1、 單元模型構造 常用單元模型構造局部坐標系法采用局部坐標系法求單元的形函數一般需要如下過程：1）在單元上假設一種局部坐標系，確定局部坐標系的度量，并在單元節點上標出局部坐標值；2）根據插值多項式選擇條件假設形函數多項式；3）利用單元形函數的特性（正交性）求單元的形函數。 單元局部坐標系是一種與單元形狀相關的無因次坐標，也叫自然坐標系。 單元模型構造 1）一維單元 長度坐標 如圖所示為在一維單元上假設的一種自然坐標系。ox為一維整體坐標系，x1和x2是單元節點1和節點2在整體坐標系下的坐標值，l是單元長度。單元上任意一點P到1節點的距離是 l2，到2節點的距離是l1，假設單元的自然坐標為L1和L

2、2。 oxx1x21(1,0)2(0,1)xP(L1,L2)ll1l2 單元模型構造 定義一維單元的自然坐標L1和L2分別為 自然坐標L1和L2是用單元長度l、l1和l2定義的，因此它們也叫長度坐標。 單元模型構造 長度L1和L2不是相互獨立的，它們存在如下關系 比較上式和L1、L2的表達式很容易發現，一維2節點線單元的形函數可以表示為 由于 單元模型構造 單元內任意一點P的坐標x可以用x1和x2表示為 結合上式和式或 可得自然坐標系與整體坐標系之間的變換關系 單元模型構造 一維二次單元 建立長度坐標系的目的是為了求一維高階單元的形函數。下面利用長度求一維3節點單元的形函數。如圖所示，一維3節

3、點單元，節點3位于1、2節點的中間，圖中己經標出了每個節點的長度坐標。 ox12(0.5,0.5)3(1,0)(0,1) 單元模型構造 根據插值多項式與形函數之間的線性組合關系，一維3節點單元的形函數多項式可以假設為 根據Ni的正交性，N1在1節點處的值等于1，在2、3節點處的值等于0，即 單元模型構造 由這3個條件得到方程組 單元模型構造 于是可以得到形函數 N1同理可得 這樣，就得到了一維3節點單元的形函數。計算過程表明，采用長度坐標系求2次單元形函數比整體坐標系法要簡單得多，而且采用這種方法還可以求更高階單元的形函數。 單元模型構造 由于長度坐標Li本身就含有常數項和一次項，因此式 完全

4、滿足插值多項式選擇條件要求。又由于長度坐標L1和L2不是相互獨立的，形函數多項式的假設就會出現多種形式，只要它們滿足插值多項式選擇條件要求即可。例如 等形式都可以。實際計算過程中要考慮求解的繁易程度。 單元模型構造 一維三次單元 如圖所示，一維4節點單元，各節點長度坐標如圖所示。 一維4節點單元的形函數形式假設為 ox12(2/3,1/3)3(1,0)(0,1)4(1/3,2/3) 單元模型構造 根據形函數Ni的正交性，可分別求得單元的形函數 單元模型構造 正規自然坐標 實際上對于一維單元來說，求單元的形函數時，最常用的是采用正規自然坐標。正規自然坐標系是一種正規化的曲線坐標系，如圖所示。坐標

5、系原點位于單元形心P點處，坐標軸r與單元重合并指向2節點，坐標系的度量假設為P點為0，2節點為1，1節點為-1。ox120P-11r 單元模型構造 一維2節點單元 根據插值多項式與形函數之間的線性組合，一維2節點單元的形函數多項式可以假設為 根據Ni的正交性，N1在1節點處的值等于1，在2節點處的值等于0，即 單元模型構造 結合上兩式，可得代入到形函數的表達式，可得同理可得 單元模型構造 一維3節點單元 如圖所示，一維3節點單元及其正規自然坐標系，上面已經標出了每個節點正規自然坐標值。 一維3節點單元的形函數Ni的形式假設為 ox1203-11r 單元模型構造 采用這種方法同樣可求更高階單元的

6、形函數。 根據Ni的正交性可求得單元的形函數分別為 單元模型構造 2）二維單元 面積坐標 如圖所示，在二維三角形單元上采用單元面積建立了一種自然坐標系，也叫面積坐標系。oxy為二維整體坐標系，(xi, yi)為節點i的整體坐標系的坐標值，單元內任意一點P將三角形單元分為3部分，面積分別為A1、A2、A3，假設三角形單元的面積坐標分別為L1、L2和L3。 xyo123(x1,y1)(1,0,0)(x2,y2)(0,1,0)(x3,y3)(0,0,1)PA1A2A3(x,y)(L1,L2,L3) 單元模型構造 定義面積坐標L1、L2和L3分別為 式中，A為三角形單元面積。 面積坐標L1、L2和L3

7、之間不是相互獨立的，它們存在如下關系 單元模型構造 面積坐標系與整體坐標系之間的轉換關系為 或者 式 經過驗證，面積坐標L1、L2和L3恰好是二維3節點三角形單元的形函數，即 單元模型構造 二維6節點三角形單元 采用整體坐標系方法很難求得二維6節點三角形單元的形函數。定義了面積坐標后，這個問題就變得很容易了。如圖所示為二維6節點三角形單元，圖中已經標出了每個節點的面積坐標。 xyo123(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)(0.5,0,0.5) 65(0,0.5,0.5)4 (0.5,0.5,0) 單元模型構造 二維6節點三角形單元的形函數多項式可以假設為 根據Ni的正交性，N1在1節點

8、處的值等于1，在其他節點處的值等于0，即 單元模型構造 可求得二維6節點三角形單元的形函數分別為 單元模型構造 二維10節點三角形單元 如圖所示為二維10節點三角形單元，圖中已經標出了每個節點的面積坐標。 xyo12(1,0,0)(0,1,0)3 (0,0,1)(2/3,0,1/3) 96 (0,2/3,1/3)4 (2/3,1/3,0)5 (1/3,2/3,0)7 (0,1/3,2/3)(1/3,0,2/3) 8(1/3,1/3,1/3)10 單元模型構造 二維10節點單元的形函數多項式可以假設為 根據Ni的正交性，可求得二維10節點三角形單元的形函數為 單元模型構造 二維4節點四邊形單元面

9、積坐標是針對三角形單元假設的，它不適合四邊形單元。四邊形單元一般采用正規自然坐標系，類似于一維單元的正規自然坐標系。如圖所示，取任意四邊形的對邊中點連線，分別作為r軸和s軸，兩軸的交點P作為坐標系的原點。坐標系度量定義為：原點P點的坐標是(0,0)，四邊形兩對對邊分別取 和 ，這樣就建立了四邊形單元的一種正規自然坐標系。四邊形的4個節點的自然坐標依次為 (1,1)、(-1,1)、(-1,-1)、(1,-1)。 oxy1 (1,1)2 (-1,1)3 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs 單元模型構造 二維4節點四邊形單元的形函數多項式假設為 根據Ni的正交性，可以求得4節點四邊形單

10、元的形函數分別為 單元模型構造 二維8節點四邊形單元 如圖所示為二維8節點四邊形單元，正規自然坐標系的建立與4節點單元類似。由于單元的四個邊可以是曲線，所以正規自然坐標系是一個曲線坐標系。單元節點的自然坐標已經在圖中標出。 oxy1 (1,1)2 (-1,1)3 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs5 (0,1)6 (-1,0)7 (0,-1)8 (1,0)二維8節點四邊形單元的形函數多項式假設為 根據Ni的正交性，可以求得8節點四邊形單元的形函數分別為 單元模型構造 單元模型構造 二維12節點四邊形單元 如圖所示為二維12節點四邊形單元，正規自然坐標系的建立與8節點單元相同。單元

11、節點的自然坐標已經在圖中標出。 oxy1 (1,1)(-1,1) 23 (-1,-1)4 (1,-1)P (0,0)rs5 (1/3,1)8 (-1,-1/3)9 (-1/3,-1)(-1/3,1) 67 (-1,1/3)10 (1/3,-1)11 (1,-1/3)12 (1,1/3) 單元模型構造 二維12節點四邊形單元的形函數多項式假設為 根據Ni的正交性，可以求得12節點四邊形單元的形函數分別為 單元模型構造 3）三維單元 體積坐標 如圖所示，三維四面體單元內任意一點P，則點243P圍成的體積為V1，點134P圍成的體積為V2，點142P圍成的體積為V3，點123P圍成的體積為V4。 1

12、(x1,y1,z1)(1,0,0,0)2 (x2,y2,z2) (0,1,0,0)3 (x3,y3,z3) (0,0,1,0)4 (x4,y4,z4) (0,0,0,1)P (x,y,z) (L1,L2,L3,L4)oxyz 單元模型構造 定義單元的體積坐標L1、L2、L3和L4分別為 式中，V為四面體單元的體積。 體積坐標L1、L2、L3和L4之間不是相互獨立的，它們存在如下關系 經過驗證，體積坐標L1、L2、L3和L4恰好是三維4節點四面體單元的形函數，即 面積坐標系與整體坐標系之間的轉換關系為 單元模型構造 或 單元模型構造 式中，ai、bi、ci、di (i=1, 2, 3, 4)按下

13、式計算。 單元模型構造 循環輪換腳標1、2、3、4，相應可以得到a2，b2 ， c2 ， d2 ， a3 ， b3 ， c3 ， d3 ， a4 ， b4 ， c4 ， d4 單元模型構造 三維10節點四面體單元 定義了體積坐標后，可以利用它求四面體高階單元的形函數。如圖所示為三維10節點四面體單元，圖中標出了每個節點的體積坐標。 (1,0,0,0) 12 (0,1,0,0)3 (0,0,1,0)4 (0,0,0,1)oxyz(0.5,0.5,0,0) 56 (0,0.5,0.5,0)7 (0.5,0,0.5,0)(0.5,0,0,0.5) 89 (0,0.5,0,0.5)10 (0,0,0.

14、5,0.5)利用Ni的正交性，可以求得10節點四面體單元的形函數分別為 三維10節點四面體單元的形函數多項式假設為 單元模型構造 三維8節點六面體單元 求三維8節點六面體單元的形函數要采用正規自然坐標系。如圖所示，每個面的對邊中點連線得到6個交叉點，取相對面的交叉點連線分別作為r軸、s軸和t軸，三個軸的交叉點P作為坐標系的原點。坐標系度量定義為：原點P點的坐標是(0,0,0)，六面體的3個對面分別取 、 和 ，這樣就建立了六面體單元的一種正規自然坐標系。圖中已經標出每個節點的自然坐標值。 oxyz1 (1,1,1)2 (-1,1,1)(-1,-1,1) 3P(1,-1,1) 45 (1,1,-1)6 (-1,1,-1)(-1,-1,-1) 78 (1,-1,-1)rst 單元模型構造 三維8節點六面體單元的形函數多項式假設為 根據Ni的正交性，可以求得8節點六面體單元的形函數分