1、歡迎下載學習好資料八、圓楊春東 張家港市妙橋中學【近三年江蘇省十三大市中考圓的分值與比率】 （僅供參考）年份2011 年2012 年2013 年地區分值（分）比率（%）分值（分）比率（%）分值（分）比率（%）南京市1210.001815.00108.33蘇州市1713.081410.771410.77無錫市1511.541914.6264.62常州市1310.001411.671512.50鎮江市1310.001210.00119.17揚州市1612.312315.331610.67泰州市138.671510.00138.67南通巾149.33117.33149.33鹽城巾1610.67106

2、.6764淮安巾138.6796.001610.67宿遷市1610.671610.671912.67徐州市119.171411.67128.57連4港巾1510.001610.671510.00平均14.159.5814.6910.8012.859.23【課標要求】1.了解圓及其有關概念2.了解弧、弦、圓心角之間的關系3.了解點與圓、直線與圓以及圓與圓的位置關系4.掌握圓周角與圓心角的關系以及直徑所對圓周角的特征5.了解三角形的內心和外心6.了解切線的概念7.掌握切線與過切點的半徑之間的關系8.掌握判定一條直線是否為圓的切線以及會過圓上一點畫圓的切線9.掌握切線長定理10.掌握計算弧長及扇形的

3、面積以及計算圓錐的側面積和全面積【課時分布】本單元在第一輪復習時大約需要8個課時，其中包括單元測試 .下表為內容及課時安排（僅供參考）.課時數內 容1圓的認識及有美概念2與圓有關的位置關系1與圓有關的計算2圓的綜合性問題2圓的單元測試與評析歡迎下載學習好資料2.基礎知識(1)圓的認識 TOC o 1-5 h z 圓可由圓心與半徑確定.圓心決定圓的位置，半徑決定圓的大小圓是一個旋轉對稱圖形，無論繞圓心旋轉多少度， 它都與自身重合，其旋轉對稱中心為圓心.圓還是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸弦是連接圓上任意兩點的線段.經過圓心的弦叫做直徑，它是圓中最長的弦.弧是圓上任意兩點間的部分

4、.圓上直徑兩端點之間的部分叫做半圓.大于半圓的弧叫做優弧；小于半圓的弧叫做劣弧 .如果兩段(圓)弧能夠完全重合，則稱它們為等弧.圓心角是頂點在圓心的角.圓周角是頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角(2)與圓有關的位置關系點與圓有三種位置關系：點在圓外；點在圓上；點在圓內設點與圓心的距離為 d,圓的半徑為r,則三種位置關系的判斷方法為：點在圓外 =d r ;點在圓上 =d =r ;點在圓內 =d r ;直線與圓相切 u d =r ;直線與圓相交 u d r .圓的切線上的某一點與切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長.與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內切圓.三角形內切圓的圓心叫做三角形的內心.這個

5、三角形叫做圓的外切三角形.圓與圓的位置關系有五種：外離、外切、相交、內切、內含.設兩圓圓心的距離為d ,兩圓的半徑為 R、r ,那么兩圓外離 u dR+r ;兩圓外切Ud=R+r;兩圓 相交 u R-r d r);兩圓 內含歡迎下載學習好資料ud r）.兩個圓構成軸對稱圖形，連心線 （經過兩圓圓心的直線）是對稱軸.由對稱性知，當兩圓相切，連心線經過切點；當兩圓相交時，連心線垂直平分公共弦與圓有關的定理“弧、弦、圓心角的關系”定理：在同圓或等圓中，如果兩條弧、兩條弦、兩個圓心角中有一組量對應相等，那么它們所對應的其余兩組量也分別對應相等 .垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條

6、弧.垂徑定理的推論：I .平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.n .弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.m.平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.圓周角定理及其推論：I.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對圓周角相等，都等于該弧所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.n.90 的圓周角所對的弦是圓的直徑.m.半圓或直徑所對的圓周角都相等，等于90。（直角）.圓內接四邊形的性質定理：圓的內接四邊形對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角.過不在同一直線上的三點有且只有一個圓.一個三角形有且只有一個外接圓.三角形的外心是三

7、角形三邊垂直平分線的交點.三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等.圓的切線的性質：I.與圓只有一個公共點；n.圓心到切線的距離等于半徑；m.圓的切線垂直于過切點的半徑.切線的判定：如果一條直線與圓只有一個公共點，那么這條直線是圓的切線；到圓心的距 離等于半徑的直線是圓的切線；經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等.這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角.三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點.三角形的內心到三角形三邊的距離相等.相交弦定理：圓內兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等?割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條

8、割線與圓的交點的兩條線段長的積相等.（4）與圓有關的計算由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形.一.n二 rn- r2 1 一 .弧長公式：l =；扇形面積公式： S扇形=-lr .其中為n圓心角的度數，r為1803602半徑.圓柱的側面展開圖是矩形，圓柱的側面可以看成是由一個矩形圍成的.圓柱體也可以看成是一個矩形以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉而形成的幾何體.圓柱的側面積=底面周長X高；圓柱的全面積 =W面積+2X底面積.圓錐是由一個底面和一個側面圍成的，我們把圓錐底面圓周上任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線.連接頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高.圓錐的側面展開圖是扇形

9、，圓錐的側面可以看成是由一個扇形圍成的.圓錐體可以看成是歡迎下載學習好資料由一個直角三角形以一條直角邊所在的直線為軸旋轉而形成的幾何體.圓錐的側面積=1X底面周長X母線；圓錐的全面積 =側面積+底面積.23.能力要求例1如圖8-1 , ABC是O O的內接三角形，ADLBC于D點，AE是直徑.說明：(1)ABAC=ADAE;(2)延長AD交圓于點F,連ZBE, CF ,則BE=CF .(1)如圖8-1 ,連結BE,根據直徑所對的圓周角是直角，可得/ ABE=Z ADC ,又根據同弧所對的圓周角相等，可得 /AEB=/ACD,從而通過證 ABEsADC可證.BE =CF ,可得 BE=CF .(

10、2)方法一：如圖 8-2 ,由第(1)問的 ABEs ADC 可得 / BAE=Z DAC ,根據相等的圓周角所對的弧相等，可得方法二：如圖 8-2,連結EF,由于 AE直徑，所以 AFXEF,因ADXBC,故BC / EF,【解】連結BE. AE 直徑，ADXBC, ./ ABE=Z ADC=90 . / AEB=Z ACD ,ABEA ADC, AB AE-=,AD ACAB - AC=AD - AE.根據圓的平行弦所夾的弧相等，可得BE=CF ,再根據等對等定理，可得 BE=CF.(2)方法一：方法二： ABEA ADC ,連結 EF ./ BAE=/DAC,AE 直徑， AFXEF.

11、. BE =CF，ADXBC,.,BE=CF. BC / EF,BE =CF ,BE=CF .【說明】此題考查了直徑所對的圓周角是直角、同弧所對的圓周角相等、相等的圓周角所對的弧相等、平行弦所對夾的弧相等、等弧所對的弦相等等知識.解題中一方面注意到了隱含條件“同弧所對的圓周角相等”和“等弧所對的弦相等”，另一方面將“特殊的弦”(直徑)轉化為“特殊的角”(直角)，體現了 “轉化”的思想方法.本 題出現了圓中常見的輔助線，教師要有意識地引導一題多解，使學生熟知他們各自的作用， 同時引導學生解題時要注意題目中的隱含條件.圖8-3例2如圖8-3,已知 AB是。O的弦，OB=2, Z B=30, C是

12、弦AB上的任意一點(不與點A、B重合)，連接CO并延長CO 交。O于點D,連接AD.(1)弦長AB等于(結果保留根號)；歡迎下載學習好資料(2)當/D=20時，求/ BOD的度數；(3)當AC的長度為多少時，以 A, C, D為頂點的三角形與以 B, C, O為頂點的三角形 相似？請寫出解答過程.【分析】 如圖8-4 ,過點O作OELAB于E,由垂徑定理即可求得 AB的長；(2)如圖 8-5,連接 OA,由 OA=OB, OA=OD,可得 / BAO=/B, / DAO=/D ,貝U可求得/ DAB 的度數，又由圓周角等于同弧所對圓心角的一半，即可求得/DOB的度數；(3)由/ BCO 是 D

13、AC 的外角，得/ BCOZ A, / BCOZ D,因此要使 DAC 與 BOC 相似，只能/ DCA=Z BCO=90 ,然后由相似三角形的性質即可求得答案.【解】 過點 O 作 OELAB 于 E,則 AE=BE=1AB, ZOEB=90, 2 OB=2, Z B=30, . . BE=OB?cos/ B=2X /A, Z BCOZ D.要使 DAC 與 BOC 相似，只能/ DCA = /BCO=90 此時/ BOC=60, Z BOD =120. ./ DAC=60. DACA BOC. / BCO=90,即 OCXAB.-AC= AB=飛 3 .2【說明】此題考查了垂徑定理、解直角

14、三角形、圓周角的性質、三角形外角的性質以及相似三 角形的判定與性質等知識.圓中有關弦的問題，通常利用垂徑定理，由半徑、弦的一半、弦 心距構成直角三角形. 圓中有許多常見的輔助線和基本圖形，教師在復習時應與學生一起歸納整理.本題綜合性較強，解題時要注意數形結合思想的應用.例3 如圖，AB為。的直徑，AC、CD為弦，/ ACD=60, P為AB延長線上的點，/APD=30.(1)求證：DP是。的切線；(2)若。的半徑為3cm,求圖中陰影部分的面積.【分析】(1)如圖8-6，連接OD ,求出/AOD ,求出/DOB ,求 出/ODP,根據切線判定推出即可；(2)求出OP、DP長，分別求出扇形 口。8

15、和4 ODP面積, 即可求出答案.【解】歡迎下載學習好資料(1)連接 OD , ZACD =600,. AOD=2 , ACD=120 ,.DOB=180 -120 =60.ZAPD =30,，ZODP=180 -30 -60 =90： OD DP .OD為半徑，DP是。O切線.ZAPD =300 , NODP =90 , OD =3cm ,OP =6cm , DP = 3 3 cm,圖中陰影部分的面積 S=SOD S扇形obd =1X3X373-0 =處_a.u236022【說明】本題考查了扇形面積，三角形面積，切線的判定，圓周角定理等知識點的應用，主要考圖8-7ZABF =/D ,根據同弧

16、所對查學生的推理和計算能力.例4 如圖8-7, MBC內接于。O,弦AD _LAB交BC于 點E ,過點B作。O的切線交DA的延長線于點F ,且 ZABF=Z ABC.(1)求證：AB = AC;4(2)若 AD =4 , cos ZABF =,求 DE 的長.5【分析】(1)連接BD,可得BD是直徑，根據同角的余角相等的性質得的圓周角相等得 DD =/C ,再根據/ ABF=ZABC,可證得/ABC =/C ,即可得AB=AC;(2)在RtAABD中，解直角三角形求出 AB的長度；然后在 RtAABE中，解直角三角形求出 AE的長度；最后利用 DE=AD-AE求得結果.【解】證明：連接BD

17、.AD _LAB ,NDAB=900, BD 必過圓心 O.FB 為。O 的切線，OB1BF .Dd ZDBA ZABF .DBA=900.ZABF =/D .DD =/C , / ABF= / ABC ,/ABC =/C ,，AB=AC.(2)解：如圖 8-8 ,在 RtAADB 中，/ BAD = 90,. cosZ ADB= AD ,BD = AD=AD=百=5. . . AB=3 .BDcos. ADB cos. ABF 45在 RtAABE 中，/ BAE=90 ,cos/ ABE=BE=AB= =15 , AE=；(竺)2 _ 32 -,BEcos-ABE 44- 4；45_9 7

18、.DE=AD-AE=49=74 4歡迎下載學習好資料此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及三角函數等知識.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.例5如圖，AD是。O的切線，切點為 A, AB是。O的弦，過點 B作BC / AD,交。O 于點C,連接AC,過點C作CD/ AB,交AD于點D,連接AO并延長交BC于點M,交過 點C的直線于點 P,且/ BCP=/ACD.(1)判斷直線PC與。O的位置關系，并說明理由；(2)若 AB=9, BC=6,求 PC 的長.【分析】(1)如圖8-9,連接CO并延長交。O于N ,連接NB ,得到/NBC=900,再證/

19、BCP=/BNC； (2)先求出AM ,再求出。O的半徑，最后證 4MCCP,從而求得PC的長.解法一：(1)直線PC與圓O相切.如圖8-9 ,連接CO并延長，交圓O于點N,連接BN. AB/CD ,ZBAC=ZACD.,.2BAC=NBNC, . /BNC=/ACD . ,. ZBCP=ZACD, . /BNC=/BCP.CN是圓O的直徑，ZCBN=900ZBNC+ZBCN=90 :/BCP+/BCN=90 .ZPCO=90 ,即 PC_LOC.又點C在圓O上，直線PC與圓O相切.(2)AD 是圓 O 的切線，AD1OA,即 NOAD =90 BC/AD , . ./OMC=180 口*OA

20、D=90即 OM1BC.MC = MB. AB=AC.在 RtMMC 中，ZAMC=90AC=AB=9, MC=-BC=32由勾股定理，得 AM= AC 2HC 2 = . 92-32 =6 . 2.設圓O的半徑為r,在 RtOMC 中，ZOMC =90, OM=AMAO=6小t, MC=3, OC=r, 由勾股定理，得 OM 2|C 2=OC 2,即（6&T）2+32=r2.解得 得聽 8在 OMC 和 OCP 中，: ZOMC = ZOCP, ZMOC=ZCOP,OMC-AOCP.PC=277OM CM6,2 8 23F=7C，即-27=同8 2解法二：(1)直線PC與圓O相切.如圖8-1

21、0 ,連接 OC.AD是圓O的切線，AD1OA,即/OAD =90 . BC/AD ,ZOMC=180OAD=90 口，歡迎下載學習好資料即 OMFC.，MC = MB.AB=AC. ./MAB =/MAC .，NBAC=2/MAC .又MOC=2/MAC , ./MOC =/BAC . AB/CD ,ZBAC=ZACD. /MOC =/ACD .又BCP=/ACD ,，/MOC=NBCP. ZMOC+ZOCM=90 , . NBCP+/OCM =90 ./PCO=90 ,即PC_OC.又二.點 C在圓O上，直線 PC與圓O相切.1(2)在 RtAMC 中，ZAMC =90 口，AC=AB=9

22、, MC=-BC=3,由勾股定理，得 AM“AC 2IC 2 =9公2 =64.設圓O的半徑為r.在 RtOMC 中，ZOMC =90, OM=AM5O=6g/，MC=3, OC=r, 由勾股定理，得OM 24MC 2=OC 2,即(6/)2+32=r2.解得 ,曰 在 OMC 和 OCP 中，: NOMC = /OCP, /MOC=/COP, . OMC OCP,OM CMOC PC6 2 27 2827 一8 2PC=277【說明】切線的判定與性質、勾股定理及,相等的角的轉化.此題考查了平行線的性質、直徑所對的圓周角是直角、相似三角形的判定與性質等.解題中一方面注意到了隱含條件“同弧所對的

23、圓周角相等” 本題中的輔助線是圓中常見的，教師要有意識地加以引導.例6如圖8-11 ,在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點 A、B的坐標分別為(8 , 0)、(0, 6).動點Q從點O、動點P從點A同時出發，分別沿著 OA方向、AB方向均以1個單 位長度/秒的速度勻速運動，運動時間為t (秒)(0 vtW5).以P為圓心，PA的長為半徑的。P與AB、OA的另一個交點分別為 C、D ,連接CD、QC .(1 )求當t為何值時，點Q與點D重合？(2)設 饃CD的面積為S,試求S與t之間的函數關系式，并求 S的最大值；(3)若O P與線段QC只有一個交點，請直接寫出 t的取值 范圍.【分析】(1)根

24、據點A、B的坐標求出OA、OB ,利用勾股定理列式求出 AB,根據點Q的速度表示 出OA ,然后求出OB ,再根據直徑所對的圓周角是直角得/ADC =90 ,再利用/BAO余弦表示出AD ,然后列出方程求解即可；(2)利用NBAO的正弦表示出CD的長，然后分點Q、D重合前與重合后兩種情況表示出QD ,再利用三角形的面積公式列式整理，然后根據二次函數的最值問題解答；(3)有兩個時段內。P與線段QC只有一個交點：運動開始至 QC與。P相切時(0 vt )；重合分離后至運動結束(竺t 5).713歡迎下載學習好資料【解】(1) A(8, 0), B(0, 6),OA=8, OB =6,AB= JOA

25、2 +OB2 =施 +62 =10,，cos/BAO=0A=4 , sin/BAO=0B=3AB 5AB 5AC為。P的直徑，. ACD為直角三角形.AD = AC ?cos ZBAO=2t x 4 =8t .5 5當點Q與點D重合時，OQ + AD =OA,即:t + 8 t =8,解得: 5t=13當0 Y時,6,二t .5t = 40（秒）時，點Q與點D重合.133(2)在 RtAACD 中，CD=AC ?sin ZBAO=2t x 35DQ =OA-OQ - AD =8-t -t =8-t .11136392-S DQ *CD(8 t) *_t =一t225525b 20 c 2040-20 a， =,0,，當1=時，24卜一t .52a 13131313S有最