教學(jio xu)建議”中曾提到(t do)了“建立模型”一詞，但數學模型、建模等概念并未出現在義務教育階段課程目標及課程內容的文字表述之中。這次隨

55、著“模型思想”的列入，我們會看到關于教學模型的相關提法在課程標準的多個部分出現。特別是模型思想作為一種基本的數學思想更會與目標、內容緊密關聯。作為一線教師應對課程標準中模型思想的含義及要求準確理解，并把這要求落實于課堂教學之中。（1）什么是數學建模。所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地、概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。即用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，及各種圖表、圖形等都是數學模型。它的結構有兩個主要特點：一是經過抽象、舍去對象的一些非本質屬性以后所形成的一種純數學關系結構；二是這種結構借助數學符

56、號來表示，并能進行數學推演的結構。（2）課程標準中模型思想的含義及要求。一是模型思想是一種數學的基本思想。如在課程標準將數學基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問題：數學基本思想主要指哪些思想呢？現在模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，實際上已經明示它是數學基本思想之一。史寧中教授在數學思想概論中提出這樣的觀點：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系。”從數學產生、數學內部發展、數學外部關聯三個維度上概括了對數學發展影響最大的三個重要思想。二

57、是明確建立和求解模型的過程要求。課程標準以義務教育數學課程的實際情況出發，將這一過程進一步簡化為三個環節：首先是“從現實生活或具體情境中抽象數學問題”，然后“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”，最后通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義。顯然，數學建模過程可以使學生在多方面得到培養，而不只是知識、技能，使學生更有思想、方法，也有一些經驗積累，其情感態度（如興趣、自信心、科學態度等）也會得到培養。三是模型思想還體現在課程標準其它方面。如課程標準中有如下提法：“經歷數與代數的抽象、運算與建模過程。”（數與代數總目標）；“結合實際情境，經歷

58、設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”（“綜合與實踐”內容標準）等，除此之外，在教學實施、評價、案例等部分都有關于模型思想的具體要求，教師在課程實施中要注意這一特點。（3）如何培養學生的模型思想。培養學生的模型思想主要從以下幾方面著手。第一、在教學中教師要逐步滲透和引導學生不斷感悟。即教師在教學中要注意根據學生的年齡特征和不同學段的要求，逐步滲透模型思想。比如在第一學段，可以引導學生經歷從現實情境中抽象出數、從簡單幾何體到平面圖形的過程和從簡單數據收集、整理的過程，使學生學會用適當的符號來表示這些現實情境中的簡單現象，并提出一些力所能及的數學問題。在第二學段，

59、通過一些具體問題，引導學生通過觀察、分析抽象出更為一般的模式表達，如用字母表示有關的運算律和運算性質，總結出路程、速度、時間，單價、數量、總價的關系式。總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應該蘊涵于概念、命題、公式、法則的教學之中，并與數感、符號感、空間觀念等的培養緊密結合。第二(d r)、教學(jio xu)中教師要讓學生經歷“問題(wnt)情境一建立模型一求解驗證”的數學活動過程，它體現了課程標準中模型思想的基本要求，也有利于學生在活動過程中理解、掌握有關知識、技能，積累數學活動經驗，感悟模型思想的本質。這一過程更有利于學生去發現、提出、分析、解決問題，培養創新意識。第三、結合綜

60、合實踐活動的開展，進一步發展學生的數學建模能力。第四、通過數學建模改善學生學習方式。如小課題學習方式（讓學生自主確定數學建模課題，設定課題研究計劃，完成后提交課題研究報告。小課題研究要針對不同的年齡段應該有不同的層次和不同的水平，但不管何種層次和水平，關鍵要引導學生根據自己的生活經驗和對現實情境的觀察，提出研究課題），協作式學習方式（以小組為單位在組內進行合理分工，協同作戰，培養學生的合作交流能力）等。9、應用意識 課程標準在課程目標中指出：要使學生“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力”。因此，增強應用意識作為數學課程的重要目