1、第三節 兩因素試驗的方差分析考查兩個因素對試驗指標的影響情況3.1 交叉分組資料（crossover classification）的方差分析 設試驗考察A、B兩個因素，A因素分a個水平，B因素分b個水平 。 所謂交叉分組是指A因素每個水平與B因素的每個水平都要搭配 ，兩者交叉搭配形成ab個水平組合即處理，試驗因素A 、B在試驗中處于平等地位 。如果將試驗單元分成 ab 個組，每組隨機接受一種處理 ，因而試驗數據也按兩因素兩方向分組，這種試驗數據資料稱為兩向分組資料，也叫交叉分組資料。 分無重復觀測值和重復觀測值兩種類型。對于A、B兩個試驗因素的全部ab個水平組合，每個水平組合只有一個觀測值（

2、無重復）， 全試驗共有ab個觀測值，其數據模式如下表所示。3.1.1 兩因素無重復試驗資料的方差分析 表 兩因素無重復觀測值的試驗數據模式注：A因素有a個水平，B因素有b個水平，共計有ab個水平組合，每一組合觀測一次，有ab個觀測值（表5），xij 為A的第i水平與B的第j水平組合觀測值。A的第i水平b個觀測值之和A的第i水平b個觀測值的平均數B的第j水平a個觀測值之和B的第j水平a個觀測值的平均數ab個觀測值的總和ab個觀測值的總平均數 兩因素無重復觀測值試驗資料的數學模型為： 式中， 為總平均數； (5-26) i，j分別為Ai、Bj的效應； i=i-， j=j-， i、j分別為Ai、Bj

3、觀測值總體平均數， 且i=0，j=0； ij為隨機誤差，相互獨立，且服從N(0，2) A因素的每個水平有b次重復，B因素的每個水平有a次重復，每個觀測值同時受到A、B 兩因素及隨機誤差的作用。因此全部 ab 個觀測值的總變異可以分解為 A 因素水平間變異、B因素水平間變異及試驗誤差三部分；自由度也相應分解。 離差平方和與自由度的分解如下： 矯正數 總平方和 A因素離差平方和 B因素離差平方和各項離差平方和與自由度的計算公式為: 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB 總自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 誤差自由度 dfe= dfT - d

4、fA dfB =(a-1)(b-1) 相應均方為【例1】某廠現有化驗員3人，擔任該廠牛奶酸度（T）的檢驗。每天從牛奶中抽樣一次進行檢驗，連續10天的檢驗分析結果見表6。試分析3名化驗員的化驗技術有無差異，以及每天的原料牛奶酸度有無差異（新鮮牛奶的酸度不超過20 T ） 。化驗員B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10 xi.xi.A111.7110.8112.3912.5610.6413.2613.3412.6711.2712.68121.3312.13 A211.7810.712.512.3510.3212.9313.8112.4811.612.65121.1212.11 A311.611

5、0.7512.412.4110.7213.113.5812.8811.4612.94121.8512.19 x.j35.1032.2637.2937.3231.6839.2940.7338.0334.3338.27364.3x.j11.7010.7512.4312.4410.5613.1013.5812.6811.4412.76表1 牛奶酸度測定結果A因素（化驗員）有3個水平，即a=3；B因素（天數） 有10個水平 ，即 b =10 ， 共有ab=310=30個觀測值。 1 計算各項離差平方和與自由度 2 列出方差分析表，進行F檢驗 表2 資料的方差分析表變異來源SSdfMSF值顯著性化驗員間

6、0.028320.01420.550日期間26.759192.9732115.240*誤差0.4635180.0258合計27.250929結果表明，3個化驗員的化驗技術沒有顯著差異，不同日期牛奶的酸度有極顯著差異。注：F0.01(9,18）=3.603 多重比較 在兩因素無重復觀測值試驗中，A因素每一水平的重復數恰為B因素的水平數b，故A因素的標準誤為 ；同理，B 因 素 的 標準誤對例1分析，a=3，MSe=0.0258。故根據 dfe=18，秩次距 k=2，3 ，10，查臨界 q 值 ，計算最小顯著極差LSR，見表3。 表3 q值與LSR值dfe秩次距kq0.05q0.01LSR0.05

7、LSR0.011822.974.070.28 0.38 33.614.70.34 0.44 44.00 5.090.37 0.47 54.285.380.40 0.50 64.495.60.42 0.52 74.675.790.43 0.54 84.825.940.45 0.55 94.966.080.46 0.57 105.076.20.47 0.58 B因素各水平均值多重比較結果見表4測定日期x.jx.j-10.56x.j-10.7511.44 11.70 12.43 12.44 12.68 12.76 13.10 B713.58 3.02* 2.83 2.14 1.88 1.15 1.1

8、4 0.90 0.82 0.48 B613.10 2.54 2.35 1.66 1.40 0.67 0.66 0.42 0.34 B1012.76 2.20 2.01 1.32 1.06 0.33 0.32 0.08 B812.68 2.12 1.93 1.24 0.98 0.25 0.24 B412.44 1.88 1.69 1.00 0.74 0.01 B312.43 1.87 1.68 0.99 0.73 B111.70 1.14 0.95 0.26 B911.44 0.88 0.69 B210.75 0.19 B510.56 表4不同測定日牛奶酸度多重比較結果（q法）處理 均值 5%顯

9、著水平 1%極顯著水平 B7 13.58 a A B6 13.10 b AB B10 12.76 bc BC B8 12.68 bc BC B4 12.44 c C B3 12.43 c C B1 11.70 d D B9 11.44 d D B2 10.75 e E B5 10.56 e E 附表：多重比較結果字母表示 結果表明，除B2與B5，B1與B9，B4與B3，B8與B3、B4，B10與B3、B4、B8差異不顯著外，其余不同測定日間牛奶酸度均差異極顯著或顯著。酸度最高的是B7，最低的是B5和B2。從牛奶質量要求看，連續10d的牛奶酸度均在鮮奶范圍內。 在進行兩個因素或多個因素的試驗時，

10、除了要研究每一個因素對試驗指標的影響外，往往更希望知道因素之間的交互作用對試驗指標的影響情況。 通過研究環境溫度、濕度、光照、氣體成分等環境條件對導致食品腐爛變質的酶和微生物的活動的影響有無交互作用，對有效控制酶和微生物活動，保持食品質量有著重要意義。 兩個因素無重復觀測值試驗只適用于兩個因素間無交互作用的情況； 若兩因素間有交互作用， 則每個水平組合中只設 一個試驗單位(觀察單位)的試驗設計是不正確的或不完善的。這是因為： (1)在這種情況下，SSe,dfe實際上是A、B 兩因素交互作用平方和與自由度，所算得的MSe是交互作用均方 ，主要反映由交互作用引起的變異。 (2)這時若仍按前述方法進

11、行方差分析，由于誤差均方值大（包含交互作用在內），有可能掩蓋試驗因素的顯著性， 從而增大犯型錯誤的概率。 (3) 每個水平組合只有一個觀測值，無法估計真正的試驗誤差，因而不可能對因素的交互作用進行研究。 交互作用交互作用：在多因素試驗中一個因素對試驗結果的影響依賴于另一因素所取的水平時，稱兩因素有交互作用。 在多因素對比試驗中，某些因素對指標的影響往往是互相制約、互相聯系的。即在試驗中不僅因素起作用，而且因素間有時聯合起來起作用，這種聯合作用并不等于各因素單獨作用所產生的影響之和，稱這種聯合作用為交互作用。例：某農場對四塊大豆試驗田作施肥試驗。每塊田以不同的方式施以磷肥和氮肥，其產量如下：可以

12、看出 當施氮肥和不施氮肥時，施以4公斤磷肥后的增產數量是不同的 當施磷肥和不施磷肥時，施以6公斤氮肥后的增產數量是不同的 若N, P分別起作用時增產為50, 30kg。但同時施時其效果并不是50+30=80kg，而是增產560-400=160kg，增加的80公斤則為交互作用的效果。P1=0P2=4P2-P1N1=040045050N1=6430560130N2-N130110 對兩因素和多因素等重復試驗結果進行分析， 可以研究因素的簡單效應、主效應和因素間的交互作用（互作效應）。3.1.2 交叉分組兩因素等重復試驗的方差分析三種效應 1簡單效應（simple effect） 是指在某一因素同一

13、個水平上，比較另一因素不同水平對試驗指標的影響。三種效應 2主效應（main effect） 是指某一因素各水平間的平均差別。它與簡單效應的區別是，主效應指的是某一因素各水平間的平均差別是綜合了另一因素各水平與該因素每一水平所有組合的情況。三種效應 3. 互作效應（interaction effect） 如果某一因素的各簡單效應隨另一因素的水平變化而變化，而且變化的幅度超出隨機波動的程度，則稱兩個因素間存在互作效應。 設A、B兩因素，A因素有a個水平，B因素有b個水平，共有ab個水平組合，每個水平組合有n次重復試驗，則全試驗共有abn個觀測值。試驗結果的數據模式如表5所示。 兩因素等重復試驗的

14、方差分析表5 兩因素等重復觀測值試驗數據模式 A因素B因素Ai合計xi.B1B2BbA1x1jlx111x121x1b1x112x122x1b2x1.x113x123x1b3x11nx12nx1bnx1j.x11.x12.x1b.x1j.x11.x12.x1b.A2兩因素等重復試驗數據模式（部分）表5中 每個組合處理n 次重復之和B因素第j水平an個數據之和abn個數據總和A因素第i水平bn個數據之和其中， 為總平均數； i為Ai的效應； j為Bj的效應； () ij為Ai與Bj的互作效應。(5-32)兩因素等重復試驗資料的數學模型為:分別為Ai、Bj、Ai Bj觀測值總體平均數；且 3.1.

15、2.1 離差平方和與自由度分解其中，SSAB，dfAB為A因素與B因素交互作用平方和與自由度。 為隨機誤差，相互獨立，且服從N（0，2）。 若用SSAB，dfAB表示A、B水平組合間的平方和與自由度，即處理間平方和與自由度，則處理引起的變異可進一步剖分為A因素、B因素及A、B交互作用三部分，于是SSAB、dfAB可分解為： 矯正數 總平方和與自由度因素水平組合平方和與自由度A因素平方和與自由度各項平方和、自由度及均方的計算公式如下：B因素平方和與自由度 交互作用平方和與自由度誤差平方和與自由度所以，相應均方為因素A的方差因素B的方差A、B互作的方差誤差方差3.1.2.2 列方差分析表，進行F檢

16、驗FA顯著，應對A因素各水平的平均數作多重比較，其平均數標準誤為：FB顯著，應對B因素各水平的平均數作多重比較，其平均數標準誤為： FAB顯著，應對各組合的平均數作多重比較，其平均數標準誤為： 3.1.2.3 多重比較溫度（A）pH值（B）B1B2B3A1876875866A2978997866A37810779689表6 3種溫度對3種pH值對酶活性的影響【例2】現有3種溫度3種pH值對酶活性的影響試驗結果，試作方差分析 A因素（溫度）有3個水平，即a=3；B因素（pH值）有3個水平，即b=3；共有ab=33=9個水平組合；每個水平組合重復數n=3；全試驗共有=333=27個觀測值。 （1）

17、 計算各項平方和與自由度 變異來源 平方和 自由度 均 方 F 值 顯著性 A因素間 6.23 23.12 5.29*B因素間 1.56 20.78 1.32AxB 22.21 45.55 9.41*誤 差 10.67 180.59 總變異 40.67 26表7 方差分析表（2）列出方差分析表，進行F檢驗查臨界F值： F0.05（2,18）=3.55，F0.01（2,18）=6.01； F0.01（4,18）=4.58。 因為， FAF0.05(2,18）； FBF0.05(2,18）；FABF0.01（4,18），表明不同溫度、pH值與溫度之間的互作對酶活性有顯著或極顯著影響，而pH間的差異

18、不顯著。因此，應進一步進行不同溫度處理均數間、各水平均數間 的多重比較。 溫度 因為A因素各水平的重復數為bn，故A因素各水平的標準誤為： 對本例而言， （3）多重比較由dfe=18，秩次距k=2,3，從附表5中查出SSR0.05與SSR0.01的 臨 界值 ，計算LSR值 ，結果列于表8。表8 配方各水平均數比較SSR值與LSR值dfe秩次距SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.011822.974.070.76 1.04 33.124.270.80 1.09 處理 均值 5%顯著水平 1%極顯著水平 A3 7.9 a A A2 7.7 a AB A1 6.8 b B 表9 配

19、方間平均數多重比較結果（SSR法） 因素A主效應分析，結果表明溫度A3與A1之間差異極顯著，A2與A1差異顯著，A2與A3差異不顯著。 因B因素各水平的重復數為an，故B因素各水平的標準誤為：在本例，B因素的影響不顯著，不必進行多重比較。 以上所進行的多重比較，實際上是A、B兩因素主效應的檢驗。若A、B因素交互作用不顯著，則可從主效應檢驗中分別選出A、B因素的最優水平，得到最優水平組合；若A、B因素交互作用顯著，則應進行水平組合平均數間的多重比較，以 選出最優水平組合，同時可進行簡單效應的檢驗。 因為水平組合數通常較大(本例ab=33=9)，采用最小顯著極差法進行各水平組合平均數的比較，計算較

20、麻煩。為了簡便起見，常采用LSD法。 因為水平組合的重復數為n，故水平組合的標準誤為： 本例 各水平組合平均數間的比較水平組合均值 5%顯著水平 1%極顯著水平 A3B39.3a A A2B18.7ab AB A1B18.0abc AB A3B27.7 bc ABC A2B27.3 bc BC A2B37.0 cd BC A1B26.7 cd BC A3B16.7 cd BC A1B35.7 d C 表15個水平組合平均數多重比較結果（SSR法）分析結果表明，A3B3，A2B1，A1B1為優組合，按此組合選用溫度和pH值可望得到較好的酶活性。 以上的比較結果可以看出，當A、B因素的交互作用顯著

21、時，一般不必進行兩個因素主效應的顯著性檢驗（因為這時主效應的顯著性在實用意義上并不重要），而直接進行各水平組合平均數的多重比較，選出最優水平組合。 簡單效應的檢驗簡單效應實際上是特定水平組合平均數間的差數。檢驗尺度仍為互作效應檢驗中的LSD有人設計3個羅非魚品種A1、A2、A3和A4不同蛋白質水平餌料B1、B2、B3，每個處理配置兩個魚池進行試驗。試驗期內每池的產魚量（kg）如下表。試作方差分析。 試驗期內的產魚量（kg）品種蛋白質水平B1B2B3B4A1134.0130.1129.8129.0132.7132.8126.7128.9A2132.0130.2128.7127.6133.2129

22、.8128.1127.8A3128.4127.3129.7128.8129.3128.9127.3129.1解:1、提出假設,2、平方和、自由度的分解 (2)、 方差分析表因為互作不顯著，則將互作合并到誤差項中 (2)、 方差分析表 （3）對B因素進行比較多重比較（SSR法） 多重比較表（字母標記法）3.2 系統分組資料的方差分析系統分組（hierarchical classification）設計，又稱為巢式設計、樹狀設計、多因子嵌套設計假設有 A、B 兩個因子，這兩個因子的搭配組成不再是上一節的交叉構成，而是 B 因子嵌套在 A 因子內，即 B 因子為次級因子：A 因子的某一個水平包含了

23、B 因子部分水平A 因子的另一個水平包含了 B 因子的另一部分水平即：B 因子的水平僅從屬于 A 因子的一個水平而 A 因子的水平并不包含 B 因子的所有水平如果有第三個因子 C，則 C 因子嵌套在 B 因子內如果有第四個因子 D，則 D 因子嵌套在 C 因子內以此類推其數據結構呈現樹狀結構如行政區劃，就是典型的系統結構：國家包含若干個省（A）、一個省（A）包含若干個市（B）、一個市（B）包含若干個縣（C）、一個縣（C）包含若干個鎮（D）、一個鎮（D）包含若干個村（E）再如：植物生理學實驗中：不同植株（A）、同一植株不同枝條（B）、同一枝條不同部位（C）在這種數據結構中，各 因子的重要性是不完

24、全相等的，下一級因子的重要性往往低于上一級因子 A1 Ai AaB11 B12 B1b Bi1 Bi2 Bib Ba1 Ba2 Bab C111 C112 C11c Ca11 Ca12 Ca1c A 因子稱為一級因子，B 因子稱為二級因子，因子之間是一種從屬關系，而非上一節 A、B 因子的交叉構成中所討論的那種平行關系 下面我們寫出兩因子系統分組資料的數據結構：A因子 B因子 觀測值 B因子和 A因子和 T A1 B11 x111 x112 x11. B12 x121 x122 x12. x1.A2 B21 x211 x212 x21. B22 x221 x222 x22. x2.Ai Bi1

25、 xi11 xi12 xi1. Bi2 xi21 xi22 xi2. xi.Ap Bp1 xp11 xp12 xp1. Bp2 xp21 xp22 xp2. xp. x根據這一數據結構我們可以寫出其數學模型：式中，為總體平均i為 A 因子第 i 個水平的效應ij為 A 因子第 i 個水平下的 B 因子第 j 個水平的效應ijk為隨機誤差，且p為 A 因子的水平數；qi為第 i 個 A 因子水平下 B 因子的水平數；nij為第 i 個 A 水平中第 j 個 B 水平中的觀測值平方和及自由度的分解總離均差 因素A離均差平方和 因素B離均差平方和試驗誤差平方和分解上式中，右手第二項稱為 A因子內 B

26、因子水平間 SS自由度分解滿足不等式;雙因素系統實驗方差分析程序 1. 提出原假設和備擇假設 2. 計算統計量H01: H11: 一級因素A無顯著差異一級因素A有顯著差異H02: H12: 二級因素B無顯著差異二級因素B有顯著差異首先:確定二級因素的顯著性對于給定的顯著水平a,查F分布分位數表,若判定二級因素影響顯著,否則判定其不顯著 3. 構造統計量F,并進行F檢驗其中:若B顯著若B不顯著對于給定的顯著水平a,查F分布分位數表,若或判定A顯著,否則不顯著其次:確定一級因素的顯著性 4. 列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MS F值 Fa顯著性一級因素A二級因素B 誤差eSSASSB(A)

27、SSea-1ab-aAb(r-1)顯著總和SST abr-1 4. 列方差分析表方差來源平方和S自由度均方MS F值 Fa顯著性一級因素A二級因素B 誤差eSSASSB(A)SSea-1ab-aAb(r-1)不顯著總和SST abr-1例1：隨機選取4株植物，在每一植株內隨機選取兩片葉子，用取樣器從每一片葉子上選取同樣面積的三個樣品，稱取濕重xijk （g），得數據如下表（數據已經過了簡化）S D xijk r br xij. 平均 xi. 平均1 1 2.2 2.3 2.0 3 6.5 2.17 2 2.0 2.1 2.3 3 6 6.4 2.13 12.9 2.152 3 1.6 1.5

28、1.7 3 4.8 1.60 4 1.8 2.0 1.7 3 6 5.5 1.83 10.3 1.723 5 2.6 2.5 2.2 3 7.3 2.43 6 2.4 2.4 2.2 3 6 7.0 2.33 14.3 2.38 4 7 1.8 1.5 1.7 3 5.0 1.67 8 1.5 1.6 1.4 3 6 4.5 1.50 9.5 1.58 24 24 47.0 47 上表中，a= 4，b = 2，r = 3 N = 24校正值 C = 92.0417SST = (2.22+2.32+.1.42) - C = 95.02 - C = 2.9783SSS = (12.92+9.52)

29、/6 - C = 94.54 - C = 2.4983 （一級樣本間）SSD(S) = (6.52+4.52)/3 - (12.92+9.52)/6 = 94.68 - 94.54 = 0.14 （二級樣本間）SSe = SST SSS - SSD(S) = 2.9783 - 2.4983 -0.14 = 0.34自由度：dfT = 423 1 = 23dfS = 4 1 = 3dfD(S) = 4 (2 - 1) = 4dfe = 42(3 - 1) = 16 將平方和及自由度填入方差分析表中，并計算各均方和 F 值：方差分析表：變異來源 SS df MS F F0.05 F0.01植株間S

30、 2.4983 3 0.8328 23.79* 6.59 16.69葉片間D 0.14 4 0.035 1.64 3.01誤 差e 0.34 16 0.02125 T 2.9783 23 上述計算中，即：兩個不同級別的 F 值均由下一級的 MS 作為比較標準，而不再是統一由誤差項均方作為比較標準而查 F所用的自由度也應作相應的變動，即：FS的自由度分別為 df1=3，df2=4FD的自由度分別為 df1=4，df2=16由于不同植株間的濕重差異極顯著，而葉片間差異不顯著，因此，應對植株間（一級樣本）作多重比較： R 2 3 4 植株 0.05 0.01 q0.05 3.93 5.00 5.76

31、 3 2.38 a A q0.01 6.51 8.12 9.17 1 2.15 a ABLSR0.05 0.30 0.38 0.44 2 1.72 b BLSR0.01 0.50 0.62 0.70 4 1.58 b B如果葉片間差異亦顯著，由于不是我們研究的重點，故可不進行多重比比較。 3.3 方差分析處理效應分類固定因子：如果一個因子的各個水平是我們有目的地挑選出來的，而我們的研究目的是要比較這些因子之間有無差異或估計這些水平的效應，則稱之為固定因子，該因子各個水平的效應稱為固定效應。隨機因子：如果一個因子的各個水平是從該因子的所有可能水平中隨機抽取的，我們的研究目的不僅僅是要比較這些水平之