1、第二課時球及其表面積與體積 知識點、方法基礎鞏固練綜合運用練應用創新練球的體積與表面積1,2,3,5球的切、接問題4,6,7,8,9綜合問題10,11,12,13,14,1516,171.已知底面邊長為1,側棱長為2的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上,則該球的體積為(D)A.323B.4C.2D.43解析:因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半,所以半徑r=1212+12+(2)2=1,所以V球=4313=43.故選D.2.(2021安徽安慶調研)已知在四面體PABC中,PA=4,BC=26,PB=PC=23,PA平面PBC,則四面體PABC的外接球的表面積是(C)A.160B.1

2、28C.40D.32解析:因為PB2+PC2=12+12=24=BC2,所以PBPC,又PA平面PBC,所以PAPB,PAPC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直,以PA,PB,PC為從同一頂點出發的三條棱補成長方體,所以該長方體的體對角線長為PA2+PB2+PC2=16+12+12=210,故該四面體的外接球半徑為10.于是四面體PABC的外接球的表面積是4(10)2=40.故選C.3.已知A,B,C為球O的球面上的三個點,O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為(A)A.64B.48C.36D.32解析:如圖所示,設球O的半徑為R,O1的半徑為r,因為

3、O1的面積為4,所以4=r2,解得r=2,又AB=BC=AC=OO1,所以ABsin60=2r,解得AB=23,故OO1=23,所以R2=OO12+r2=(23)2+22=16,所以球O的表面積S=4R2=64.故選A.4.(多選題)已知正方體的外接球與內切球上各有一個動點M,N,若線段MN的最小值為3-1,則(ABC)A.正方體的外接球的表面積為12B.正方體的內切球的體積為43C.正方體的棱長為2D.線段MN的最大值為23解析:設正方體的棱長為a,則正方體外接球的半徑為體對角線長的一半,即32a,內切球的半徑為棱長的一半,即a2.因為M,N分別為外接球和內切球上的動點,所以MNmin=32

4、a-a2=3-12a=3-1,解得a=2,即正方體的棱長為2,C正確;正方體的外接球的表面積為4(3)2=12,A正確;正方體的內切球的體積為43,B正確;線段MN的最大值為32a+a2=3+1,D錯誤.故選ABC.5.如圖,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是.解析:設圓柱內切球的半徑為R,則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,故V1V2=R22R43R3=32.答案:326.(2021湖南長沙檢測)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,

5、AA1=3,則V的最大值是.解析:由ABBC,AB=6,BC=8,得AC=10.要使球的體積V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若球與三個側面相切,設底面ABC的內切圓的半徑為r,則1268=12(6+8+10)r,所以r=2,2r=43,不符合題意.則球與三棱柱的上、下底面相切時,球的半徑R最大,則2R=3,即R=32,故球的最大體積V=43R3=92.答案:927.已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面都相切,且這個球的體積是323,那么這個三棱柱的體積是.解析:設球的半徑為r,則43r3=323,得r=2,則正三棱柱的高為2r=4.又正三棱柱的底面三角形的內切圓半徑與球的半徑相等,

6、所以底面正三角形的邊長為43,所以正三棱柱的體積為V=34(43)24=483.答案:4838.圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為.解析:因為圓臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上,如圖所示.設球的球心為O,圓臺上底面的圓心為O,則圓臺的高OO=OQ2-OQ2=52-42=3,據此可得圓臺的體積為V=133(52+54+42)=61.答案:619.在半徑為15的球O內有一個底面邊長為123的內接正三棱錐A-BCD,求此正三棱錐的體積.解:(1)如圖甲所示的情形,顯然OA=OB=OC=OD=15.設H為BCD的中心,則A,O,H

7、三點在同一條直線上.因為HB=HC=HD=2332123=12,所以OH=OB2-HB2=9,所以正三棱錐A-BCD的高h=9+15=24.又SBCD=34(123)2=1083,所以V三棱錐A-BCD=13108324=8643.(2)對于圖乙所示的情形,同理,可得正三棱錐A-BCD的高h=15-9=6,SBCD=1083,所以V三棱錐A-BCD=1310836=2163.綜上,可知正三棱錐的體積為8643或2163.10.已知ABC是面積為934的等邊三角形,且其頂點都在球O的球面上.若球O的表面積為16,則O到平面ABC的距離為(C)A.3B.32C.1D.32解析:設球O的半徑為R,則

8、4R2=16,解得R=2.設ABC外接圓的半徑為r,邊長為a.因為ABC是面積為934的等邊三角形,所以12a232=934,解得a=3,所以r=23a2-a24=239-94=3,所以球心O到平面ABC的距離d=R2-r2=4-3=1.故選C.11.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,CEF=90,則球O的體積為(D)A.86B.46C.26D.6解析:因為點E,F分別為PA,AB的中點,所以EFPB,因為CEF=90,所以EFCE,所以PBCE.取AC的中點D,連接BD,PD,易證AC平面BDP,所以P

9、BAC,又ACCE=C,AC,CE平面PAC,所以PB平面PAC,所以PBPA,PBPC,因為PA=PB=PC,ABC為正三角形,所以PAPC,即PA,PB,PC兩兩相互垂直,將三棱錐P-ABC放在正方體中.因為AB=2,所以該正方體的棱長為2,所以該正方體的體對角線長為6,所以三棱錐P-ABC的外接球的半徑R=62,所以球O的體積V=43R3=43(62)3=6.故選D.12.唐朝著名的鳳鳥花卉浮雕銀杯(如圖所示),它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體(如圖),當這種酒杯內壁表面積固定時(假設內壁表面光滑,表面積為S cm2,半球的半徑為R cm),要使酒杯容積不大于半球體積的兩倍

10、,則R的取值范圍為(D)A.(0,3S10 B.3S10,+)C.(S5,3S10D.3S10,S2)解析:設圓柱的高度與酒杯的容積分別為h,V,則表面積S=2R2+2Rh,故Rh=S2-R2,所以酒杯的容積V=23R3+R2h=23R3+(S2-R2)R=-3R3+S2R43R3,所以S253R2,又S2-R20,所以R2S253R2,解得3S10RS2.故選D.13.已知兩個圓錐有公共底面,且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上.若圓錐底面面積是這個球表面積的316,則這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.解析:如圖,設球的半徑為R,圓錐底面半徑為r.由題意得r2=31

11、64R2,所以r2=34R2.根據球的截面的性質可知兩圓錐的高必過球心O,且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點,且ABO1C,所以OO1=R2-r2=R2,因此體積較小的圓錐的高為AO1=R-R2=R2,體積較大的圓錐的高為BO1=R+R2=32R,故這兩個圓錐中,體積較小者的高與體積較大者的高的比值為13.答案:1314.偉大的阿基米德的墓碑上刻了一個如圖所示的圖案,圖案中球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.試計算出圖案中圓錐、球、圓柱的體積比.解:設圓柱的底面半徑為r,高為h,則V圓柱=r2h,由題意知圓錐的底面半徑為

12、r,高為h,球的半徑為r,V圓錐=13r2h,V球=43r3.又h=2r,所以V圓錐V球V圓柱=13r2h43r3r2h=23r343r32r3=123.15.某組合體的直觀圖如圖所示,它的中間為圓柱形,左右兩端均為半球形,若圖中r=1,l=3,試求該組合體的表面積和體積.解:該組合體的表面積為S=4r2+2rl=412+213=10,該組合體的體積V=43r3+r2l=4313+123=133.16.已知三棱柱ABCA1B1C1的所有頂點都在球O的球面上,該三棱柱的五個面所在的平面截球面所得的圓大小相同.若球O的表面積為20,則三棱柱的體積為.解析:因為三棱柱ABCA1B1C1的五個面所在的

13、平面截球面所得的圓的大小相同,所以該三棱柱的底面是等邊三角形.設三棱柱底面邊長為a,高為h,截面圓的半徑為r,球半徑為R,所以r=a3.因為球O的表面積為20,所以4R2=20,解得R=5.因為底面和側面截得的圓的大小相同,所以(a2)2+(h2)2=(a3)2,所以a=3h.又因為(h2)2+(a3)2=R2,由得a=23,h=2,所以三棱柱的體積為V=34(23)22=63.答案:6317.農歷五月初五是端午節,民間有吃粽子的習俗,粽子又稱“粽籺”,是端午節大家都會品嘗的食品.如圖(1)的平行四邊形形狀的紙片是由六個邊長為1的正三角形組成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖(2)的粽子形狀的六面體,則該六面體的體積為;若該六面體內有一球,則該球的體積的最大值為.解析:由對稱性可知該六面體是由兩個全等的正四面體合成的,正四面