1、第7 章魯棒控制與魯棒控制器設計薛定宇 著控制系統計算機輔助設計MATLAB 語言與應用第二版，清華大學出版社 2006CAI課件開發：鄂大志 、薛定宇2022/7/211控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第1頁，共95頁。主要內容線性二次型 Gauss 控制魯棒控制問題的一般描述 魯棒控制器的計算機輔助設計新魯棒控制工具箱及應用分數階控制系統分析與設計2022/7/212控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第2頁，共95頁。7.1 線性二次型 Gauss 控制7.1.1 線性二次型 Gauss 問題假設對象模型的狀態方程表示為 為白噪聲信號，

2、分別表示模型的不確定性與輸出信號的量測噪聲。2022/7/213控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第3頁，共95頁。定義最優控制的指標函數為2022/7/214控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第4頁，共95頁。7.1.2 使用 MATLAB 求解 LQG 問題帶有 Kalman 濾波器的 LQG 結構2022/7/215控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第5頁，共95頁。Kalman 濾波器的增益矩陣式中 , 滿足下面的 Riccati 代數方程2022/7/216控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大

3、學信息學院第6頁，共95頁。【例7-1】2022/7/217控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第7頁，共95頁。 LQG 控制器設計的分離原理2022/7/218控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第8頁，共95頁。 基于觀測器的 LQG 調節器設計2022/7/219控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第9頁，共95頁。由 Kalman 濾波器方程可以寫出基于觀測器的 LQG 調節器為2022/7/2110控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第10頁，共95頁。2022/7/2111控制系統計算

4、機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第11頁，共95頁。【例7-2】2022/7/2112控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第12頁，共95頁。7.1.3 帶有回路傳輸恢復的 LQG 控制 LQG/LTR 控制器設計算法使用 LQG 控制器，系統的開環傳遞函數表示為直接狀態反饋系統的開環傳遞函數為2022/7/2113控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第13頁，共95頁。【例7-3】2022/7/2114控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第14頁，共95頁。2022/7/2115控制系統計算機輔助設計MA

5、TLAB語言與應用東北大學信息學院第15頁，共95頁。回路傳輸恢復技術(loop transfer recovery，LTR)加權函數的選擇2022/7/2116控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第16頁，共95頁。 先求解標準的 LQ 問題，然后應用 LTR 技術2022/7/2117控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第17頁，共95頁。2022/7/2118控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第18頁，共95頁。【例7-4】 對【例7-3】不同的 q 值應用 LTR 技術2022/7/2119控制系統計算機輔助設計

6、MATLAB語言與應用東北大學信息學院第19頁，共95頁。2022/7/2120控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第20頁，共95頁。應用 MATLAB 求解 LQG/LTR 問題若想使得系統在輸入端恢復環路傳遞函數，則若想在對象模型的輸出端恢復環路傳遞函數，則2022/7/2121控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第21頁，共95頁。【例7-5】 對【例7-3】選定一個 q 向量，設計 LTR 控制器，并繪制出不同 q 值下環路傳遞函數 的 Nyquist 圖。2022/7/2122控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學

7、院第22頁，共95頁。7.2魯棒控制問題的一般描述小增益定理魯棒控制器的結構魯棒控制系統的 MATLAB 描述2022/7/2123控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第23頁，共95頁。7.2.1 小增益定理(a) 標準反饋控制結構(b) 小增益定理示意圖2022/7/2124控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第24頁，共95頁。假設 為穩定的，則當且僅當小增益條件滿足時圖 (b) 中所示的系統對所有穩定的 都是良定的，且是內部穩定的。 小增益定理即如果系統的回路傳遞函數的范數小于 1，則閉環系統將總是穩定的。2022/7/2125控制系統計

8、算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第25頁，共95頁。7.2.2 魯棒控制器的結構閉環系統中引入的增廣對象模型其對應的增廣狀態方程為2022/7/2126控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第26頁，共95頁。閉環系統傳遞函數為2022/7/2127控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第27頁，共95頁。 最優控制問題 其中需求解 ； 最優控制問題 其中需求解 ； 控制問題 需要得出一個控制器滿足魯棒控制問題的三種形式： 魯棒控制的目的是設計出一個鎮定控制器 使得閉環系統 的范數取一個小于 1 的值，亦即2022/7/2128控制

9、系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第28頁，共95頁。加權靈敏度問題的控制結構框圖2022/7/2129控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第29頁，共95頁。假定系統對象模型的狀態方程為 ，加權函數 的狀態方程模型為 的狀態方程模型為 ，而非正則的 的模型表示為 加權函數 ，使得 均正則。 即傳遞函數在 時均應該是有界的。2022/7/2130控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第30頁，共95頁。式中2022/7/2131控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第31頁，共95頁。這時魯棒控制問題可以

10、集中成下面三種形式：靈敏度問題 并不指定 穩定性與品質的混合魯棒問題 假定 為空一般的混合靈敏度問題 要求三個加權函數都存在2022/7/2132控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第32頁，共95頁。7.2.3 魯棒控制系統的 MATLAB 描述 魯棒控制工具箱中的系統描述方法建立魯棒控制工具箱可以使用的系統模型2022/7/2133控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第33頁，共95頁。2022/7/2134控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第34頁，共95頁。2022/7/2135控制系統計算機輔助設計MATLAB

11、語言與應用東北大學信息學院第35頁，共95頁。【例7-6】2022/7/2136控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第36頁，共95頁。 分析與綜合工具箱和 LMI 工具箱的 模型描述2022/7/2137控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第37頁，共95頁。變換出系統矩陣 P2022/7/2138控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第38頁，共95頁。【例7-7】用【例7-6】中的對象模型和加權函數， 得出其系統矩陣模型 P 2022/7/2139控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第39頁，共

12、95頁。7.3 魯棒控制器的 計算機輔助設計魯棒控制工具箱的設計方法基于線性矩陣不等式工具箱的設計方法基于 分析與綜合工具箱的 控制器設計基于回路成型技術的魯棒控制器設計2022/7/2140控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第40頁，共95頁。7.3.1 魯棒控制工具箱的 設計方法魯棒控制器的狀態方程表示其中X 與 Y 由下面的兩個代數 Riccati 方程求解2022/7/2141控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第41頁，共95頁。控制器存在的前提條件為 足夠小, 且滿足 ； 控制器 Riccati 方程的解為 正定矩陣； 觀測器 Ri

13、ccati 方程的解為 正定矩陣； 。該式說明兩個 Riccati 方程的積 矩陣的所有特征值均小于 。 2022/7/2142控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第42頁，共95頁。【例7-8】對【例7-6】中的增廣的系統模型，分別 設計2022/7/2143控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第43頁，共95頁。繪制在控制器作用下系統的開環 Bode 圖和閉環階躍響應曲線2022/7/2144控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第44頁，共95頁。【例7-9】設計最優 控制器，并繪制出該控制器作用下的階躍響應曲線和開環

14、系統的奇異值曲線。并設置加權矩陣2022/7/2145控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第45頁，共95頁。2022/7/2146控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第46頁，共95頁。【例7-10】帶有雙積分器的非最小相位受控對象，選擇加權函數并選擇極點漂移為設計系統的最優 控制器。2022/7/2147控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第47頁，共95頁。2022/7/2148控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第48頁，共95頁。7.3.2 基于線性矩陣不等式 工具箱的設計方法 問題轉換成

15、線性矩陣不等式的最優化問題2022/7/2149控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第49頁，共95頁。【例7-11】采用【例7-6】中增廣的系統模型，用 LMI 工具箱的相關函數設計最優 控制器2022/7/2150控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第50頁，共95頁。7.3.3 基于 分析與綜合工具箱 的 控制器設計【例7-12】采用【例7-6】中增廣的系統模型，用 分析與綜合工具箱的相關函數設計最優 控制器2022/7/2151控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第51頁，共95頁。2022/7/2152控制系統計

16、算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第52頁，共95頁。7.3.4 基于回路成型技術的 魯棒控制器設計假設前向回路的數學模型為 ，由典型反饋系統有 ，則系統的靈敏度控制傳遞函數 ，靈敏度函數2022/7/2153控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第53頁，共95頁。加權和數與回路成型示意圖2022/7/2154控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第54頁，共95頁。2022/7/2155控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第55頁，共95頁。7.4 新魯棒控制工具箱及應用7.4.1 不確定系統的描述2022

17、/7/2156控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第56頁，共95頁。【例7-13】典型二階開環傳函選定標稱值為構造不確定系統模型。2022/7/2157控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第57頁，共95頁。對疊加型不確定性對乘積型的不確定性2022/7/2158控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第58頁，共95頁。7.4.2 靈敏度問題的魯棒控制器設計一般情況下，受控對象 G 的 D 矩陣為非滿秩矩陣時，不能得出精確的成型控制器，這時回路奇異值的上下限滿足式子當 時，控制器作用下實際回路奇異值介于 之間。2022/7

18、/2159控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第59頁，共95頁。【例7-14】2022/7/2160控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第60頁，共95頁。2022/7/2161控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第61頁，共95頁。繪制在此控制器下的回路奇異值及閉環系統的階躍響應曲線2022/7/2162控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第62頁，共95頁。7.4.3 混合靈敏度問題的魯棒 控制器設計2022/7/2163控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第63頁，共

19、95頁。【例7-15】2022/7/2164控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第64頁，共95頁。2022/7/2165控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第65頁，共95頁。假設系統的不確定部分為乘積型的，且已知 ，并已知不確定參數的變化范圍為,設計固定的 控制器2022/7/2166控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第66頁，共95頁。7.5 分數階控制系統分析與設計7.5.1 分數階微積分學與數值計算 分數階微積分的定義2022/7/2167控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第67頁，共

20、95頁。當系數簡單表示2022/7/2168控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第68頁，共95頁。編寫求取給定函數的分數階微分函數2022/7/2169控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第69頁，共95頁。 Riemann-Liouville 定義為目前最常用的分數階微積分定義2022/7/2170控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第70頁，共95頁。Caputo 分數階微分定義為Caputo 分數階積分定義為2022/7/2171控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第71頁，共95頁。 分數

21、階微積分的性質 解析函數 的分數階導數 對 都是解析的。 為整數時，分數階微分與整數階微分的 值完全一致，且 。 分數階微積分算子為線性的，即對任意常數 ， 有2022/7/2172控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第72頁，共95頁。 分數階微積分算子滿足交換律，并滿足疊加關系 函數分數階微分的 Laplace 變換為特別地，若函數 及其各階導數的初值均為 0，則2022/7/2173控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第73頁，共95頁。7.5.2 分數階線性系統頻域 與時域分析單變量線性系統的分數階傳遞函數一般形式為2022/7/2174

22、控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第74頁，共95頁。 分數階系統的頻域分析2022/7/2175控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第75頁，共95頁。 分數階系統的時域分析2022/7/2176控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第76頁，共95頁。7.5.3 分數階微分的濾波器近似及應用分數階微分的濾波器近似Oustaloup 算法濾波器零極點和增益為假設選定的擬合頻率段為 ，則可以構造出連續濾波器的傳遞函數模型為2022/7/2177控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第77頁，共95頁。

23、編寫設計連續濾波器的函數。2022/7/2178控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第78頁，共95頁。【例7-16】2022/7/2179控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第79頁，共95頁。2022/7/2180控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第80頁，共95頁。 非線性分數階系統的 Simulink 仿真2022/7/2181控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第81頁，共95頁。2022/7/2182控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第82頁，共95頁。【例7

24、-17】用近似方法求解分數階非線性微分方程2022/7/2183控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第83頁，共95頁。7.5.4 分數階系統的模型降階技術2022/7/2184控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第84頁，共95頁。【例7-18】利用最優降階函數opt_app( )對其進行降階處理，并繪制出高階近似與最優降階近似模型的階躍響應曲線。2022/7/2185控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第85頁，共95頁。7.5.5 分數階系統的控制器設計分數階 PID 控制器的數學模型為2022/7/2186控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第86頁，共95頁。【例7-19】根據 Wang-Juang-Chan 算法設計最優 ITAE 準則的PID 控制器2022/7/2187控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第87頁，共95頁。2022/7/2188控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東北大學信息學院第88頁，共95頁。【例7-20】 已知分數階受控對象為 ， 其中分數階次變化范圍為 ，且標稱 ，選擇濾波器近似的值 ,選擇加權函 數 ,設計最優 控制器2022/7/2189控制系統計算機輔助設計MATLAB語言與應用東