1、軸對稱最值問題專項提升附答案精品文檔授課教案學(xué)員姓名:所授科目:學(xué)員年級:上課時間：授課教師:課時（以上信息請老師用正楷字手寫）軸對稱最值問題專項提升【知識點】最短路徑 兩點之間，線段最短 例：四邊形ABCD43, AMN長最小，則0_ 0, ,BAD=120 ,B= D=90 ,在 BQ CD上分別找一點 M NAMN+ ANM勺度數(shù)是（A. 1300B.1200C.1100D.1000例：如圖,P, Q分別為 ABC的邊AB, AC上的定點,在BC上求作一點 M,使 PQM長最小。.解答題（共6小題）收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除5.如圖，已知 A、B是銳角a的OM邊上的兩個定點,

2、值最小？P在ON邊上運動.問 P點在什么位置時，PA2+PB2的精品文檔4.如圖，/AOB=30, Z AOB內(nèi)有一定點 P,且OP=10, OA上有一點 Q, OB上有一定點 R,若4PQR周長最小，求它的最小值.6 .如圖，兩個生物制藥廠 A與B座落于運河河岸的同一側(cè).工廠 A和B距離河岸l分別為4千米和2千米, 兩個工廠的距離為 6千米.現(xiàn)要在運河的工廠一側(cè)造一點C,在C處擬設(shè)立一個貨物運輸中轉(zhuǎn)站，并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使直線運送帶總長最小.如圖建立直角坐標系.(1)如果要求貨物運動中轉(zhuǎn)站C距離?R岸l為a千米(a為一個給定的數(shù)，0QV),求C點設(shè)在何處時，直線輸送帶總長

3、S最小，并給出S關(guān)于a的表達式.(2)在0QV范圍內(nèi)，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求其最小值.收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔2014年09月09日752444625的初中數(shù)學(xué)組卷參考答案與試題解析一.解答題(共6小題)1 .已知：如圖所示， M (3, 2) , N (1, - 1).點P在y軸上使PM+PN最短，求P點坐標.考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì).專題：數(shù)形結(jié)合.分析：找出點N關(guān)于y軸的對稱點，連接 M與對稱點，與y軸的交點為P點，根據(jù)兩點之間，線段最短得到 此時點P在y軸上，且能使PM+PN最短.根據(jù)關(guān)于 y軸對稱點的特點，找出 N對稱點的坐標，設(shè)出直

4、 線MP的方程，把N的對稱點的坐標和 M的坐標代入即可確定出直線 MP的方程，然后令 x=0求出直 線與y軸的交點，寫出交點坐標即為點P的坐標.解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，找出點 N關(guān)于y軸的對稱點N ；連接MN :與y軸交點為所求的點 P, N ( 1, 1),設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b ,把M (3, 2) , N( - 1, - 1)代入得:2,I - k+b 二 一 1令x=0 ,求得y=, 4則點P坐標為(0,收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔W此題考查了對稱的性質(zhì)，以及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式.禾I用對稱的方法找出線段之和的最小值的步驟為：1、找出其中一個定

5、點關(guān)于已知直線的對應(yīng)點；2、連接對應(yīng)點與另一個定點，求出與已知直線交點的坐標；3、根據(jù)兩點之間，線段最短可知求出的交點坐標即為滿足題意的點的坐標.如圖，4ABC的邊AB、AC上分別有定點 M、N,請在BC邊上找一點P,使得4PMN的周長最短.（寫出作法，保留作圖痕跡）考點：軸對稱-最短路線問題.專題：作圖題.分析：作點N關(guān)于BC的對稱點N ；連接MN 交BC于點巳由兩點之間線段最短可知 P點即為所求點. 解答： 解： 作點N關(guān)于BC的對稱點N 連接MN 交BC于點P,由對稱的性質(zhì)可知 PN=PN 故PN+PM=MN由兩點之間線段最短可知，4PMN的最短周長即為 MN +MN .點評：本題考查的

6、是最短線路問題，根據(jù)兩點之間線段最短的知識作出N的對稱點是解答此題的關(guān)鍵.如圖4ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AB邊的中點，P是BC邊上的動點，Q是AC邊上的動點，當(dāng)P、Q的位置在何處時，才能使 4DPQ的周長最小？并求出這個最值.考點：軸對稱-最短路線問題；等邊三角形的性質(zhì).專題：幾何圖形問題.分析：作出D關(guān)于BC、AC的對稱點D、D，連接DD，DQ , DP,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)將三角形的周長最值 問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題，利用等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可解答.解答：解：作D關(guān)于BC、AC的對稱點 D、D，連接DD，DQ , DP. DQ=DQ , DP=DP ,.DPQ 的周長

7、為 PQ+DQ+DP=PQ+DQ+DP=DD,根據(jù)兩點之間線段最短，DD的長即為三角形周長的最小值. ZA= ZB=60 , ZBED= Z AFD=90 ,/ “=/ 3=90 - 60 =30 ,Z DDD=180 - 30 - 30 =120,.D為AB的中點，_1DF=AD ?cos30 =1 x=, AF= ,2 22收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔易得 ADF AQDF ,QF=AF=二，2Q、P為AC、BC的中點.DD= 亭 2=73, 同理，DD= 近 2=f,2ADDD為直角三角形,冽點評:此題考查了軸對稱-最短路徑問題，涉及正三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形的內(nèi)角

8、和定理、等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識，有一定難度.4.如圖，ZAOB=30 , /AOB內(nèi)有一定點 P,且OP=10, OA上有一點 Q, OB上有一定點 R,若4PQR周長 最小，求它的最小值.考點：軸對稱-最短路線問題.專題：計算題.分析： 先畫出圖形，作 PMLOA與OA相交于 M,并將PM延長一倍到 E,即ME=PM .作PNLOB與OB相 交于N,并將PN延長一倍到F,即NF=PN .連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ, PR,則4PQR即為周長最短的三角形.再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出PQR=EF,再根據(jù)三角形各角之間的關(guān)系判斷出 EOF的形狀即可求解.解答： 解

9、：設(shè)/ POA=依則/ POB=30 - 0,作PM LOA與OA相交于M ,并將PM延長一倍到 E,即ME=PM .作PN LOB與OB相交于 N,并將PN延長一倍到 F,即NF=PN .連接EF與OA相交于Q,與OB相交于R,再連接PQ, PR,則 PQR即為周長最短的三角形. OA是PE的垂直平分線，EQ=QP ;同理，OB是PF的垂直平分線，F(xiàn)R=RP,APQR 的周長=EF. OE=OF=OP=10 ,且 / EOF= / EOP+/ POF=2 什2 (30 - 0) =60 ,AEOF是正三角形，EF=10,即在保持 OP=10的條件下4PQR的最小周長為10.收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵

10、權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔故答案為：10.F點評：本題考查的是最短距離問題，解答此類題目的關(guān)鍵根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出各點的對稱點，即把求三角形 周長的問題轉(zhuǎn)化為求線段的長解答.5 .如圖，已知 A、B是銳角a的OM邊上的兩個定點，P在ON邊上運動.問P點在什么位置時，PA2+PB2的 值最小？考點：軸對稱-最短路線問題.專題：動點型；探究型；存在型.分析：由余弦定理，可得二次函數(shù)，然后可求最值.解答： 解：設(shè) OA=a , OB=b, OP=x,PA2=a2+x2- 2axcos % PB2=b2+x2- 2bxcos a,PA2+PB2=a2+x2 - 2axcos a+b2+x2- 2bxc

11、os a=2x2 - 2 (a+b) cos x+a2+b2,當(dāng) x4Cosa 時，PA2+PB2的值最小.20P點評：本題考查的是最短路線問題，熟知兩點之間線段最短的知識是解答此題的關(guān)鍵.6 .如圖，兩個生物制藥廠 A與B座落于運河河岸的同一側(cè).工廠 A和B距離河岸l分別為4千米和2千米, 兩個工廠的距離為 6千米.現(xiàn)要在運河的工廠一側(cè)造一點C,在C處擬設(shè)立一個貨物運輸中轉(zhuǎn)站，并建設(shè)直線輸送帶分別到兩個工廠和河岸，使直線運送帶總長最小.如圖建立直角坐標系.y 4(1)如果要求貨物運動中轉(zhuǎn)站 C距離?岸l為a千米(a為一個給定的數(shù)，0QV),求C點設(shè)在何處時，直線 輸送帶總長S最小，并給出S關(guān)

12、于a的表達式.(2)在0QV范圍內(nèi)，a取何值時直線輸送帶總長最小，并求其最小值.收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系管理員刪除精品文檔考點：軸對稱-最短路線問題；直角梯形.專題：探究型.分析：（1）過B作直線BE，y軸于E點，再根據(jù)所建直角坐標系及A和B距離河岸l分別為4千米和2千米求出A、B兩點的坐標，再用 a表示出B點的坐標，再用兩點間的距離公式即可求解；（2）根據(jù)（1）中S的表達式及a的取值范圍進行解答即可.解答：解：（1）如圖所示：過B作直線BE，y軸于E點， A和B距離河岸l分別為4千米和2千米，AB=6千米，AE=4 - 2=2 千米， _be=Jab2 - -華也2 - 產(chǎn)d3N.A （0, 4）、B （V32, 2）,過點B作關(guān)于直線1