1、立體幾何問(wèn)題兩種解法的比較孟祥鳳摘 要：本文對(duì)高考數(shù)學(xué)中立體幾何的兩種求解方法（傳統(tǒng)法與向量法）進(jìn)行了比較探究，全面分析了立體幾何問(wèn)題分別用傳統(tǒng)法和向量法來(lái)解題的方法，并通過(guò)實(shí)例中對(duì)兩種方法解題的對(duì)比，指出傳統(tǒng)法與向量法的優(yōu)缺點(diǎn)及區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而提出在教學(xué)和解題上對(duì)傳統(tǒng)法與向量法的選擇的思考，以期使它們的積極功能得以體現(xiàn) 關(guān)鍵詞：立體幾何 傳統(tǒng)法 向量法立體幾何在培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力等方面有著獨(dú)到的作用，因而它成為歷屆高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，在歷年的高考中約占12%.高考數(shù)學(xué)試卷中立體幾何的難度不會(huì)很大，所以應(yīng)在基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能落實(shí)的基礎(chǔ)上注意類(lèi)比、轉(zhuǎn)化思想，數(shù)行結(jié)合思想的應(yīng)用

2、，借助向量知識(shí)、點(diǎn)-線(xiàn)-面之間的性質(zhì)等工具，選取合理、快捷的解題方法.立體幾何中常出現(xiàn)的問(wèn)題無(wú)外乎線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)以及空間距離和空間角等這幾方面，下面分別從傳統(tǒng)法和向量法兩種方法闡述這兩種方法在解這些問(wèn)題時(shí)的方法。傳統(tǒng)法 傳統(tǒng)方法是在向量法以前的唯一一種解立體幾何的方法，它存在一定的技巧性，只要從多個(gè)方面考慮問(wèn)題解決并不難。以下從幾個(gè)方面給出運(yùn)用傳統(tǒng)法的方法。 （一)解決線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直的判定和性質(zhì)(見(jiàn)表一) （二）傳統(tǒng)法解決空間距離的方法 = 1 * GB3 異面直線(xiàn)距離：通常找公垂線(xiàn)段，在根據(jù)已知條件求出公垂線(xiàn)段長(zhǎng)。 = 2 * GB3 點(diǎn)到平面的距離：

3、先作出表示距離的線(xiàn)段，再證明它就是所要求的距離，然后再計(jì)算；或用等體積法。 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 面與面間距離：找出兩個(gè)面的公垂線(xiàn)，根據(jù)已知條件求出公垂線(xiàn)的距離即為面與面間的距離。 （三）傳統(tǒng)法解決空間角的方法 = 1 * GB3 異面直線(xiàn)所成的角：將異面直線(xiàn)平移，轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，在借助三角形的正、余弦定理求解。 = 2 * GB3 線(xiàn)面角：先求點(diǎn)到面的距離，通過(guò)射影斜線(xiàn)間在同一個(gè)三角形內(nèi)，然后解直角三角形的方法進(jìn)行求解。 = 3 * GB3 二面角：方法一：設(shè)二面角-的大小為 (0) , ，分別是平面，內(nèi)且垂直于的向量,則= 或=- 。方法二：先求出二面

4、角一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)到另一個(gè)面的距離及到棱的距離，通過(guò)射影斜線(xiàn)間的關(guān)系，然后通過(guò)解直角三角形求角。 （四）解題思路 傳統(tǒng)法的解題思路：證明平行和垂直主要是依據(jù)判定定理和性質(zhì)定理，計(jì)算問(wèn)題主要是作輔助線(xiàn)、證明、求解的過(guò)程，先要做出或?qū)ふ业剿蟮木嚯x或角，然后證明，最后計(jì)算.計(jì)算一般使用勾股定理，余弦定理等解三角形的知識(shí)，解決問(wèn)題的技巧性較大。平行垂直直線(xiàn)和直線(xiàn)(1)同平行于直線(xiàn)的兩直線(xiàn)平行行(2)= ,/, (3)(4) ,(5)兩平行平面都和第三個(gè)平面相交分別交于與，則交線(xiàn)平行(1) ,/cc(2) ,(3)三垂線(xiàn)定理及其逆定理(4) /,直線(xiàn) ()與平面(1) (2) (3), /(1) m, (

5、2) /,(3) /, (4) , (5) ,平面與平面(1)若內(nèi)的兩條相交直線(xiàn),都平行于，則/(2),/(3)平行于同一平面的兩平面平行(1) ,(2) /, 表一（見(jiàn)12） 例1：如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。 （ = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I）證明：直線(xiàn)；（ = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II）求異面直線(xiàn)與所成角的大小； （）求點(diǎn)到平面的距離。 (1)證明：取中點(diǎn)，連接，. , . 又, 平面平面, 平面. (2）解：, 為異面直線(xiàn)與所成的角（或其補(bǔ)角）. 作連接. 平面, . , , , , 與所成

6、角的大小為. (3)解:平面, 點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等. 連接,過(guò)點(diǎn)作. , 平面, , 平面, 線(xiàn)段的長(zhǎng)就是點(diǎn)到平面的距離. , , 點(diǎn)到平面的距離為.（見(jiàn)3） 例2：如圖，直三棱柱中，,、分別為、的中點(diǎn)，平面. （1）證明：； （2）設(shè)二面角為60,求與平面所成的角的大小. （1）證明：取中點(diǎn)，連接，連接. 分別為的中點(diǎn)， 并且, 四邊形為平行四邊形， . 又平面, 平面, , 是的垂直平分線(xiàn), .(2)解：作，垂足為，連接. 由三垂線(xiàn)定理知， 為二面角的平面角. 設(shè)=. = , 2=，解得=. . ， 四邊形為正方形. ，=， 平面， 平面平面. 連接、，設(shè)， ，平面, 為與平面所成的角

7、. 為正方形，=， =1. , =300， 與平面所成的角為300.(見(jiàn)4) 二、向量法向量的應(yīng)用是在熟練三視圖的解題方法后，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，找向量與向量之間的關(guān)系從而得到想要的結(jié)論。 （一）證明線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行的方法 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 線(xiàn)線(xiàn)平行：設(shè)，分別是兩條不重合的直線(xiàn),的方向向量,則= (R，且0）。 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 線(xiàn)面平行：方法一：設(shè)直線(xiàn)在平面外，是的一個(gè)方向向量,是的一個(gè)法向量, 則/ 。方法二：對(duì)于向量，存在實(shí)數(shù)，有（與不共線(xiàn)），則與，共面，即與、所確定的平面平行或在其內(nèi)。 = 3 * GB3 * MER

8、GEFORMAT 面面平行：設(shè),分別是兩個(gè)不重合的平面,的法向量/ = (R，且0)。 （二）證明線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的垂直的方法 = 1 * GB3 線(xiàn)線(xiàn)垂直： 設(shè),分別為直線(xiàn),的一個(gè)方向向量,則 = 0。 = 2 * GB3 線(xiàn)面平行： 設(shè)為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量,是平面的一個(gè)法向量,那么要使垂直于的條件： / =(R，且0)。 = 3 * GB3 面面垂直： 設(shè),分別為平面,的一個(gè)方向向量,則 =0。（三）向量法求解空間距離的方法 = 1 * GB3 兩點(diǎn)間的距離：設(shè)空間兩點(diǎn),的距離： = . = 2 * GB3 點(diǎn)線(xiàn)間的距離：點(diǎn)直線(xiàn),設(shè) 是直線(xiàn)的一個(gè)法向量,在上取點(diǎn) ，在上的投影為|=,則點(diǎn)到

9、直線(xiàn)的距離=| =。 = 3 * GB3 點(diǎn)到面的距離:方法一：設(shè)點(diǎn)，平面的方程為：。空間中點(diǎn)到平面的距離公式: = .方法二：設(shè)平面的斜線(xiàn)=,是的一個(gè)法向量,則點(diǎn) 到平面的距離 = 。 = 4 * GB3 線(xiàn)線(xiàn)間的距離：設(shè),分別是異面直線(xiàn),的方向向量,是，的法向量，在，上各取一點(diǎn),在上的投影。 （四）向量法求解空間角問(wèn)題的方法 = 1 * GB3 線(xiàn)線(xiàn)角：設(shè)異面直線(xiàn)、的夾角為( 0) ， 、分別為,的一個(gè)方向向量,則cos =|cos | =。 = 2 * GB3 線(xiàn)面角：若直線(xiàn)與平面斜交于點(diǎn)，在直線(xiàn)上，于，為平面的法向量，與所成角為 (0)，則sin=sin(-)=cos= 。 = 3 *

10、 GB3 二面角：二面角為 (0)，為平面的法向量，為平面的法向量，則 =，那么向量， 的夾角 就是二面角（或其補(bǔ)角）的大小。以上是應(yīng)用向量法求解和證明立體幾何是需要用到的基礎(chǔ)知識(shí)，要想很好的應(yīng)用向量法必須熟記以上內(nèi)容。但是在實(shí)際解題時(shí)，具體問(wèn)題需具體分析，從多方面考慮入手，尋找解題的捷徑。向量法解題思路 利用直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量表示空間直線(xiàn)、平面間的平行、垂直、夾角等位置關(guān)系，并且給出用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的三步驟：建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線(xiàn)、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系以及距離和夾角問(wèn)題；把

11、向量的運(yùn)算結(jié)果翻譯成相應(yīng)的幾何意義.下面用向量法分別解例1、例2。 例1：（1）證明：作于點(diǎn),以所在直線(xiàn)為軸建立坐標(biāo)系.則 , 于是. 設(shè)平面的法向量為 ，則 ,. 即 取,解得, (), .（2）解：設(shè)與所成的角為, , , , 與所成角的大小為. (3) 解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為, 為在向量上的投影的絕對(duì)值, , , 點(diǎn)到平面的距離為.(見(jiàn)45)點(diǎn)析：線(xiàn)面平行的證明、異面直線(xiàn)所成的角，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，既可以用綜合方法求解，也可以用向量方法求解，前者較簡(jiǎn)便，因?yàn)閼?yīng)用向量法計(jì)算上會(huì)花費(fèi)很大功夫，個(gè)人喜歡再求二面角時(shí)使用向量法。 例2: （1）證明：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)為軸、軸、軸. 設(shè)，則,.

12、 于是=，=. 平面, ， =0，求得=1， . (2) 解：設(shè)平面的法向量. . =，=, 即 , 令, 則, =,=(. 平面的法向量, 二面角為60, ， ， ， ， , ， , 與平面所成的角為.點(diǎn)析：立體幾何當(dāng)中第一問(wèn)往往是很淺顯的，一般用傳統(tǒng)方法很容易，但是第二問(wèn)二面角就不是很容易求出，建議用向量法求解，在一些規(guī)則的例如：正方體、高與底面互相垂直等空間圖形，用向量法解題就非常容易。 以上兩個(gè)立體的兩種解法已經(jīng)明確給出，在使用兩種方法時(shí)有優(yōu)點(diǎn)也有缺點(diǎn)，那么現(xiàn)在來(lái)比較一下兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。 三、兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)比較傳統(tǒng)法與向量法在運(yùn)用上有很大差別，與此同時(shí)就存在著優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)，下面闡述一

13、下兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn)。傳統(tǒng)法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)傳統(tǒng)法是指不使用其他工具，對(duì)幾何元素及其關(guān)系用定理(或公理)演繹推理出有關(guān)結(jié)論。 它的優(yōu)點(diǎn)是解法簡(jiǎn)捷、優(yōu)雅；對(duì)邏輯思維能力、作圖能力和空間想象力的提高較有成效。對(duì)于一些簡(jiǎn)單易解的題很實(shí)用。傳統(tǒng)法的缺點(diǎn)是它常需添加輔助線(xiàn)、輔助面；要求學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)過(guò)硬和扎實(shí)，需要學(xué)生有較高空間想像能力(判定點(diǎn)、線(xiàn)、面)位置關(guān)系能力及較強(qiáng)作圖能力(包括作輔助線(xiàn)、面)與較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砟芰洼^高技巧、計(jì)算能力強(qiáng)等劣勢(shì)。一旦輔助線(xiàn)、輔助面做不出來(lái)也一樣是全盤(pán)皆輸。向量法的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)向量法的優(yōu)點(diǎn)是以算數(shù)代替證明，數(shù)形結(jié)合，由計(jì)算出的數(shù)決定題目的性質(zhì)、定量，方法統(tǒng)一、機(jī)械，可操作性強(qiáng)

14、；弱化了技巧、降低了難度、豐富了思維結(jié)構(gòu)進(jìn)一步而言，相對(duì)于傳統(tǒng)方法，對(duì)立體幾何題的探討用向量法則顯得自然、簡(jiǎn)便。對(duì)立體幾何的平行、垂直、角、距離等問(wèn)題，特別是根據(jù)題設(shè)條件可以較方便地建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，這種優(yōu)越性便發(fā)揮得更為明顯,既降低了難度，又易學(xué)易懂,有效地避開(kāi)了立體幾何中繁瑣的定性分析使得一些立體感不強(qiáng)的學(xué)生可以容易的解題。向量法的出現(xiàn)收到了很高的重視。向量法的缺點(diǎn)是適用范圍比綜合法窄(比較規(guī)則的幾何體)，有時(shí)運(yùn)算量比較大，也需要一定的技巧，學(xué)生掌握這些技巧同樣會(huì)有困難，定量計(jì)算一旦算錯(cuò)，全盤(pán)皆錯(cuò)。而且相對(duì)于傳統(tǒng)方法而言，后者對(duì)于學(xué)生邏輯思維能力、作圖能力及空間想象能力的培養(yǎng)與提高稍顯

15、不足。對(duì)于一些不明顯的三線(xiàn)垂直圖形很難建系，這就使得解題變得難了。五、向量法與傳統(tǒng)法在選擇上的思考隨著新課程改革的深入，向量法一經(jīng)出現(xiàn)馬上受到重視，但課程改革的理念并不是徹底拋棄傳統(tǒng)法，而是注意兩者的結(jié)合，走中間路線(xiàn)，既保持傳統(tǒng)法的一些要求，也發(fā)揮向量法的一些計(jì)算優(yōu)勢(shì)。在處理具體問(wèn)題時(shí)，要采取實(shí)事求是的態(tài)度：凡是用傳統(tǒng)法不直觀(guān)比較困難而用向量法比較容易解決的問(wèn)題，就以向量為“通法”來(lái)解決；對(duì)有些直接使用線(xiàn)面關(guān)系性質(zhì)定理、勾股定理和三角知識(shí)比較容易解決，并且用向量法運(yùn)算量較大、出錯(cuò)率較高的問(wèn)題，就用綜合法去對(duì)待；而部分題是把幾何綜合推理和向量代數(shù)運(yùn)算推理有機(jī)地結(jié)合起來(lái)運(yùn)用。所以，對(duì)于綜合法與向量

16、法的選擇需要根據(jù)具體題目而定，選擇花時(shí)最少，相對(duì)簡(jiǎn)單的方法，這就需要平時(shí)的訓(xùn)練中兩種方法都能運(yùn)用解題，不要因?yàn)槠渲幸环N方法解題困難而錯(cuò)失整到題。本文還有很多不足之處，在今后的學(xué)習(xí)和研究中將會(huì)不斷地深入探究，對(duì)以后高考數(shù)學(xué)中的立體幾何問(wèn)題的兩種解法繼續(xù)進(jìn)行對(duì)比探究，給出給出更多更全面的分析，以彌補(bǔ)本文的不足。參考文獻(xiàn)1張淀宙.宋乃慶. 數(shù)學(xué)教育概論M 北京：高等教育出版社，20042胡乾彪.對(duì)空間向量教學(xué)的調(diào)查、研究與思考.數(shù)學(xué)教學(xué)J. 20053吳厚榮.用綜合法和向量法解答立體幾何問(wèn)題的對(duì)比實(shí)驗(yàn)反思J.中國(guó)科教創(chuàng)新刊，20084陳雪梅.用向量法處理立體幾何問(wèn)題的教學(xué)效果研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)J，2

17、0085雷秀芳. 空間向量解決立體幾何問(wèn)題J. 甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）,2008COMPARISION OF TWO METHOD OF THREE-DIMENSIONAL GEOMETRY PROBIEMMengxiangfeng Abstrct:Two methods for solving three-dimensional geometry of collge entrance examination in Mathematics (the traditional method and the vector method) were compared to explore,A comprehensive analysis of the problems of geometry are used to solve problems of traditional method and vector method, and through the example of two methods of solving the contrast, points out the advantages and disadvantages of the traditional method and th