1、第一節圖形的平移、對稱、旋轉與位似命題探究考點研讀考情分析隨堂檢測總綱目錄考情分析考點研讀考點三 圖形的旋轉（高頻考點）考點二 圖形的對稱（高頻考點）考點一 圖形的平移考點四 圖形的位似考點一圖形的平移定義在平面內,將一個圖形沿某個方向移動一定的距離,這樣的圖形運動稱為平移兩大要素平移方向和平移距離性質(1)平移前后的兩個圖形全等;(2)平移前后的對應線段相等且平行(或在同一直線上);(3)對應點的連線相等且平行(或在同一直線上)作圖步驟(1)根據題意,確定平移方向和平移距離;(2)找出原圖形的關鍵點;(3)按平移方向和平移距離平移各個關鍵點,得到各關鍵點的對應點;(4)按原圖形依次連接得到的

2、各關鍵點的對應點,得到平移后的圖形考點二圖形的對稱(高頻考點)1.軸對稱與軸對稱圖形溫馨提示(1)軸對稱是針對兩個圖形而言,軸對稱圖形是針對一個圖形而言;(2)如果把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體,那么這個整體的圖形也是軸對稱圖形,反之,如果把軸對稱圖形沿一條對稱軸分開看作兩個圖形,那么這兩個圖形成軸對稱;(3)一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條,也可能有兩條或多條,依圖形而定.2.中心對稱與中心對稱圖形溫馨提示中心對稱是對兩個圖形而言,中心對稱圖形是對一個圖形而言;成中心對稱的兩個圖形可以看作是一個中心對稱圖形.3.常見的軸對稱圖形和中心對稱圖形(1)常見的軸對稱圖形:等腰三角形、菱形、矩

3、形、正方形、正六邊形、圓等;(2)常見的中心對稱圖形:平行四邊形、菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等;(3)常見的既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形:菱形、矩形、正方形、正六邊形、圓等.溫馨提示邊數為奇數的正多邊形是軸對稱圖形,而不是中心對稱圖形;邊數為偶數的正多邊形既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形.正n邊形的對稱軸有n條(n3).考點三圖形的旋轉(高頻考點)考點四圖形的位似名師點撥圖形變換與點的坐標的關系:命題探究命題點二 圖形的軸對稱命題點三 圖形的旋轉命題點一 圖形的平移命題點一圖形的平移例1(2018河南學業水平考試模擬(二)如圖,把ABC沿著BC的方向平移到DEF的位置,它們重疊部

4、分的面積是ABC面積的一半.若BC=,則ABC移動的距離是( )A.B.C.D.- 思路導引根據平移的性質可知CEHCBA.從而可得D=,即=,由此求得EC的長,再由BE=BC-EC求得答案.答案DABC沿BC邊平移到DEF的位置,ABDE,ABCHEC,=,即=,EC=.BE=BC-EC=-.ABC移動的距離是-.故選D.1-1(2017四川宜賓)如圖,將ABC沿BC邊上的中線AD平移到ABC的位置,已知ABC的面積為9,陰影部分三角形的面積為4.若AA=1,則AD等于( )A.2B.3C.D. A答案A如圖.SABC=9,SAEF=4,且AD為BC邊的中線,SADE=SAEF=2,SABD

5、=SABC=,將ABC沿BC邊上的中線AD平移得到ABC,AEAB,DAEDAB,則=,即=,解得AD=2或AD=-(舍去),故選A.超級總結方法技巧與圖形的平移有關的計算問題,通常是借助圖形,靈活地應用圖形平移的性質,把已知條件集中到三角形中,依據等腰三角形(或等邊三角形)、全等三角形、相似三角形的性質解決.圖形平移的性質:(1)平移前后的兩個圖形全等;(2)平移前后的對應線段相等且平行(或在同一直線上);(3)對應點的連線相等且平行(或在同一直線上).命題點二圖形的軸對稱例2(2018河南,15,3分)如圖,MAN=90,點C在邊AM上,AC=4,點B為邊AN上一動點,連接BC,ABC與A

6、BC關于BC所在直線對稱.點D,E分別為AC,BC的中點,連接DE并延長交AB所在直線于點F,連接AE.當AEF為直角三角形時,AB的長為4或4.思路導引當AEF為直角三角形時,存在兩種情況:當AEF=90時,根據對稱的性質和平行線可得:AC=AE=4,根據直角三角形斜邊中線的性質得:BC=2AE=8,最后利用勾股定理可得AB的長;當AFE=90,證明ABC是等腰直角三角形,可得AB=AC=4.答案4或4 解析(1)當點A在直線DE下方時,如圖1,CAF=90,EAFCAF,AEF為鈍角三角形,不符合;(2)當點A在直線DE上方時,如圖2.當AFE=90時,DEAB,EDA=90,ABAC.由

7、對稱知四邊形ABAC為正方形,AB=AC=4.當點A在直線DE上方時,如圖3.當AEF=90時,AEAC,所以AEC=ACE=ACE,AC=AE.AE=EC,ACE為等邊三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4;當點A在直線DE上方時,EAFCAB,不可能為90.綜上所述,當AEF為直角三角形時,AB的長為4或4. 圖1 圖2圖32-1(2017河南安陽一模)在矩形ABCD中,AB=3,AEBD,垂足為E,ED=3BE,點P,Q分別在BD、AD上,則AP+PQ的最小值是. 答案 解析設BE=x,則DE=3x,BD=4x.四邊形ABCD為矩形,且AEBD,ABED

8、AE,ADEBDA,=,=,即=,=.AE2 =3x2,AD2 =12x2.AE=x,AD=2x. 又在RtABE中,AE2 +BE2 =AB2,3x2 +x2 =32,解得x=,BE=,DE=,AE=,AD=3.如圖,延長AE到A,使EA=EA,連接PA、DA,則AA=2AE=3.AEBD,點A是點A關于BD的對稱點. 則PA=PA.當A、P、Q三點在同一條直線上且PQAD時,AP+PQ最小.此時AP+PQ=AP+PQ=AQ .SADA=AADE=ADAQ,3=3AQ.AQ=,AP+PQ的最小值為.2-2(2017河南平頂山二模)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=5,AD=2,點P在線段AB

9、上運動,設AP=x,現將紙片折疊,使點D與點P重合,得折痕EF(點E、F為折痕與矩形邊的交點),再將紙片還原,則四邊形EPFD為菱形時,x的取值范圍是2x5. 答案2x5解析要使四邊形EPFD為菱形,則需DE=EP=FP=DF,如圖1:當點E與點A重合時,AP=AD=2,此時AP最小;如圖2:當點P與B重合時,AP=AB=5,此時AP最大.四邊形EPFD為菱形時,x的取值范圍是2x5. 超級總結方法技巧解決與圖形的軸對稱變換有關的計算問題,通常需借助圖形,巧妙地利用軸對稱變換(或者翻折變換)的性質中的邊、角變換前后不變的關系,把已知條件集中到(直角)三角形中,借助勾股定理、三角形相似等知識解決

10、.軸對稱(翻折)變換的性質:(1)經過軸對稱變換得到的圖形與原圖形的形狀、大小完全一樣;(2)連接任意一對對應點的線段被對稱軸垂直平分.例3(2016河南,8,3分)如圖,已知菱形OABC的頂點O(0,0),B(2,2),若菱形繞點O逆時針旋轉,每秒旋轉45,則第60秒時,菱形的對角線交點D的坐標為( )命題點三圖形的旋轉B思路導引根據菱形的性質,可得D點的坐標,再利用旋轉的性質計算第60秒時交點D的坐標.答案B由題意知菱形每8秒旋轉一周,60秒旋轉7周余180,即旋轉60秒后得到的圖形與原圖形關于原點成中心對稱,因為B(2,2),所以D(1,1),D關于原點對稱的點的坐標為(-1,-1).故

11、選B.3-1(2017河南,22,10分)如圖1,在RtABC中,A=90,AB=AC,點D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點M,P,N分別為DE,DC,BC的中點.(1)觀察猜想圖1中,線段PM與PN的數量關系是PM=PN,位置關系是PMPN;(2)探究證明把ADE繞點A按逆時針方向旋轉到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷PMN的形狀,并說明理由;(3)拓展延伸把ADE繞點A在平面內自由旋轉,若AD=4,AB=10,請直接寫出PMN面積的最大值.解析(1)PM=PN;PMPN.(2)等腰直角三角形.理由如下:由旋轉可得BAD=CAE.又AB=AC,AD=AE,BADCAE

12、.BD=CE,ABD=ACE.點P,M分別是DC,DE的中點,PM是DCE的中位線.PM=CE且PMCE.同理可證PN=BD且PNBD.PM=PN,MPD=ECD,PNC=DBC.MPD=ECD=ACD+ACE=ACD+ABD,DPN=PNC+PCN=DBC+PCN.MPN=MPD+DPN=ACD+ABD+DBC+PCN=ABC+ACB=90,即PMN為等腰直角三角形.(3).超級總結方法技巧解決與圖形的旋轉變換有關的計算或證明問題,通常需借助圖形,巧妙利用旋轉變換的性質,依據全等三角形、直角三角形等相關知識進行綜合分析,從而解決問題.旋轉變換的性質:(1)對應點到旋轉中心的距離相等;(2)對

13、應點與旋轉中心所連線的夾角等于旋轉角;(3)旋轉前后的圖形全等.一、選擇題隨堂檢測1.下列圖形,是中心對稱圖形而不是軸對稱圖形的是( ) A2.下列各組圖中,圖形甲變成圖形乙,既能用平移,又能用旋轉的是( ) C答案CA、D選項只能用旋轉變換,B選項只能用平移變換,故選C.3.如圖,在RtABC中,BAC=90,B=60,ABC可以由ABC繞點A順時針旋轉90得到(點B與點B是對應點,點C與點C是對應點),連接CC,則CCB等于( )A.45B.30C.25D.15D答案D根據題意得AC=AC,CAC=90,BCA=BCA=30,所以CCA=45,所以CCB=CCA-BCA=15.故選D.4.

14、如圖,將矩形ABCD沿AE折疊(E在DC上),使點D落在BC上的F處,已知AB=6,ABF的面積是24,則FC等于( )A.1B.2C.3D.4B答案B在矩形ABCD中,B=90,AD=BC,SABF=ABBF=24,AB=6,6BF=24.BF=8.AF=10.又由折疊的性質可知AD=AF=10,BC=AD=10.FC=BC-BF=10-8=2.故選B.5.(2018河南商丘一模)如圖,在直角坐標系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點B的坐標是(1,3),將矩形沿對角線AC翻折,B點落在D點的位置,且AD交y軸于點E,則點D的坐標為( )A.B.C.D. A答案A如圖,過D作

15、DFAF于F.點B的坐標為(1,3),AO=1,AB=3.根據折疊可知:CD=OA,而CDA=AOE=90,DEC=AEO.CDEAOE.OE=DE,OA=CD=1.設OE=x,則CE=3-x,DE=x,在RtDCE中,CE2=DE2+CD2,即(3-x)2=x2+12,解得x=.又DFAF,DFEO,AEOADF.而AD=AB=3,AE=CE=3-=,=,即=,DF=,AF=,OF=-1=.D的坐標為.故選A.6.如圖1,等邊ABD,CBD的邊長均為1,將ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置,得到圖2,則陰影部分的周長為2. 圖1圖2二、填空題答案2解析如圖,易得EDH、DEF、AFG、BGM、BMN、CNH均為等邊三角形,所以陰影部分的周長等于BCD的兩條邊長之和,即陰影部分的周長為2. 7.(2018江西)如圖,在矩形ABCD中,AD=3,將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉,得到矩形AEFG,點B的對應點E落在CD上,且DE=EF,則AB的長為3. 答案3 解析根據旋轉的性質,得BC=EF,AB=AE,又四邊形ABCD為矩形,DE=EF,AD=DE=3,D=90,即ADE為等腰直角三角形,根據勾股定理得AE=3,所以AB=AE=3.8.如圖,將ABC在網格中(網格中每個