1、第三章 恒定電場和電流體電流密度：一個矢量點函數，它的方向是該點處正電荷的運動方向，大小等于垂直于此方向的單位面積上所通過的電流。 3.1 電流與電流密度 1、電流：電荷有規則的宏觀運動。 2、電流強度：單位時間內通過導線某一截面的電荷量。簡稱電流。 傳導電流、運流電流單位：安培 A方向：電流強度不是矢量，但常常以正電荷穿過曲面的方向作為電流的正方向，當曲面（或電路導線）的參考方向與電流正方向一致時，電流強度取正值。 表達式：3、電流密度：單位：安培 / 米2面電流密度：一個矢量點函數，它的方向是該點處正電荷的運動方向，大小等于垂直于此方向的單位橫截線上所通過的電流。單位：安培 / 米 4、電

2、流密度 與載流子參數的關系因為 為電荷平均運動速度 所以寫成矢量形式 是大量運動電荷的定向平均速度 其中 為運動電荷密度5、歐姆定律的微觀解釋以金屬為例，作以下假定假定運動電荷是電子，則在電場作用下加速度為假定電子碰撞后向各方向出射，碰撞后的瞬時速度平均值為0，碰撞間隔為，則定向漂移速度為導體單位體積內的自由電子數為N，則 在條件下，得引入電導率則有歐姆定律的微分形式3.2 恒定電流場的基本定律1、第一基本定律在恒定電場中電荷守恒定律應用散度定理得由此得到電荷守恒定律的微分形式得恒定電流場第一基本定律物理意義：恒定電流密度場是一個無源場 。推論：基爾霍夫第一方程 2、第二基本定律 根據恒定電流

3、場 可知整個空間的電荷密度分布將不隨時間改變，即恒定電流場具有恒定的電荷密度分布。 而電場強度只決定于電荷密度的分布，故恒定電場與靜電場一樣也是一個保守場。得恒定電流場第二基本定律3、導電媒質中的高斯定律導電媒質中的恒定電場不但要激發電流，也會引起媒質極化。 在恒定電場中高斯定律仍然成立其中物理意義：恒定電場是一個保守場，無旋場 。均勻線性導電媒質中根據第一定律 和歐姆定律 ， 得故有再由高斯定律 因此當均勻媒質中存在恒定電流時，其內部體電荷密度處處等于零。 均勻導電媒質的凈電荷只能存在于媒質的表面上。 結論：4、恒定電場中的電位恒定電場是一個保守場，所以可以引入位函數來描述對于均勻導電媒質，

4、可以證明Laplace方程成立 5、恒定電場中的導體 導體內的電場不為零，導體內部的各點和表面的電位也不是常量，這與靜電場中的導體概念是不同的。 只有理想導體 才具有與靜電場中導體相同的性質。 3.3 電源和電動勢 要想在導線中維持恒定電流，必須依靠非靜電力將B極板的正電荷抵抗電場力搬到A極板。這種提供非靜電力將其它形式的能量轉為電能裝置稱為電源。1、電源2、電動勢 電源的非靜電力把單位正電荷從電源的負極推到正極所作的功稱為該電源的電動勢。E = 電動勢總是與電源的非靜電力做功聯系在一起，它決定于電源本身的性質，與電源外部的電路無關。 從非靜電力做功角度可以求得電源的電動勢E 表示單位電荷在在

5、電源內受到的非靜電力 在電源的內部存在著兩個電場：一個是非靜電力的等效電場，另一個是電源兩極上的分布電荷在電源內部產生的庫侖電場，兩者的指向正好相反。 在電源外部的媒質或空間中，只存在由分布電荷所產生的庫侖電場。 開路電壓： E3.4 歐姆定律和焦耳定律1、歐姆定律 微分形式 電阻的求解：低頻電路形式2、焦耳定律 微分形式 低頻電路形式3.5 恒定電流場的邊界條件1、 和 的邊界條件或或將恒定電流場兩個基本方程應用到邊界上得到邊界條件：另一方面由于 ，利用歐姆定律可得 所以分界面兩側的總電流密度矢量和總電場強度矢量都是不連續的。 2、 和 的折射關系根據邊界條件得 所以可推出折射關系 因此，只

6、要良好導體一側的電流不平行于分界面，不良絕緣材料一側的電流和電場就幾乎與分界面垂直，因而分界面可以近似為等電位面。 如果媒質1為電導率很低的不良導電媒質，而媒質2為高電導率的良好導體，即 時，根據折射關系可知3、電位的邊界條件4、 的邊界條件根據歐姆定律和電流的邊界條件可得根據高斯定律可得例3.3 條件如圖所示求（1）通過電容器的漏電流 （2）兩媒質分界面上的 和解：（1）設通過電容器的電流為I，略去邊緣效應則兩媒質中電流密度為 兩媒質中的電場分別為 所以 通過電容器的電流和電流密度分別為 兩種媒質中的電通量密度分別為 故分界面上的自由電荷面密度為 媒質分界面上的極化面電荷密度可由界面兩側的極

7、化強度得到 分界面上的總極化電荷面密度是上面兩式的代數和，即 3.6 恒定電流場與靜電場的類比無電荷區域靜電場主要導出方程: 邊界條件方程: 無外源區域恒定電流場基本方程：1、重要關系式的類比2、對偶關系靜電場恒定電場（電源外）E靜E恒U靜I恒D靜J恒Q靜U恒類比法：當兩種場的基本方程和邊界條件相同時，可以利用上述對偶關系，由一種場中某類問題的已知解，通過對偶量的替換來得到另一種場同類問題的解。 例3.4 求土壤中的解：靜電場解用類比法得恒定 電場中的沒有對偶量，需單獨計算 3、電容和電阻的類比關系兩電極之間的電容為 兩電極之間的電阻為 兩式相乘，得 設兩種情況下外加電壓相同，則必有 注：這兩個關系式對同一個恒定場問題中的電阻和電容也成立。 所以也可以寫成例3.5 求例3.4球形導體電極的對地電阻。已知導體球的半徑為 a1 m，土壤的電導率為103（S/m)。 解：電極深埋地下時，可以近似為無限均勻媒質中的孤立導體球靜電場孤立導體電容為由類比關系得4 、靜態電場就電場的本質而言，恒定電場與靜電場是相同的。 原因： 由于電場的性