1、集合的概念與運(yùn)算教學(xué)講義ZH 5uHI SJMU LI SHU WG JVZJCEI I知識(shí)榛理1.集合與元素一組對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合.(1)集合中元素的三大特征：確定性、互異性、無(wú)序性.(2)集合中元素與集合的關(guān)系：對(duì)于元素a與集合A,aC A 或a?A ,二者必居其(3)常見(jiàn)集合的符號(hào)表示.數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*ZQR(4)集合的表示法：列舉法、描述法、Venn圖法、區(qū)間表示法.集合的分類(lèi)：集合按元素個(gè)數(shù)的多少分為有限集、無(wú)限集，有限集常用列舉法表示，無(wú)限集常用描述法表示.集合之間的基本關(guān)系關(guān)系定義表小相等集合A與集合B中的所啟兒系都 相向_A = _B子集A

2、中的任意一個(gè)兀素都是B中的兀素_A ? B真子集A是B的子集，且B中至少有一個(gè)兀素不屬于A_AB注意：(1)空集用_?_表示.(2)若集合A中含有n個(gè)元素，則其子集個(gè)數(shù)為2n ,真子集個(gè)數(shù)為2n 1 ,非空真子集的個(gè)數(shù)為的2 .(3)空集是任何集合的子集，是任何一非空集合 的真子集.(4)若 A? B, B? C,貝U A ?C.集合的基本運(yùn)算符號(hào)語(yǔ)百交集An B并集AU B補(bǔ)集?UA圖形語(yǔ)百意義An B=x|xC A 且 xCAU B = x|xC A 或 xC?uA=xxe U 且 x?ABBM ZFKJMti YAL .hl- LUNp重要結(jié)論Ana=a, An? = ?.AU A=A,

3、 AU? = A.AA(?uA)=?, AU(?uA)=U, ?u(?uA) = A.A? B? AA B= A? AUB=B? uA? uB? AA(?uB)=?.睇Jl 21 在 CJIt產(chǎn)雙基自廁0.已知集合 A=xCN|0WxW 4,則下列表述正確的是 (D )A. 0?AB. 1? AC.2? AD. 3C A解析集合 A=xC N|0 x0, B = x|-1x2,則 AUB= ( A )B. x|x 1C. x|0 x 2x|- 1x- 1,故選 A.5.(文)已知 A=x|x+ 10 , B= -2, 1,0,1,貝U(?rA)AB( A )A.-2, 1B.-2C.-2,0,

4、1D.0,1(理)已知集合 P=xC R|1x4,則 PU(?rQ)=( B )A.2,3B.(-2,3C.1,2)D.( 8, 2 U 1 , i)解析(文)”=*恒+10 = x|x1, .1.?rA=x|x4 = x R|x 2 或 xW 2 ,，？rQ= xC R| 2x2 , B= x|y=/x1,則(A )A. A? BB. AUB=AC. AAB=?D. AA(?iB)w?解析(文).集合 M = x|x|W1=x|1WxW 1 , N=y|y=x2, xC R =y|y0, .MAN= 0|0 x2 = (1 , +8), B = x|y = x1 = 1 , + f .A?

5、B.故選A .方法技巧判斷集合間關(guān)系的三種方法（1）列舉法：把元素一一列舉觀察.（2）集合元素特征法：首先確定集合中的元素是什么，弄清集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判斷關(guān)系.數(shù)形結(jié)合法：禾1J用數(shù)軸或Venn圖.8.（文）（2018北京東城區(qū)月考）已知集合 M = x|xw a, N=x|-2x0,若MAN=?,則實(shí) 數(shù)a的取值范圍為（D ）A. （0, +OO ）B. 0, +OO）C. （一00, 一 2）D . （一00, 一 2（理）（2018 吉林長(zhǎng)春檢測(cè)）已知集合 A=xax1 = 0, B=x|1log2x 2, xCN*,且 AAB = TOC o 1-5 h z A

6、,則實(shí)數(shù)a的所有可能取值組成的集合是（D ）A. ?B. 1111C. ? 4D. 0,4解析（文）因?yàn)?M = x|xwa, N=x|-2x0,由 M n N= ?，得 aw 2.故選 D.（理）由 AAB= A,得 A? B. .B = x|1log2xW2, xC N*=x|2x 4, xCN* = 3,4.當(dāng) A=?時(shí)，則方程ax-1 = 0,無(wú)實(shí)數(shù)解，a=0,此時(shí)顯然有A? B,符合題意；當(dāng)Aw?,則由方程ax1=0,得x= 1要使A? B,則1=3或1=4,即a =：或1.綜上所述，a的所有可能取 aa a3 4值組成的集合是0, 3, 4 .故選D.KMp： _I11fM1ILA

7、Q DIAH TU PC HU IXJNG TAiN jru考點(diǎn)1集合的基本概念自主練透*例1 （1）已知集合A=x|x=3k+1, kC Z,則下列表示不正確的是 （C ）A. 2C AB. 2019?AC. 3k2+ 1?AD. 35 A（2）（2018課標(biāo)n , 2）已知集合 A=（x, y）|x2+y2W3, xCZ, yCZ,則A中元素的個(gè)數(shù)為（A ） TOC o 1-5 h z A. 9B. 8C. 5D. 49（3）若集合A=xC R|ax23x+ 2 = 0中只有一個(gè)兀素，則a=0或.（4）已知 aCR, bC R,若a, b, 1=a2, a+b,0,則 a2019+ b20

8、19=-1 .a一一,一，,2一皿解析(1)當(dāng)2=3k+1 時(shí)，k= 1 CZ,故 A 正確；當(dāng) 2019=3k+1 時(shí)，k= 6723?Z,故 3B正確；當(dāng)35=3k+ 1時(shí)，k=- 12 Z ,故D正確.故選 C.(2)本題主要考查集合的含義與表示.由題意可知A=( 1,0), (0,0), (1,0) , (0, 1), (0,1),(-1, 1), (1,1), (1, 1), (1,1),故集合 A 中共有 9 個(gè)元素，故選 A.4一2(3)若a = 0,則A=0,符合題意；若aw。，則由題意得 A= 9 8a = 0,解得a = .8綜上，a的值為0或號(hào).8(4)由已知得 a =

9、0, .1.b=0, a,0,1 = a2, a,0, -.a2= 1, a=1 或 1(舍)，a2019+b2019 =-1,故填一1.名師點(diǎn)撥 ？(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類(lèi)型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類(lèi)型的集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗(yàn)集合中元素是否滿(mǎn)足互異性.分類(lèi)討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題.考點(diǎn)2集合間的關(guān)系一一師生共研*例2 (1)已知集合 A=x|x2-3x+2=0, xCR, B= x|0 x5, xC N,則(C )A. B? AB. A=BC. A

10、BD. B A(2)(2018云南第一次檢測(cè))設(shè)集合A=x|-x2-x+20,則集合A與B的關(guān)系是(A )A. B AB. B AC. BC AD. AC Bn1(3)(又)(2018 汪西八校聯(lián)考)集合 M=x|x= 2+1, nCZ, N=y|y=n+-, n Z,則兩集合M , N的關(guān)系為(D )A. MP N=?B. M=NC. M ND. N M(理)(2018廣西梧州臨川期中)設(shè)集合M = x|x=k + 2，kCZ, N=x|x =5+1, kCZ,則 3 66 3A. M= NM NN MM n(4)已知集合 A=x|-2 x5 , B=x|m+ 1x2m- 1 w?,若 AA

11、B=B,則實(shí)數(shù) 值范圍為2,3_.解析(1)A=x|x2-3x+ 2=0, xC R =1,2 , B = x|0 x5, x N = 1,2,3,4,5(2)A=x|-x2-x+ 21 或 x0 = x|x2 .m的取.A B.B A,故選 A.（3）（文）解法一：（列舉法）13113 5M,故由題息知：M = , 0, 2 1 , 2 2, N=，一2，22，,顯然 N選D.解法二：（描述法）n+ 2M = x|x=-2-, nC Z,2n+ 1N=y|y= -2-，ne Z .,n + 2表示所有整數(shù)，而 2n+1表示所有奇數(shù)，. N M,故選D.（理）解法一：（列舉法），由題意知111

12、15 7 TOC o 1-5 h z M = -2，- 6，6，2，6，6，11112 5,N-6，0 6，3，2, 3，6，顯然M N,故選B.解法二：（描述法）2k+ 1k+4M = x|x=-6, kCZ, N=x|x = , kCZ- 12k+ 1表示所有奇數(shù)，而 k+ 4表示所有整數(shù)（kCZ）.M N,故選 B.(4)由 AA B = B 知，B? A.ri b A_1_-23flr-l 5 x2m 1 m+1,又 Bw?,則 m+1 -2, 解得 2wmw 3,2m-15.則實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,3.弓I申1本例（4）中若B=x|m+ 1 w xW2m 1情況又如何？解析應(yīng)對(duì)B=?

13、和BW?進(jìn)行分類(lèi).若 b=?,則 2m1m+1,此時(shí) m5,mW 3,即不等式組無(wú)解，故不存在實(shí)數(shù)m,使A? B.m3,弓仲3本例（4）中，若B=x|m+1 wxw 1 2m , A B,則m的取值范圍為（qq, 3m + 1 w 2,解析由題意可知解得mW3.2m5,名師點(diǎn)撥 ？判斷集合間關(guān)系的3種方法列舉法根據(jù)題中限定條件把集合兀素表示出來(lái)，然后比較集合兀素的異同，從而找出集合之間的關(guān)系.（如第1、2題）結(jié)構(gòu)法從兀素的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)入手，結(jié)合通分、化簡(jiǎn)、變形等技巧，從兀素結(jié)構(gòu)上找差異進(jìn)行判斷.（如第3題）數(shù)軸法在同一個(gè)數(shù)軸上表示出兩個(gè)集合，比較端點(diǎn)之間的大小關(guān)系，從而確定集合與集合之間的關(guān)系.（

14、如第4題）變式訓(xùn)練1（1）（2018 遼寧錦州質(zhì)檢（一）集合 M=x|x= 3n, nCN,集合 N=xX=3n, n N,則集合 M 與集合N的關(guān)系是（D ）A. M? NB. N? MC. MAN=?D.MN 且 NM（2）（文）（2018 遼寧葫蘆島一中月考）已知集合 M = x|y=lg（2x） ,N = y|y = 3 + /x1, 則（B ）A. M? NB. N? MC. M=ND.NCM（理）（2018湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考）已知集合M = x|y=x/1x2, xCR, N=x|x= m2, mC M,則集合M, N的關(guān)系是（B ）A. M NB. N MC. M? rND.

15、 N? rM（3）已知集合 A= x|x2-3x-100，若 A? B,則 m 的取值范圍是（25）一解析（1）因?yàn)?1 C M,1?N,6C N,6?M,所以 M N 且 N M,故選 D.（2）（文）.集合 M = x|y=lg（2 x） = （ 8, 2）, N = y|y=A/1x + Jx1 = 0, .-.N? M.故選B.（理）依題意知，M = x|y=q1x2,xC R=x|1WxW1,N=x|x=m2,mC M = x|0 x 1,所以N M.故選B.1010化簡(jiǎn)人=卜2 3x 100 = x|-2x0 時(shí)，x- ,因?yàn)?A? B,所以一溫10 一 . 10-2,解得 m5,

16、所以 0Vm5.當(dāng) m0 時(shí)，x5,解得 m 2,所以2Vm0.當(dāng)m=0時(shí)，B=R,符合A? B.綜上所述，所求的 m的取值范圍是（2,5）.考點(diǎn)3集合的基本運(yùn)算一一多維探究，例3 （1）（2018課標(biāo)全國(guó)I,角度1集合的運(yùn)算1）已知集合 A = 0,2 , B= -2, - 1,0,1,2,則 AA B=（A ）B. 1,2A. 0,2C. 0D. -2, - 1,0,1,2(2)(2018 天津,1)設(shè)集合 A=1,2,3,4, B= -1,0,2,3 , C=x R|-1x2,則(AUB)大 C =(C )A.-1,1B.0,1C.-1,0,1D.2,3,4(3)(2018 天津，1)設(shè)

17、全集為 R,集合 A= x|0 x1,則 AA(?rB)=( B )A.x|0 x 1B,x|0 x1C.x|1x2D,x|0 x2解析(1)本題主要考查集合的基本運(yùn)算. A=0,2 , B= -2, - 1,0,1,2, /.An B= 0,2,故選 A.(2)本題主要考查集合的運(yùn)算.由題意得 AUB=1,2,3,4 , - 1,0 , . .(AU B)AC = 1,2,3,4 , - 1,0 Ax R|-1x 1,得？rB = x|x1,借助于數(shù)軸，可得 AA(?rB) = x|0 x1,故選 B.&2-*2角度2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)例4 (1)(2018河北邢臺(tái)聯(lián)考)已知全集 U =

18、xCZ|0 xW 8,集合 A = xCZ|2xm(2 m8),若？ uA中的元素個(gè)數(shù)為4,則m的取值范圍為(A )A. (6,7B. 6,7)C. 6,7D. (6,7)(2)(2018江西鷹潭一中模擬)已知集合A=x|12xw 16 , B = x|xa,若AAB = A,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A )A. (4, +oo )B. 4, +oo )C. 0, +8 )D, (0, +oo )解析(1)若？uA中的元素的個(gè)數(shù)為4,則？uA=1,2,7,8 ,，6mW7,故選A.(2)由題意知 A= x|0 x 4,由AAB = A,知A? B,所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是(4,十),故選A .名師點(diǎn)撥 ？集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn).集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問(wèn)題的前提.有些集合是可以化簡(jiǎn)的，先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算，可使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，易于解決.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和 Venn圖.根據(jù)集合運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)，先把符號(hào)語(yǔ)言譯成文字語(yǔ)言，然后應(yīng)用數(shù)形結(jié)合求解.變式訓(xùn)練2(1)(角度 1)已知集合 A= 1,2,3 , B = x|(x+1)(x-2)0,則條A=( B )A.x|- 1x2B.x|-1x 2C.xR2D.x2(3)(角度2)集合M = x|