1、.精選文檔精選文檔.精選文檔3-1 求圖3-1所示對稱周期矩形信號的傅利葉級數三角形式和指數形式。解 由圖3-1可知，為奇函數，因而所以，三角形式的傅利葉級數FS為 指數形式的傅利葉級數FS的系數為所以，指數形式的傅利葉級數為3-2 周期矩形信號如圖3-2所示。假設：重復頻率脈寬 幅度 求直流分量大小以及基波、二次和三次諧波的有效值。解 對于圖3-2所示的周期矩形信號，其指數形式的傅利葉級數FS的系數那么的指數形式的傅利葉級數FS為其直流分量為基波分量的幅度為二次諧波分量的幅度為三次諧波分量的幅度為由所給參數可得將各參數的值代入，可得直流分量大小為基波的有效值為二次諧波分量的有效值為三次諧波分

2、量的有效值為3-3 假設周期矩形信號和的波形如圖3-2所示，的參數為， ，； 的參數為， ，分別求：1的譜線間隔和帶寬第一零點位置，頻率單位以kHz表示；2的譜線間隔和帶寬；3與的基波幅度之比；4基波與三次諧波幅度之比。解 由題3-2可知，圖3-2所示周期矩形波形的傅利葉級數為且基波幅度為三次諧波幅度為另外，周期信號的頻譜是離散的，每兩根相鄰譜線間的間隔就是基頻。 周期矩形信號頻譜的包絡線是抽樣函數，其第一個零點的位置為。注意，頻譜還可以表示為頻率f的函數。由可知，假設以f為頻譜圖的橫軸，那么譜線間隔就為，第一個零點的位置就為。依據以上結論，可得到題中個問題的答案如下：1的譜線間隔帶寬第一零點

3、位置2的譜線間隔帶寬3的基波幅度的基波幅度因此的基波幅度：基波幅度4的三次諧波幅度因此基波幅度：三次諧波幅度求圖3-3所示周期三角信號的傅利葉級數并畫出幅度譜。解 由圖3-3可知，該周期三角信號是偶函數，因而即不包含正弦諧波分量。 從而幅度譜如圖3-4所示。3-5求圖3-5所示半波余弦信號的傅利葉級數。假設，,大致畫出幅度譜。解 由圖可知，為偶函數，因而從而假設，那么幅度譜如圖3-6所示。3-6求圖3-7所示周期鋸齒信號的指數形式的傅利葉級數，并大致畫出頻譜圖。解 圖3-7所示周期鋸齒信號指數形式的傅利葉級數FS的系數從而幅度譜和相位譜分別如圖3-8a、b所示。3-7利用信號的對稱性，定性判斷

4、圖3-9中各周期信號的傅利葉級數中所含有的頻率分量。解 a如圖3-9a所示。因為是偶函數，所以不含正弦波；又因為是奇諧函數，所以不含直流項和偶次余弦項。 綜上，只含奇次余弦分量。b如圖3-9b所示。因為是奇函數，所以不含正弦波；又因為是奇諧函數，所以不含偶次余弦項。 綜上，只含奇次余弦分量。 c如圖3-9c所示。因為是奇譜函數，所以只包含奇次諧波分量。d如圖3-9d所示。 因為是奇函數，所以只包含正弦分量。e如圖3-9e所示。 因為是偶函數，所以不含正弦項；又因為是偶諧函數，所以不含奇次諧波分量。 綜上，只含有直流和偶次余弦分量。 (f)如圖3-9f所示。 因為是偶諧波函數，所以不包含奇次諧波

5、分含量；又因為是奇函數，所以只包含正弦分量。綜上，只包含直流和偶次諧波的正弦分量。3-8 求圖3-10中兩種周期信號的傅利葉級數。解 a如圖3-10a所示。此題中的與題3-4中的信號記為在圖形上相同，只是平移了，即由題3-4知， 那么b如圖3-10b所示。方法一：由于為偶函數，所以所以方法二：此題還可利用單脈沖信號的FT與周期性脈沖信號的FS的系數之間的關系：先求如圖3-11所示的單脈沖信號的FT可利用微積分性質。 和分別如圖3-12a、b所示。由于由FT的微分性質，得于是那么周期信號的傅利葉系數3-9求圖3-13所示周期余弦切頂脈沖的傅利葉級數，并求直流分量。以及基波和次諧波的幅度(和)。1

6、23提示：，為的重復角頻率解 圖3-13所示信號，為的重復角頻率直流分量由于是偶函數，所以那么基波的幅度k 次諧波的幅度2當時，3當時，3-10 周期函數前四分之一周期的波形如圖3-14所示。根據以下各種情況的要求畫出在一個周期()的波形。1是偶函數，只含有偶次諧波；2是偶函數，只含有奇次諧波；3是偶函數，含有偶次和奇次諧波；4是奇函數，只含有偶次諧波；5是奇函數，只含有奇次諧波；6是奇函數，含有偶次和奇次諧波。 解 1由要求可判斷出，既是偶函數，又是偶諧函數。在內的波形如圖3-15a所示。2由要求可判斷出，既是偶函數，又是奇函數。在內的波形如圖3-15b所示。3有條件可判斷出，是偶函數，亦是

7、非奇偶函數。滿足這個條件的不止一個，下面僅畫出一例。 在內的波形如圖3-15c所示。4由要求可判斷出，既是奇函數，有時偶諧函數。在內的波形如圖3-15d所示。5由要求可判斷出，既是奇函數，又是奇謝函數。在內的波形如圖3-15e所示。6由要求可判斷出，是奇函數，亦是非奇非偶函數，滿足該條件的不止一個，下面僅畫出一例。在內的波形如圖3-15f所示。3-11 求圖3-16所示周期信號的傅利葉級數的系數，a題求；b題求。解 a由圖3-16a可知，的周期為4，且在0，4內的函數表達式為。從圖3-16a中易看出，在一個周期內的平均只為零，即所以b由圖3-16可看出于是如圖3-17所示周期信號加到RC低通濾

8、波電路。的重復頻率，電壓幅度。分別求：穩態時電容兩端電壓之直流分量、基波和五次諧波之幅度；求上述各分量與相應分量的比值，討論此電路對各分量響應的特點。提示：利用電路課所學正弦穩態交流電路的計算方法分別求各頻率分量之響應。解 首先把周期電壓源信號展開為傅里葉級數：因此式中。由所給電路，求得電路的頻響函數為電壓源中的直流分量中的基波分量的幅度中五次諧波分量的幅度電容兩端電壓亦為與同頻率的周期信號，且當作用時，電容兩端電壓，亦即中的直流分量為0.25V，中的基波分量的幅度中五次諧波分量的幅度綜上所述，穩態時電容兩端電壓之直流分量幅度為0.25V，基波幅度為0.313V，五次諧波幅度為0.019V。電

9、容電壓中直流分量與中直流分量之比值0.25：0.25=1，中基波幅度與中基波幅度之比值為=0.847，中五次諧波幅度與中五次諧波幅度之比值為=0.303。由以上比值可分析得知，此RC電路是一低通濾波器，對高頻分量衰減的相對大一些，而對低頻分量衰減的相對少一點。學習電路課時，LC諧振電路具有選擇頻率的作用，當輸入正弦信號頻率與電路的LC諧振頻率一致時，將產生較強的輸入響應，而當輸入信號頻率適當偏離時，輸出響應相對值很弱，幾乎為零相當于窄帶通濾波器。利用這一原理可從非正弦周期信號中選擇所需的正弦頻率成分。圖3-18所示RLC并聯電路和電流源都是理想模型。電路的諧振頻率為，諧振電路品質因數Q足夠高可

10、濾除鄰近頻率成分。為周期矩形波 ，幅度為1mA。當的參數()為以下情況時，粗略地畫出輸出電壓的波形，并注明幅度值。123解 1當時，的基頻 因為電路的諧振頻率，所以電路將產生較強的，由中的基波所引起的輸出電壓。的傅里葉級數展開式為即其中由的傅里葉級數FS可知，其基波的幅度為此基波所引起響應電壓即當時，輸出電壓為一個頻率為100kHz，幅度為127V的正弦波，其波形如圖3-19(a)所示。2當時，的基頻此時電路產生的輸出電壓主要應是由中的二次諧波分量所引起的。 由1知，中二次諧波的幅度這里因而即由二次諧波所引起的響應為零。考慮到由其他諧波分量所引起的電壓很微弱，所以輸出電壓近似為零。3當時，的基

11、頻此時電路產生的輸出電壓主要由的三次諧波分量所引起的。由1知，中三次諧波的幅度這里因而此三次諧波所引起的響應即輸出電壓為一個頻率為100kHz，幅度為42.4V的正弦波，其波形如圖3-19b所示。假設信號波形和電路結構仍如圖3-18所示，波形參數為適當設計電路參數，能否分別從矩形波中選出以下頻率分量的正弦信號：50kHz, 100kHz, 150kHz,200kHz,300kHz,400kHz?對于那些不能選出的頻率成分，試分別利用其他電路示意說明獲得所需頻率分量的信號。提示：需利用到電路、模擬電路、數字電路等課程的綜合知識，可行方案可能不只一種。解 1輸入信號的周期，因而基頻也就是說 ，中只

12、包含的整數倍頻率的諧波成分，因此不可能從此矩形波中選出的非整數倍頻率，即50kHz, 150kHz。 又由題3-13可知，的傅里葉級數(FS)為其中當n=2和n=4時，二次諧波和四次諧波的幅度均為0，因此也不可能從此矩形波中選出200kHz和400kHz的正弦分量。 綜上所述，當參數為時，電路只能從矩形波中選出100kHz和300kHz的正弦分量。2選出50kHz的正弦分量可利用如圖3-20(a)所示系統。選出150kHz的正弦分量可利用如圖3-20(b)所示系統。選出200kHz和100kHz的正弦分量可利用如圖3-20(c)所示系統。求圖3-21所示半波余弦脈沖的傅里葉變換，并畫出頻譜圖。

13、解 由圖3-21易知，那么此信號的傅里葉變換其頻譜圖如圖3-22所示。求圖3-23所示鋸齒脈沖與單周正弦脈沖的傅里葉變換。解 a的波形如圖3-24a所示。等式兩邊同取傅里葉變換(FT)，有那么當時，用羅必塔法那么求F(0),或b的波形如圖3-24(b)所示。那么c及 波形如圖3-24c、d所示。兩邊求FT，有其中d由于因而即兩邊求FT，有其中圖3-25說是各波形的傅里葉變換可在本章正文或附錄表中找到，利用這些結果給出各波形頻譜所占帶寬頻譜圖或頻譜包絡圖的第一零點值，注意圖中的時間單位都為。解 a是矩形單脈沖信號，其頻譜函數其中E為幅度，為脈沖寬度。是一抽樣寒暑，其第一零點值，此題中，因此帶寬b

14、是有兩個平移了的矩形單脈沖信號合成的，其頻譜函數其中E仍為脈沖幅度，為脈沖寬度。由于的包絡是抽樣函數，所以帶寬仍為，此題中，因此寬度c為升余弦脈沖信號，其頻譜函數其中E為最大幅度，為脈沖寬度。的第一零點值，此題中，因此帶寬d偶對稱的三角脈沖信號的頻譜函數為，其第一零點值。此題中的是平移了半個脈寬的偶對稱三角脈沖信號，由FT的時移特性可知，其中為E最大幅值，為脈寬。由于平移不會改變信號的頻帶寬度，且此題中，因此帶寬e偶對稱的梯形脈沖信號的頻譜函數第一零點值。此題中的是平移了半個脈寬的偶對稱梯形脈沖信號，且,同(d)可得帶寬f偶對稱抽樣脈沖信號的頻譜函數第一零點值。此題中的是平移了個單位的偶對稱抽

15、樣脈沖，且，同(d)可得帶寬“升余弦滾降信號的波形如圖3-26a所示，它在到的時間范圍內以升余弦的函數規律滾降變化。設，升余弦脈沖信號的表達式可以寫成或寫作其中，滾降系數求此信號的傅里葉變換式，并畫出頻譜圖。討論和兩種特殊情況的結果。提示：將分解為和之和，如圖3-26(b)所示，分別求傅里葉變換在相加。解根據提示，先考察函數其波形如圖3-27(a)所示。是一奇函數，因此再考察圖3-27a所示的和，,那么圖3-26(b)中的信號的傅里葉變換圖3-26(b)中信號的傅里葉變換于是其頻譜圖如圖3-27b所示。當k=0時，是矩形脈沖信號，其傅里葉變換為當k=1時，是升余弦脈沖信號，其傅里葉變換為求圖3

16、-28所示的傅里葉逆變換。解 此題的關鍵是正確寫出頻譜函數的表達式。a由圖3-28a可知，由于所以先求的傅里葉逆變換。由變換對可知又利用FT的延時性知即b由圖3-28b可知，那么從而因為所以由FT的頻域微分性質，有函數可以表示成偶函數與奇函數之和，試證明：1假設是實函數，且，那么假設是復函數，可表示為且那么 其中證明 1，現考察的傅里葉變換。 因為是實函數，所以那么積分即即由于所以又所以 那么且 由式+，得從而由式-，得從而對圖3-29所示波形，假設，利用傅里葉變換的性質求以為軸反褶后所得的傅里葉變換。解 由圖3-29易知由于那么由FT的延時性質，有由FT的尺度變換性質有利用時域與頻域的對稱性

17、，求以下傅里葉變換的時間函數。123解1因為所以由FT的時、頻對稱性，有即的時間函數2因為所以由FT的時、頻對稱性，有即所求時間函數由2那么即所求時間函數假設矩形脈沖的傅里葉變換，利用時移特性求圖3-30所示信號的傅里葉變換，并大致畫出幅度譜。解 矩形單脈沖信號的傅里葉變換由圖3-30所示信號可知于是由FT的時移特性可得其幅度譜如圖3-31所示。求圖3-32所示三角形調制信號的頻譜。解 圖3-32所示信號是三角脈沖信號如圖3-33所示與升余弦函數的乘積，即由FT的卷積性質可得查附錄可得因而圖3-34所示信號，其傅里葉變換式，利用傅里葉變換的性質不做積分運算，求：1234之圖形。解1先考慮圖3-

18、35a所示的實偶三角脈沖信號，其傅里葉變換亦為實偶函數，且，所以的相角。由圖3-34所示信號可知因此于是2由FT正變換式知3由FT逆變換式知即4是實函數，由題3-20可知又，因此的圖形如圖3-35b所示。利用微分定理求圖3-36所示梯形脈沖的傅里葉變換，并大致畫出情況下該脈沖的頻譜圖。解 的一階、二階導數的圖形3-37a、b如下列圖。兩邊同取FT，由微分定理，有于是當時，在情況下該脈沖的頻譜圖如圖3-38所示。 利用微分定理求圖3-39所示半波正弦脈沖及其二階導數的頻譜。解 的一階及二階導數的波形如圖3-40(a)、(b)所示。由圖3-40b可看出由微分定理從而且的二階導數的頻譜1，求的傅里葉

19、變換。2證明的傅里葉變換為提示：利用頻域微分定理解 1那么由頻域微分定理，有即2由頻域微分定理，有即假設，利用傅里葉變換的性質確定以下信號的傅里葉變換：(1)(2) (3) (4) (5) (6) (7) 解 1此題是訓練傅里葉變換的性質。由尺度變換性質，有再由頻域微分性質，有2由頻域微分性質，有再有線性性質，有3由尺度變換性質，有再有頻域微分性質，有最后由線性性質，有4由時域微分性質，有再由頻域微分性質，有由延時性質，有 再有尺度變換性質，有由頻域微分性質，有再有尺度變換性質，有最后由延時性質，有由尺度變換性質，有再由延時性質，有試分別利用以下幾種方法證明1利用符號函數2利用矩形脈沖取極限3

20、利用積分定理4利用單邊指數函數取極限證明 1因為，所以由FT的線性性，有2因為所以由第二章導出的式2-100可知由第一章沖激函數的定義可知所以3，且由積分定理，有4因為所以由題2-222可知又因此3-31 圖3-41中兩矩形脈沖及，且：,1畫出的圖形；2求的頻譜，并與題3-26所用方法進行比較。解 1的圖形如圖3-42所示。2因為 所以由卷積定理，得此題與題3-26均是求一梯形脈沖信號的頻譜。題3-26利用了傅里葉變換的卷積性質，即直接將合成梯形脈沖信號的兩矩形信號的頻譜相乘，從而得到梯形脈沖信號的頻譜。 階躍函數和正弦、余弦函數的傅里葉變換：求單邊正弦信號和單邊余弦函數的傅里葉變換。解 單邊

21、正弦函數為，單邊余弦函數為。由傅里葉變換的卷積定理，有因為所以從而3-33三角脈沖的傅里葉變換為試利用有關定理求的傅里葉變換。、的波形如圖3-43所示。解 由頻域卷積定理，有由于由時移性質可得而所以3-34假設的頻譜如圖3-44所示，利用卷積定理粗略畫出，的頻譜注明頻譜的邊界頻率。解 因為所以這三個頻譜分別如圖3-45a、b、c所示。3-35 求圖3-45所示信號的頻譜包絡為三角脈沖，載波為對稱方波。并說明與圖信號頻譜的區別。解 圖3-46所示信號，其中代表三角脈沖信號，代表周期性對稱方波，且周期。查表可知的傅里葉變換為一沖激序列，且其中為傅里葉系數。 那么因為所以圖3-32信號的頻譜是將三角

22、脈沖信號的頻譜左、右各平移而得到的；而此頻譜是將三角脈沖信號的頻譜以為周期重復平移而得到的， 同時幅度也在變化。3-36 單個梯形脈沖和單個余弦脈沖的傅里葉變換見附錄三，求圖3-47所示周期梯形信號和周期全波余弦信號的傅里葉級數和傅里葉變換。并示意化出它們的頻譜圖。解 a設查表可知由于周期信號的傅里葉級數的系數且的傅里葉變換所以周期梯形信號的傅里葉級數的傅里葉變換：其中當時頻譜示意圖如圖3-48a所示。 (b)設查表可知與(a)同理，周期全波余弦信號的傅里葉級數傅里葉變換其中頻譜示意圖如圖3-48b所示。3-37 矩形脈沖和余弦脈沖信號的傅里葉變換見附錄三，根據傅里葉變換的定義和性質，利用三種

23、以上的方法計算圖3-49所示各脈沖信號的傅里葉變換，并比較三種方法。解 a方法一：利用定義。那么方法二：利用微分定理和矩形脈沖信號的傅里葉變換。的波形如圖3-50a所示查表可知矩形脈沖信號的傅里葉變換，再利用FT的時移性質。因為所以方法三：利用微分定理和沖激信號的傅里葉變換。的波形如圖3-50b所示。那么有于是b方法一：利用定義。那么方法二：利用矩形脈沖信號的傅里葉變換和延時性質。因為所以方法三：利用微分定理和沖激信號的傅里葉變環。的波形如圖3-50c所示。于是從而c方法一：利用定義。那么方法二：利用微分定理。的波形如圖3-50d所示。那么方法三：查表法。在附錄三中，對于余弦脈沖信號其傅里葉變

24、換圖3-49c所示之，其脈寬亦為，幅度為1，因而其傅里葉變換d方法一：利用定義。那么方法二：利用線性性質和疊加原理。 因為所以方法三：利用微分定理。的圖形如圖3-50e所示。那么3-38 三角形、升余弦脈沖的頻譜見附錄三。大致畫出圖3-51中各脈沖被沖激抽樣后信號的頻譜抽樣間隔為，令。分析 頻譜為的信號被沖激信號抽樣后，所得的抽樣信號的頻譜其中為抽樣頻率，為抽樣時間間隔，.在此題中那么。解 a如圖3-51a所示，三角脈沖信號的頻譜第一零點值抽樣信號的頻譜大致如圖3-52a所示。b如圖3-51b所示，升余弦脈沖信號的頻譜第一零點值抽樣信號的頻譜大致如圖3-52(b)所示。c如圖3-51c所示，周

25、期三角脈沖信號的頻譜其大致圖形如圖3-52c所示，抽樣信號的頻譜大致如圖3-52d所示。3-39 確定以下信號的最低抽樣率和奈奎斯特間隔：1234分析 由抽樣定理可知，信號的最低抽樣率為其中，為信號的最大頻率，奈奎斯特間隔。解 1由于即信號的最大頻率，所以最低抽樣率。奈奎斯特間隔2由于即信號的最大頻率，所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔3由于故信號的最大頻率所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔由于的最大頻率是100，的最大頻率是120，故信號的最大頻率，所以最低抽樣率，奈奎斯特間隔3-40 假設，是周期信號，基波頻率為，1令，求相乘信號的傅里葉變換表達式；2假設圖形如圖3-53所示，當函數表達式為或以下各小題時，分別求表達式并劃出頻譜圖；345678910是圖3-2所示周期矩形波，其參數為,E=1。解 1，是基波頻率對等式兩邊求傅里葉變換，可得到的頻譜函數因由FT的頻域卷積性質，有2當時，此時頻譜圖如圖3-54a所示。3當時，此時頻譜圖如圖3-54b所示。4當時，此時頻譜圖如圖3-54c所示。5當時，此時頻譜圖如圖3-54d所示。當時，此時頻譜圖如圖3-54e所示。當時，是周期為的沖激序列，因此仍是沖激序列，但周期為2，此時頻譜圖如圖3-54f所示。8當時，是周期為的沖激序列，因此是周期為1的沖激序列，此時頻譜圖如圖3-54g所示。9當時，此時頻譜圖如圖3-5