1、第1節直線與方程1.理解直線的傾斜角和斜率的概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.2.掌握確定直線位置的幾何要素,掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),了解斜截式與一次函數的關系.3.能根據兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.4.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標.5.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離.1.直線的傾斜角(1)定義:當直線l與x軸相交時,取x軸作為基準,x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.當直線l與x軸平行或重合時,規定它的傾斜角為0.(2)范圍:直線l傾斜角的取值范圍是0,).2.斜率公式(1)直線l

2、的傾斜角為(90),則斜率k=tan .(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直線l上,且x1x2,則l的斜率k=y2-y1x2-x1.3.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y-y0=k(x-x0)不含直線x=x0斜截式y=kx+b不含垂直于x軸的直線兩點式y-y1y2-y1=x-x1x2-x1不含直線x=x1(x1x2)和直線y=y1(y1y2)截距式xa+yb=1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax+By+C=0,A2+B20平面內所有直線都適用(1)“截距式”中截距不是距離,在用截距式時,應先判斷,截距是否為0,若不確定,則需分類討論.(2)求直線方程時要注意判斷直線斜

3、率是否存在;每條直線都有傾斜角,但不一定每條直線都存在斜率.4.兩條直線的位置關系(1)兩條直線平行與垂直兩條直線平行:()對于兩條不重合的直線l1,l2,若其斜率分別為k1,k2,則有l1l2k1=k2.()當直線l1,l2不重合且斜率都不存在時,l1l2.兩條直線垂直:()如果兩條直線l1,l2的斜率存在,設為k1,k2,則有l1l2k1k2=-1.()當其中一條直線的斜率不存在,而另一條的斜率為0時,l1l2.(2)兩條直線的交點坐標直線l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,則l1與l2的交點坐標就是方程組A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0的解.

4、5.幾種距離(1)兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離|P1P2|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.(2)點P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離d=|Ax0+By0+C|A2+B2.(3)兩條平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax+By+C1=0與Ax+By+C2=0間的距離d=|C1-C2|A2+B2.(1)應用點到直線的距離公式時應將方程化為最簡的一般形式.(2)應用兩條平行線間的距離公式時應使兩平行線方程中x,y的系數分別對應相等.1.直線系方程(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax+By+m=0(mR且mC).(2)與直線Ax+By+C=

5、0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(nR).(3)過直線l1:A1x+B1y+C1=0與l2:A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程為A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2.2.兩直線平行的充要條件直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0平行的充要條件是A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C10.3.兩直線垂直的充要條件直線l1:A1x+B1y+C1=0與直線l2:A2x+B2y+C2=0垂直的充要條件是A1A2+B1B2=0.1.經過點A(8,-2),斜率為-12的直線方程為(D)A.x-2y-12=0B.x+2y+4

6、=0C.2x+y-14=0D.x+2y-4=0解析:由題意,直線過點A(8,-2),且斜率為-12,根據直線的點斜式方程,可得y-(-2)=-12(x-8),即x+2y-4=0.故選D.2.(選擇性必修第一冊P57習題T3改編)直線l:xsin 30+ycos 150+a=0的斜率為(A)A.33B.3C.-3D.-33解析:cos 150=-32,sin 30=12,所以k=-12-32=33.故選A.3.已知直線l平分圓C:x2+y2-6x+6y+2=0的周長,且直線l不經過第三象限,則直線l的傾斜角的取值范圍為(A)A.90,135B.90,120C.60,135D.90,150解析:圓

7、C:x2+y2-6x+6y+2=0的標準方程為(x-3)2+(y+3)2=16,故直線l過圓C的圓心(3,-3).因為直線l不經過第三象限,結合圖象可知,tan -1,90,135.故選A.4.(選擇性必修第一冊P72練習T2改編)直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行,則m=;若l1l2,則m=.解析:若l1l2,則有2m=m+134-2,故m=2或-3.若l1l2,2m+(m+1)3=0,解得m=-35.答案:2或-3-355.直線2x+2y+1=0,x+y+2=0之間的距離是.解析:先將2x+2y+1=0化為x+y+12=0,則兩平行線間的距離為d=|2-

8、12|2=324.答案:324 直線的傾斜角與斜率1.直線xsin +y+2=0的傾斜角的取值范圍是(B)A.0,)B.0,434,)C.0,4D.0,4(2,)解析:設直線的傾斜角為,則有tan =-sin .因為sin -1,1,所以-1tan 1.又0,),所以04或34.故選B.2.若圖中直線l1,l2,l3的斜率分別為k1,k2,k3,則(D)A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2解析:因為l2,l3的傾斜角為銳角,且l2的傾斜角大于l3的傾斜角,所以0k3k2,直線l1的傾斜角為鈍角,斜率k10,所以k1k3k2.故選D.3.若點A(4,3),B(5,a)

9、,C(6,5)三點共線,則a的值為.解析:因為kAC=5-36-4=1,kAB=a-35-4=a-3,且A,B,C三點共線,所以a-3=1,即a=4.答案:44.直線l過點P(1,0),且與以A(2,1),B(0,3)為端點的線段有公共點,則直線l的斜率的取值范圍為.解析:如圖,因為kAP=1-02-1=1,kBP=3-00-1=-3,所以直線l的斜率k(-,-31,+).答案:(-,-31,+)1.在分析直線的傾斜角和斜率的關系時,要根據正切函數k=tan 的單調性,當取值在0,2),即由0增大到2(2)時,k由0增大到+,當取值在(2,),即由2(2)增大到()時,k由-增大到0.2.斜率

10、的兩種求法(1)定義法:若已知直線的傾斜角或的某個三角函數值,一般根據k=tan 求斜率.(2)公式法:若已知直線上兩點A(x1,y1),B(x2,y2),一般根據斜率公式k=y2-y1x2-x1(x1x2)求斜率. 直線方程 (1)(多選題)若直線l過點A(1,2),且在兩坐標軸上截距的絕對值相等,則直線l的方程可能為()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0(2)已知點M是直線l:2x-y-4=0與x軸的交點,將直線l繞點M按逆時針方向旋轉45,得到的直線方程是()A.x+y-3=0B.x-3y-2=0C.3x-y+6=0D.3x+y-6=0(3)經過兩條直

11、線l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交點,且直線的一個方向向量v=(-3,2)的直線方程為.解析:(1)當直線經過原點時,斜率為k=2-01-0=2,所求的直線方程為y=2x,即2x-y=0;當直線不過原點時,設所求的直線方程為xy=k,把點A(1,2)代入可得1-2=k或1+2=k,求得k=-1或k=3,故所求的直線方程為x-y+1=0或x+y-3=0.綜上,所求的直線方程為2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.故選ABC.(2)設直線l的傾斜角為,則tan =k=2,直線l繞點M按逆時針方向旋轉45,所得直線的斜率k=tan(+4)=2+11-21=-3.又點M(2,0),所以

12、y=-3(x-2),即3x+y-6=0.故選D.(3)聯立x+y=2,2x-y=1,解得x=1,y=1,又直線的方向向量v=(-3,2),所以直線的斜率k=-23,則直線方程為y-1=-23(x-1),即2x+3y-5=0.答案:(1)ABC(2)D(3)2x+3y-5=0在求直線方程時,應先選擇適當的直線方程的形式,并注意各種形式的適用條件.若采用截距式,應注意分類討論,判斷截距是否為零;若采用點斜式,應先考慮斜率不存在的情況(或者直接設為x-x0=m(y-y0),mR).針對訓練 根據所給條件求直線的方程:(1)直線過點(-4,0),傾斜角的正弦值為1010;(2)直線過點(4,1),且在

13、兩坐標軸上的截距相等;(3)直線過點(5,10),到原點的距離為5;(4)直線過點(2,1)和(-2,3).解:(1)由題設知,該直線的斜率存在,故可采用點斜式.設傾斜角為,則sin =1010(00)與l2:2x+ny-6=0之間的距離是5,則2m+n等于()A.0B.1C.-2D.-1(2)若直線l過點P(-1,2),且到點A(2,3)和點B(-4,5)的距離相等,則直線l的方程為.解析:(1)因為l1l2,所以1n=2(-2),1(-6)2m,解得n=-4,m-3,所以l2:x-2y-3=0.又l1,l2之間距離是5,所以|m+3|1+4=5,解得m=2或m=-8(舍去),所以2m+n=

14、0.故選A.(2)當ABl時,有k=kAB=-13,直線l的方程為y-2=-13(x+1),即x+3y-5=0.當l過AB的中點時,AB的中點為(-1,4),所以直線l的方程為x=-1.故所求直線l的方程為x+3y-5=0或x=-1.答案:(1)A(2)x+3y-5=0或x=-11.點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求,但要注意此時直線方程必須為一般式.2.兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離.(2)利用兩平行線間的距離公式.針對訓練 (1)(2021山西太原期中)已知直線l1:mx+y-3=0與直線l2:x-

15、y-m=0平行,則它們之間的距離是()A.22B.4C.2D.2(2)已知點P(4,a)到直線4x-3y-1=0的距離不大于3,則a的取值范圍是.解析:(1)因為直線l1:mx+y-3=0與直線l2:x-y-m=0平行,所以m1=1-1-3-m,解得m=-1.所以直線l1的方程為x-y+3=0,直線l2的方程為x-y+1=0.由平行直線間的距離公式,得d=|3-1|12+(-1)2=22=2.故選C.(2)由題意得,點P到直線的距離為|44-3a-1|5=|15-3a|5.又|15-3a|53,即|15-3a|15,解得0a10,所以a的取值范圍是0,10.答案:(1)C(2)0,10 對稱問

16、題(應用性) (1)直線ax+y+3a-1=0恒過定點M,則直線2x+3y-6=0關于M點對稱的直線方程為()A.2x+3y-12=0B.2x-3y-12=0C.2x-3y+12=0D.2x+3y+12=0(2)直線ax+y+3a-1=0恒過定點M,則點M關于直線2x+3y-6=0對稱的點N的坐標為.(3)過點P(0,1)作直線l使它被直線l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的線段被點P平分,則直線l的方程為.(4)直線l與直線2x+y+3=0關于y軸對稱,則直線l的方程為.解析:(1)由ax+y+3a-1=0,可得a(x+3)+(y-1)=0,令x+3=0,y-1=0,可得x

17、=-3,y=1,所以點M(-3,1)不在直線2x+3y-6=0上.設直線2x+3y-6=0關于M點對稱的直線方程為2x+3y+C=0(C-6),則|-6+3-6|4+9=|-6+3+C|4+9,解得C=12或C=-6(舍去),所以所求直線方程為2x+3y+12=0.故選D.(2)直線ax+2y+3a-1=0化為a(x+3)+y-1=0,所以該直線恒過定點M(-3,1).設點M關于直線2x+3y-6=0的對稱點N的坐標為(x0,y0),則有y0-1x0+3=32,2-3+x02+31+y02-6=0,解得x0=-313,y0=6713.故點N的坐標為(-313,6713).(3)設l1與l的交點

18、為A(a,8-2a),則由題意知,點A關于點P的對稱點B(-a,2a-6)在l2上,把B點坐標代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即點A(4,0)在直線l上,所以由兩點式得直線l的方程為x+4y-4=0.(4)點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標為(-x,y),所以直線2x+y+3=0關于y軸對稱的直線l:2x-y-3=0.答案:(1)D(2)(-313,6713)(3)x+4y-4=0(4)2x-y-3=0解決中心對稱問題的關鍵在于運用中點坐標公式,而解決軸對稱問題,一般是轉化為求對稱點的問題,在求對稱點時,關鍵是抓住兩點:一是兩對稱點的連線與對稱軸垂直;二是兩對稱點的

19、中點在對稱軸上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一個方程,由“平分”列出一個方程,聯立求解.針對訓練 (1)直線2x-y+3=0關于直線x-y+2=0對稱的直線方程是()A.x-2y+3=0B.x-2y-3=0C.x+2y+1=0D.x+2y-1=0(2)如圖,已知A(4,0),B(0,4),從點P(2,0)射出的光線經直線AB反射后再射到直線OB上,最后經直線OB反射后又回到P點,則光線所經過的路程是()A.33B.6C.210D.25解析:(1)設所求直線上任意一點P(x,y),P關于x-y+2=0的對稱點為P(x0,y0),由x+x02-y+y02+2=0,x-x0=-(y-y0),得

20、x0=y-2,y0=x+2,由點P(x0,y0)在直線2x-y+3=0上,則2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.故選A.(2)直線AB的方程為x+y=4,點P(2,0)關于直線AB的對稱點為D(4,2),關于y軸的對稱點為C(-2,0),則光線經過的路程為|CD|=62+22=210.故選C. 直線x+(a2+1)y+1=0的傾斜角的取值范圍是()A.0,4B.34,)C.0,4(2,)D.4,2)34,)解析:依題意,直線的斜率k=-1a2+1-1,0),因此其傾斜角的取值范圍是34,).故選B. 若經過兩點A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為34,則y等于(

21、)A.-1B.-3C.0D.2解析:由k=-3-2y-12-4=tan34=-1,得-4-2y=2,所以y=-3.故選B. 已知直線4x+my-6=0與直線5x-2y+n=0垂直,垂足為(t,1),則n的值為()A.7B.9C.11D.-7解析:由直線4x+my-6=0與直線5x-2y+n=0垂直得,20-2m=0,即m=10.直線4x+10y-6=0過點(t,1),所以4t+10-6=0,即t=-1.點(-1,1)又在直線5x-2y+n=0上,所以-5-2+n=0,即n=7.故選A.知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練直線的傾斜角與斜率1,2直線方程5,9,10兩條直線的位置關系3,4

22、,711,1318距離問題812,14,17對稱問題615,161.直線x+3y+1=0的傾斜角是(D)A.6 B.3C.23D.56解析:由直線的方程得直線的斜率為k=-33,設傾斜角為,則tan =-33.又0,),所以=56.故選D.2.若平面內三點A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共線,則a等于(A)A.12或0 B.2-52或0C.252 D.2+52或0解析:由題意知kAB=kAC,即a2+a2-1=a3+a3-1,即a(a2-2a-1)=0,解得a=0或a=12.故選A.3.在同一平面直角坐標系中,直線l1:ax+y+b=0和直線l2:bx+y+a=0有可能是(B)解

23、析:由題意l1:y=-ax-b,l2:y=-bx-a,當a0,b0時,-a0,-b0,b0)過點(1,1),則a+b的最小值等于(C)A.2B.3C.4D.5解析:將(1,1)代入直線xa+yb=1,得1a+1b=1,a0,b0,故a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab2+2=4,等號當且僅當a=b時取到.故選C.6.點(1,2)關于直線x+y-2=0的對稱點是(B)A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(2,1)解析:設點A(1,2)關于直線x+y-2=0的對稱點是B(a,b),則有b-2a-1=1,a+12+b+22-2=0,解得a=0,b=1,故點(1,2)關于直線x

24、+y-2=0的對稱點是(0,1).故選B.7.(多選題)(2021山東模擬)若三條直線l1:ax+y+1=0,l2:x+ay+1=0,l3:x+y+a=0不能圍成三角形,則(ABC)A.a=1 B.a=-1C.a=-2D.a=2解析:當a=1時,直線l1,l2,l3重合,不能構成三角形,符合題意.當a1時,若三條直線交于一點,則也不能構成三角形.由x+ay+1=0,x+y+a=0,得直線l2,l3的交點坐標為(-a-1,1).代入直線l1的方程ax+y+1=0得a2+a-2=0,解得a=-2或a=1(舍去),符合題意.三條直線中有兩條平行或重合,若l1和l3平行或重合,則a=1;若l2和l3平

25、行或重合,則a=1;若l1和l2平行或重合,則-a=-1a,得a=1,符合題意.綜上,可得實數a所有可能的值為-1,1,-2.故選ABC.8.已知坐標原點關于直線l1:x-y+1=0的對稱點為A,設直線l2經過點A,則當點B(2,-1)到直線l2的距離最大時,直線l2的方程為(B)A.2x+3y+5=0B.3x-2y+5=0C.3x+2y+5=0D.2x-3y+5=0解析:設A(x0,y0),依題意可得x02-y02+1=0,y0 x0=-1,解得x0=-1,y0=1,即A(-1,1).設點B(2,-1)到直線l2的距離為d,當d=|AB|時取得最大值,此時直線l2垂直于直線AB.又-1kAB

26、=32,所以直線l2的方程為y-1=32(x+1),即3x-2y+5=0.故選B.9.已知直線l:(a-2)x+(a+1)y+6=0,則直線l恒過定點.解析:直線l的方程變形為a(x+y)-2x+y+6=0,由x+y=0,-2x+y+6=0,解得x=2,y=-2,所以直線l恒過定點(2,-2).答案:(2,-2)10.菱形ABCD的頂點A,C的坐標分別為A(-4,7),C(6,-5),BC邊所在直線過點P(8,-1).求:(1)AD邊所在直線的方程;(2)對角線BD所在直線的方程.解:(1)kBC=-5-(-1)6-8=2,因為ADBC,所以kAD=2.所以AD邊所在直線的方程為y-7=2(x

27、+4),即2x-y+15=0.(2)kAC=-5-76-(-4)=-65,因為菱形的對角線互相垂直,所以BDAC,所以kBD=56.因為AC的中點(1,1),也是BD的中點,所以對角線BD所在直線的方程為y-1=56(x-1),即5x-6y+1=0.11.已知直線l1:x+2y+1=0與l2:ax-y+2=0平行,則實數a的值是(C)A.12 B.2C.-12D.-2解析:因為直線l1:x+2y+1=0與l2:ax-y+2=0平行,所以a1=-1221,解得a=-12.故選C.12.若三條直線y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一點,則點(m,n)到原點的距離的最小值為(A)A.5

28、B.6C.23D.25解析:聯立y=2x,x+y=3,解得x=1,y=2,把(1,2)代入mx+ny+5=0得m+2n+5=0,即m=-5-2n.點(m,n)到原點距離d=m2+n2=(-5-2n)2+n2=5(n+2)2+55.當且僅當n=-2,m=-1時,取“=”.故選A.13.與直線x-2y+3=0平行,且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為4的直線方程是.解析:設所求直線方程為x-2y+=0,令x=0,得y=2;令y=0,得x=-,由題意得12|2|-|=4,解得=4.答案:x-2y4=014.兩平行直線l1,l2分別過點P(-1,3),Q(2,-1),它們分別繞P,Q旋轉,但始終保持平行,

29、則l1,l2之間的距離的取值范圍是.解析:因為l1l2,且Pl1,Ql2,所以l1,l2間的最大距離為|PQ|=2-(-1)2+(-1-3)2=5.又l1與l2不重合,所以l1,l2之間距離的取值范圍是(0,5.答案:(0,515.曲線C:x2+y2-2x=0關于直線x-2y=0對稱的曲線方程是.解析:由x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1,圓心為C(1,0),半徑為1.設C(1,0)關于直線x-2y=0的對稱點為C (x0,y0),則有y0 x0-1=-2,x0+12-2y0+02=0,解得x0=35,y0=45,所以所求的曲線方程為(x-35)2+(y-45)2=1.答案:(x-3

30、5)2+(y-45)2=116.已知直線l:3x-y+3=0,求:(1)點P(4,5)關于l的對稱點;(2)直線x-y-2=0關于直線l對稱的直線方程;(3)直線l關于點(1,2)對稱的直線方程.解:(1)設P(x,y)關于直線l:3x-y+3=0的對稱點為P(x,y).因為kPPkl=-1,即y-yx-x3=-1.又PP的中點在直線3x-y+3=0上,所以3x+x2-y+y2+3=0.由得x=-4x+3y-95,y=3x+4y+35,把x=4,y=5代入得x=-2,y=7,所以點P(4,5)關于直線l的對稱點P的坐標為(-2,7).(2)用分別代換x-y-2=0中的x,y,得關于l對稱的直線方程為-4x+3y-95-3x+4y+35-2=0,化簡得