1、2021-2022學年福建省廈門市第一中學高二下學期3月適應性練習數學試題一、選擇題：每題5分，共8題，共40分1. 已知的導函數為，則A. 0B. C. D. 【答案】D【解析】【詳解】分析：求出函數的導數，將自變量代入所求導函數，即可得結果.詳解：因為，所以,所以，故選D.點睛：本題主要考查初等函數的導數公式，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度,屬于簡單題.2. 設x，,向量，且，則的值為（）A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根據向量的垂直和平行列出相應的方程組，解得的值，可得答案.【詳解】由得： ，解得，故，故選：A.3. 拋物線上一點到焦點的距離為，則實數的值為

2、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據拋物線的定義及拋物線的幾何性質即可求解.【詳解】解：因為拋物線過點，所以，拋物線的焦點為，由拋物線的定義可知，解得.故選：A.4. 若數列滿足為常數，則稱數列為“調和數列”，若正項數列為“調和數列”，且，則的最大值是A. 10B. 100C. 200D. 400【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由于正項數列為“調和數列”，為等差數列，.的最大值為100.考點：等差數列的性質和基本不等式的應用.5. 設雙曲線=1(a0，b0)的一條漸近線與拋物線yx21只有一個公共點，則雙曲線的離心率為A. B. 5C. D. 【答案】D【解析】【詳解】雙

3、曲線1的一條漸近線設為yx，由方程組消去y，得x2x10，由題意知該方程有唯一解，所以40，所以e.6. 設各項均為正數的數列的前項之積為，若，則的最小值為A. 7B. 8C. D. 【答案】A【解析】【詳解】試題分析：由題意知，所以，所以，構造對勾函數，該函數在上單調遞減，在上單調遞增，在整數點時取到最小值7，所以當時，的最小值為7考點：1、數列的通項公式；2、函數性質與數列的綜合7. 如圖，已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為4，P是的中點，點M在側面（含邊界）內，若.則BCM面積的最小值為（）A. 8B. 4C. D. 【答案】D【解析】【分析】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸

4、，所在直線為軸建立空間直角坐標系，設，利用向量法確定M的軌跡滿足，求出的最小值，可求出面積的最小值.【詳解】以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖，則 ，設 ，則 ，因為 ，所以 ，得 ，所以 ，所以 ，當 時， 取最小值 ，易知，且平面，平面故，故所以的最小值為故選：D.8. 已知為坐標原點，點為函數圖象上一動點，當點的橫坐標分別為時，對應的點分別為，則下列選項正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】設，則，令，利用導數可得函數為增函數，即得.【詳解】設，則，令，則，設，則所以在上為增函數，故，即，在上為增函數，即.故選：D.二、多

5、選題：每題5分，共4題，共20分；在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.9. 已知空間中四點A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(1，3，4)下列說法中，正確的有（ ）A. B. C. A，B，C三點共線D. A，B，C，D四點共面【答案】ABD【解析】【分析】首先求出向量，的坐標.根據可判斷選項A；根據可判斷選項B；根據可判斷選項C；設，求出和的值，從而可判斷選項D.【詳解】易知，因為，所以 ，故選項 A正確；因，且四點不共線，所以，故選項B正確；因為，所以 A，B，C三點不共線 ，故選項C錯誤；易知當時，

6、A，B，C，D共面，即，所以， 解得，所以A，B，C，D共面，故選項D正確.故選：ABD.10. 設，下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】BCD【解析】【分析】把各選項代入函數式檢驗，能求出實根的解出實根，不能求出實根的用函數的性質判斷【詳解】記，時，或，不滿足題意；，時，在和是遞增，在上遞減，而，只有一個零點，即只有一個實根，同理，時，在和是遞增，在上遞減，而，只有一個零點，即只有一個實根，時，只有一個實根，故選：BCD.【點睛】本題考查方程實根個數問題，對于方程根無法解出的情況可以通過研究函數的極值與單調性確定函數零點即方程根的個數11.

7、 設雙曲線的左、右焦點分別為，點P在C的右支上，且不與C的頂點重合，則下列命題中正確的是（ ）A. 若，則C的兩條漸近線的方程是B. 若點P的坐標為，則C的離心率大于3C. 若，則的面積等于D. 若C為等軸雙曲線，且，則【答案】BC【解析】【分析】本題根據雙曲線的離心率和漸近線、三角形面積求法及余弦定理進行逐項分析即可求解.【詳解】解：由題意得：A選項：當時，雙曲線的漸近線的斜率，A錯誤；B選項：因為點在C上，則，得，所以，故B正確；C選項：，若，則，即，即，得，所以，C正確；D選項：若C為等軸雙曲線，則，從而若，則，在中，由余弦定理，得，D錯誤故選：BC12. 函數，則下列說法正確的是（ ）

8、A. B. C. 若有兩個不相等的實根，則D. 若均為正數，則【答案】BD【解析】【分析】求出導函數，由導數確定函數日單調性，極值，函數的變化趨勢，然后根據函數的性質判斷各選項由對數函數單調性及指數函數單調性判斷A，由函數性質判斷BC，設，且均為正數，求得，再由函數性質判斷D【詳解】由得：令得，當x變化時，變化如下表：x0單調遞增極大值單調遞減故，在上遞增，在上遞減，是極大值也是最大值，時，時，且時，時，A，故A錯B，且在單調遞增，故：B正確C有兩個不相等的零點不妨設要證：，即要證：在單調遞增，只需證：即：只需證：令，則當時，在單調遞增，即：這與矛盾，故C錯D設，且均為正數，則且，故D正確故選

9、：BD【點睛】關鍵點點睛：本題考查用導數研究函數的單調性、極值，函數零點等性質，解題關鍵是由導數確定函數的性質其中函數值的大小比較需利用單調性，函數的零點問題中有兩個變量，關鍵是進行轉化，利用零點的關系轉化為一個變量，然后引入新函數進行證明三、填空題：每題5分，共4題，共20分13. 寫一個焦點在軸上且離心率為的雙曲線方程_【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）【解析】【分析】取，可求得、的值，結合雙曲線的焦點位置可得出結果.【詳解】取，則，可得，因此，符合條件的雙曲線方程為.故答案為：（答案不唯一，符合要求就可以）.14. 5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中一個小組，則不同的

10、報名方法有_種.（用具體數字作答）【答案】32【解析】【分析】根據題意，可知每位同學都有2種報名方法，結合分步乘法計數原理，即可求解.【詳解】由題意，5位同學報名參加兩個課外活動小組，每位同學限報其中的一個小組，則每位同學都有2種報名方法，則這5為同學共有種不同的報名方法，故答案為：3215. 數列的通項公式為，則該數列的前n項和=_【答案】【解析】【分析】數列求和問題，根據的形式，使用錯位相減法【詳解】由得故答案為：16. 若恒成立，則滿足要求的實數a的值構成的集合為_【答案】【解析】【分析】設，又，則根據條件有，從而可得答案.【詳解】令，且，即，故另一方面，當時，（當且僅當時等號成立）綜上

11、可知故答案為：【點睛】本題考查不等式恒成立求參數的值，考查條件的轉化，屬于中檔題.四、解答題：本題共6題，17題10分，1822每題12分，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知三次函數f（x）x3+ax26x+b，a，bR，f（0）1，曲線yf（x）在點（1，f（1）處切線的斜率為6.（1）求函數yf（x）的解析式；（2）求f（x）在區間2，4上的最值.【答案】（1）；（2）最大值為17，最小值為9.【解析】【分析】（1）先求函數的導數，進而根據求出a的值，然后根據f（0）1，求出b的值即可求出函數的解析式；（2）先利用導數判斷函數的單調性，進而求出函數在區間2，4上

12、的最值.【詳解】（1），由導數的幾何意義，f（0）1，b1，.（2），令得，當時，f（x）單調遞增；當時，f（x）單調遞減；當x（2，4時，f（x）單調遞增，函數f（x）在x1取得極大值為，在x2時取得極小值為f（2）9，在區間上的最大值為17，最小值為9.18. 已知正數數列滿足，且（1）求證：當時，總有，并求數列通項公式；（2）數列滿足，求前2n項和.【答案】（1）證明見解析， （2）【解析】【分析】（1）利用遞推關系證得結論成立，進而求得數列的通項公式.（2）利用分組求和法來求得.【小問1詳解】依題意正數數列滿足，且，當時，當時，兩式相除得.所以數列的奇數項、偶數項分別構成公比為的等比數

13、列，即，所以.【小問2詳解】由（1）得，所以，所以.19. 如圖，在圓柱中，四邊形ABCD是其軸截面，EF為的直徑，且，.（1）求證：；（2）若直線AE與平面BEF所成角的正弦值為，求二面角平面角的余弦值.【答案】（1）詳見解析； （2）【解析】【分析】（1）連接，由平面CEDF，結合，證明平面ABCD，從而得到即可；（2）連接，以O為原點，分別以為y，z軸建立空間直角坐標系，求得平面BEF的一個法向量為，直線AE與平面BEF所成角的正弦值為，由求得a，再求得平面ABE的一個法向量為，然后由求解.【小問1詳解】如圖所示：連接，因為平面CEDF，所以，又，且，所以平面ABCD，所以，又為EF的中

14、點，所以；【小問2詳解】連接，則垂直于圓柱的底面，以O為原點，分別以為y，z軸建立空間直角坐標系；則，所以，設平面BEF的一個法向量為，則，即，令，則，設直線AE與平面BEF所成的角為，則，化簡得，因為，所以，設平面ABE的一個法向量為，則，即，令，則，所以，由圖象知：二面角為銳角，所以二面角平面角的余弦值是.20. 甲方是一農場，乙方是一工廠，由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方每年向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入乙方在不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤（元）與年產量（噸）滿足函數關系若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方元（以下稱為賠付價格）（）將乙方的年利潤w (元）表示為年產量（噸）

15、的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；（）甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格是多少？【答案】()年利潤()，取得最大年利潤的年產量；().【解析】【詳解】(1)解法一：因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為:因為,所以當時,取得最大值.所以乙方取得最大年利潤的年產量(噸).解法二：因為賠付價格為s元/噸,所以乙方的實際年利潤為：.由，令得.當時，；當時，所以時，取得最大值.因此乙方取得最大年利潤的年產量（噸）.（2）設甲方凈收入為元，則.將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價格之間

16、的函數關系式.又，令，得當時，；當時， ，所以時，取得最大值.因此甲方向乙方要求賠付價格（元/噸）時，獲最大凈收入21. 在平面直角坐標系xOy中，為坐標原點，M（2，0），已知平行四邊形OMNP兩條對角線的長度之和等于，動點P的軌跡為C（1）求軌跡C的曲線方程；（2）若A，B為C上的兩個動點，過點M且垂直x軸的直線平分AMB，證明直線AB過定點，并求出定點坐標.【答案】（1） （2）直線恒過定點，定點坐標【解析】【分析】（1）首先利用坐標表示對角線的長度和，即可利用橢圓的定義，求得橢圓方程；（2）設直線方程，與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示，即可求得定點坐標.【小問1詳解】設，所以，表示動點到定點和的距離和為（大于兩定點的距離4），所以點形成為和為焦點的橢圓，得，所以橢圓方程；【小問2詳解】由條件可知直線的斜率存在，設直線方程，與橢圓方程聯立，得，即，(*)，由條件可知，即即，所以，的，代入(*)可得，即 所以直線的方程是，所以直線恒過定點，定點坐標.22. 已知函數（1）求函數的單調區間；（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值【答案】（1）詳見解析 ；（2）2【解析】【分析】（1）對函數進行求導得，再