1、電動力學第10講第二章 電磁場的標勢、矢勢和電磁輻射(4)2.4 訊變電磁場的矢勢和標勢 7/25/20221山東大學物理學院 宗福建教學體系7/25/20222山東大學物理學院 宗福建Maxwell方程組7/25/20223山東大學物理學院 宗福建Maxwell方程組7/25/20224山東大學物理學院 宗福建標勢 的Poisson方程7/25/20225山東大學物理學院 宗福建靜電場的標勢 若電荷連續分布，電荷密度為 ，設r為由源點x 到場點x的距離，則場點x處的電勢為 7/25/20226山東大學物理學院 宗福建7/25/20227山東大學物理學院 宗福建7/25/20228山東大學物理

2、學院 宗福建靜磁場的矢勢 在穩恒電流（靜磁場）情況下，電場與磁場無關，麥氏方程組的磁場部分為 7/25/20229山東大學物理學院 宗福建靜磁場的矢勢 根據矢量分析的定理（附錄.17式）, 若則 B 可表為另一矢量的旋度A 稱為磁場的矢勢。 7/25/202210山東大學物理學院 宗福建矢勢微分方程 對比靜電勢的解可得矢勢方程的特解 式中x 是源點，x是場點，r為由x 到x的距離。 7/25/202211山東大學物理學院 宗福建矢勢的多級展開 如果電流分布于小區域V內，而場點x又距離該區域比較遠，我們可以把A（x）作多級展開。取區域內某點O為坐標原點，把1/r的展開式得 7/25/202212

3、山東大學物理學院 宗福建矢勢的多級展開 7/25/202213山東大學物理學院 宗福建本講主要內容用勢描述電磁場規范變換和規范不變性dAlembert 達郎貝爾方程推遲勢7/25/202214山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁場 為簡單起見，我們只討論真空中的電磁場，麥克斯韋方程組為 7/25/202215山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁場 在恒定場中， 由B的無源性引入矢勢A，使 在一般情況下，B仍然保持無源性，所以B與矢勢A的關系式普遍成立的。矢勢A的物理意義是：在任一時刻，A沿任意閉合回路的線積分等于該時可通過回路的磁通量。7/25/202216山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁

4、場 在一般的變化情況中，電場E的特性與靜電場不同。電場E一方面受到電荷的激發，另一方面也受到變化磁場的激發，后者所激發的電場是有旋的。因此在一般情況，電場是有源和有旋的場，它不可能單獨用一個標勢來描述。 7/25/202217山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁場 在變化情況下電場與磁場發生直接聯系，因而電場的表示式必然包含矢勢A在內。把代入得 7/25/202218山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁場 該式表示矢量 E+A/t 是無旋場，因此它可以用標勢描述，因此，一般情況下電場的表示式為 7/25/202219山東大學物理學院 宗福建用勢描述電磁場 把電磁場用矢勢和標勢表示出來。注意現在

5、電場E不再是保守力場，一般不存在勢能的概念，標勢失去作為靜電場中勢能的意義。因此，在高頻系統中，電壓的概念也失去確切的意義。在變化場中，磁場和電場是相互作用的整體，必須把矢勢和標勢作為一個整體來描述電磁場。7/25/202220山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 用矢勢A和標勢描述電磁場不是唯一的，即給定的E和B并不對應唯一的A和 。 這是因為對矢勢A可以加上一個任意函數的梯度 ，結果不影響B，而這加在A上的梯度部分在E式中有可以從-/t中除去，結果亦不影響E。 7/25/202221山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 設為任意時空函數，作變換 則，(A, )與(A, )對

6、應于同一個 (E, B)。7/25/202222山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 有 7/25/202223山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 即(A , )與(A , )描述同一電磁場。 變換 稱為勢的規范變換。 每一組(A , )稱為一種規范。 7/25/202224山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 在經典電動力學中，由于表示電磁場可觀屬性的可測量的物理量為E和B，而不同規范有對應著同一的E和B ，因此，如果用矢勢來描述電磁場，客觀規律應該和勢的特殊的規范選擇無關。當勢作規范變換時，所有物理量和物理規律應該保持不變，這種不變性稱為規范不變性。 7/25/2

7、02225山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 從數學上來說，規范變換自由度的存在是由于在勢的定義式中，只給出A的旋度，而沒有給出A的散度。我們知道僅由矢場量的旋度是不足以確定這矢量場的。為了確定A，還必須給定它的散度。電磁場E和B本身對A的散度沒有任何限制。因此，作為確定勢的輔助條件，我們可以取A為任意的值。 7/25/202226山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 每一種選擇就對應一種規范。采用適當的輔助條件可以使基本方程和計算簡化，而且物理意義也較明顯。從計算方便考慮，在不同問題中可以采用不同的輔助條件。應用最廣的是以下兩種規范條件： 7/25/202227山東大學物理

8、學院 宗福建規范變換和規范不變性 （1）庫侖規范 輔助條件為在這規范中A為無源場，因而電場表示式 中第二項 A/t是無源場（橫場），而第一項 為無旋場（縱場）。 7/25/202228山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 這規范的特點是E的縱場部分完全由描述。而橫場部分由A描述，A/t項不含縱場部分。項對應于庫侖場，A/t項對應于感應電場。這種劃分對于討論某些問題是方便的。 7/25/202229山東大學物理學院 宗福建規范變換和規范不變性 （2）洛倫茲規范 輔助條件為 采用這種規范時，勢的基本方程化為特別簡單的對稱形式，其物理意義也特別明顯。因此，這種規范在基本理論研究以及解決實際輻

9、射問題中是特別方便的。 7/25/202230山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 由麥克斯韋方程組推導勢A和所滿足的基本方程。 把代入7/25/202231山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 得7/25/202232山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 應用00 = 1/c2并將兩式加以整理后，得 這是適用于一般規范的方程組。 7/25/202233山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用庫侖規范，得 7/25/202234山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用庫侖規范，

10、得 7/25/202235山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 這種規范的特點是標勢所滿足的方程與靜電場情形相同，其解是庫侖勢。解出后代入第一式可解出A，因而可以確定電磁場。 7/25/202236山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用洛倫茲規范，得 7/25/202237山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 若采用洛倫茲規范，得 稱為達郎貝爾方程7/25/202238山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 用這種規范時，方程具有相同形式，其意義也特別明顯。方程稱為達郎貝爾方程，它是非齊次的波動方程，其

11、自由項為電流密度和電荷密度。由該式，電荷產生標勢波動，電流產生矢勢波動。離開電荷電流分布區域后，矢勢和標勢都以波動形式在空間中傳播，由它們導出的電磁場E和B也以波動形式在空間中傳播。當然E和B的波動性質是和規范無關的。7/25/202239山東大學物理學院 宗福建推遲勢 現在我們求達朗貝爾方程的解。標勢的達朗貝爾方程為 式中 =（x，t）是空間中的電荷密度。 7/25/202240山東大學物理學院 宗福建推遲勢 該式是線性方程，反映電磁場的疊加性。由于場的疊加性，可以先考慮某一體元內的變化電荷所激發的勢，然后對電荷分布區域積分，即得總的標勢。 7/25/202241山東大學物理學院 宗福建推遲

12、勢 設原點處有一假想變化電荷Q(t)，其電荷密度為(x,t)= Q (t)(x)。這電荷輻射的勢的達朗貝爾方程為 7/25/202242山東大學物理學院 宗福建推遲勢 由球對稱性， 只依賴于r，t，而不依賴于角變量。用球坐標表為 :7/25/202243山東大學物理學院 宗福建推遲勢 除原點之外， 滿足波動方程解是球面波。 7/25/202244山東大學物理學院 宗福建推遲勢 考慮到當r增大時勢減弱，所以作如下代換 把（2.5）式代入（2.4）式，得u的方程 7/25/202245山東大學物理學院 宗福建推遲勢 這方程形式上是一維空間的波動方程，其通解為 式中f和g是兩個任意函數。7/25/2

13、02246山東大學物理學院 宗福建推遲勢 可得除原點以外的解這解的第一項代表向外發射的球面波，第二項代表向內收斂的球面波。函數f和g的具體形式應由物理條件定出。 7/25/202247山東大學物理學院 宗福建推遲勢 當我們研究輻射問題時，電磁場是由原點處的電荷發出的，它必然是向外發射的波。因此在輻射問題中應取g = 0而函數f的形式應由原點處的電荷變化形式決定。 7/25/202248山東大學物理學院 宗福建推遲勢 在靜電情形，我們知道電荷Q激發的電勢為7/25/202249山東大學物理學院 宗福建推遲勢 推廣到變化場情形，可以推想解為 7/25/202250山東大學物理學院 宗福建推遲勢 由

14、場的疊加性，對于一般變化電荷分布（x,t），它所激發的標勢為 7/25/202251山東大學物理學院 宗福建推遲勢 由于矢勢A所滿足的方程形式上與標勢的達朗貝爾方程一致，所以一般變化電流分布J（x,t）所激發的矢勢為可以驗證A和滿足洛倫茲規范條件。 7/25/202252山東大學物理學院 宗福建達朗貝爾（dAlembert）方程 稱為達郎貝爾方程7/25/202253山東大學物理學院 宗福建推遲勢 可以驗證A和滿足洛倫茲條件。 7/25/202254山東大學物理學院 宗福建推遲勢 A和式的重要意義在于它反映了電磁作用具有一定的傳播速度空間某點x在某時刻t的場值不是依賴于同一時刻的電荷電流分布，

15、而是決定于較早時刻 tr/c 的電荷電流分布、反過來說，電荷產生的物理作用不能夠立刻傳至場點，而是在較晚的時刻才傳到場點，所推遲的時間r/c正是電磁作用從源點x 傳至場點x所需要的時間，c是電磁作用的傳播速度因此， A和式稱為推遲勢 7/25/202255山東大學物理學院 宗福建推遲勢 除了電磁作用之外，其它一切作用都通過物質以有限速度傳播事物總是通過物質自身的運動發展而互相聯系著的，不存在瞬時的超距作用在下一章中我們將看到這點正是相對論時空觀的基礎 7/25/202256山東大學物理學院 宗福建推遲勢 當和J 給定后，就可以算出勢，再由就可求得空間任意點的電磁場強度。當然，電磁場本身反過來亦

16、對電荷電流發生一定的反作用，因而激發區內的電荷電流分布是不能任意規定的。 7/25/202257山東大學物理學院 宗福建看見與測量到俗話說：“耳聽是虛，眼見為實”但事實上，眼見也不為實。請看，眼睛是怎樣欺騙大腦的7/25/202258山東大學物理學院 宗福建1.柱子是圓的還是方的？7/25/202259山東大學物理學院 宗福建2.那個女的是真的還是拼圖里的？7/25/202260山東大學物理學院 宗福建3. 12個人還是13個人？7/25/202261山東大學物理學院 宗福建4.有幾個黑點？7/25/202262山東大學物理學院 宗福建看見與測量到可見，眼見也不為實。看見：由不同時間，不同地點發出的光，但同時到達人的視網膜。看見的景觀是經過推遲了的。測量：某一確定時刻，測量者當地所發生事件的真實記錄。測量的結果是未推遲的。同一個事件，不同地點的觀察者可能看到不同的結果，但測量結果都是相同的。由看到的結果，經過科學的推論（處理），得到測量結果。7/25/202263山東大學物理學院 宗福建看見與測量到若A, B兩燈，同時開始發光。不同地點將看到不同結果。7/25/202264山東大學物理學院 宗福建看見與測量到若A, B兩地時鐘同步，相距 0.8 light-hour，一量機動車以0.8 c 的速度，