1、高三數學第一輪復習專題：直線方程及其位置關系第一部分 直線的傾斜角和斜率一、直線的傾斜角和斜率： 過平面直角坐標系的一點有無數條直線，它們的傾斜程度不同，我們用傾斜角表示直線的傾斜程度。1.直線的傾斜角：當與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸的正方向與向上的方向之間所成的角叫做的傾斜角。 故傾斜角范圍：2.直線的斜率：斜率定義：傾斜角不為的直線，把傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率。即。 傾斜角為的直線，其斜率不存在。任何一條直線都有傾斜角，但不一定都有斜率。斜率的變化規律：當傾斜角增大時，斜率如何變化？是與的分界線。在與這兩段區間，斜率都隨傾斜角的增大而增大。直線傾斜規律：斜率的絕對值越大，

2、直線越陡； 斜率的絕對值越小，直線越平緩。二、兩點法求斜率：注意：斜率公式與兩點順序無關；常用的是用斜率求傾斜角，而不是用傾斜角求斜率。例1。已知A（-2，3），B（3，2），P（0，-2），過點P的與線段AB有公共點，求的斜率的變化范圍。分析：從PB開始繞點P作逆時針旋轉，與線段AB相交，從增大到，再從增大到，故。例2。過P（-1，2）的與線段AB相交，若A（-2，-3），B（3，0），求的斜率的變化范圍。例3。已知三點A（a，2），B（5，1），C（-4，2a）在同一直線上，求a的值。第二部分 直線的方程一、點斜式方程：（最常用）經過點，且斜率為。設是上不同于的任一點，則。即點斜式方程為：

3、注意：點斜式方程不能用來表示斜率不存在的直線。（缺陷）表示斜率不存在的直線，用。例。寫出點斜式方程：二、斜截式方程： 若的斜率為，與y軸的交點為（0，b），則即斜截式方程為：。注意：截距不是距離，它可為正值，可為負值，可為0值。注意：斜截式方程不能用來表示斜率不存在的直線，因斜截式方程來源于點斜式方程。（缺陷）xyO-24畫直線圖形方法：先找出直線與軸、軸交點坐標。例。畫出圖象。令 令故描出兩點，連出一條直線即可。三、兩點式方程：已知兩點，在上。，即注意：不能用來表示斜率不存在或斜率為0的直線。已知直線上兩點，寫方程時通常用點斜式，而不用兩點式。四、截距式方程：與軸交點為，與軸交點為。 注意：

4、截距式方程不能用來表示斜率不存在或斜率為0或過原點的直線，因此，一般不用截距式，而用點斜式方程。例。求過點且在兩軸上截距相等的直線方程。解：設所求直線方程為：。令；令。由題意得： 所求直線方程為：。注意：兩點式方程與截距式方程一般不用。五、一般式方程：（最終形式） 以上的四類方程本質上都是點斜式方程，而點斜式方程有一個最大的缺陷：不能用來表示斜率不存在的直線。 有沒有一個方程能用來表示所有的直線呢？這就是一般式方程。二元一次方程：叫做直線的一般式方程。當時，可化為：，此為直線的斜截式方程； （斜率存在）當時，因不能同時為0，則，方程可化為：，它表示一條垂直于x軸的直線。 （斜率不存在）故二元一

5、次方程表示一條直線。規律：對于直線來說，區分斜率是否存在最為關鍵。 對一般式方程的研究：首先看，決定斜率是否存在；。其次看，決定斜率是否為0；。最后看，決定直線是否過原點；。注意： 記好A、B不能同時為0；記好；直線方程最后都要統一寫成一般式方程。 寫成一般式方程的要求： （1）一般式方程中不能有分母；（2）x在前，y在后，x系數為正；（3）右邊等于0。例1。寫出點斜式方程，并化成一般式方程：解：（2）點斜式方程為：，即，故一般式方程為：。例2。直線，若此直線斜率不存在，求值。解：由題意得： 。例3。直線方程的系數滿足什么條件時，這條直線有以下性質？（1）與兩坐標軸都相交；（2）只與軸相交；（

6、3）只與軸相交；（4）是軸所在直線；（5）是軸所在直線。第三部分 兩條直線的位置關系一、兩直線平行：1.斜截式方程：設，若，則與的傾斜角與相等，且、在上截距不相等。即 ，也即。 故當直線、斜率均不存在，即，則2.一般式方程： 當時，則、斜率均存在。 當時，、斜率都不存在 例 綜合，（記法） （用法）注意：與平行的直線可設為： 例1。求過點A（1，-4）且與直線平行的直線的方程。解：（一）用一般式。設所求直線方程為：將A（1，-4）代入得： 故所求直線方程為：。（二）用點斜式。所求直線方程為：，即，故所求直線方程為：。評論：用點斜式還需要轉化為一般式，容易算錯，不如直接設成一般式。例2。，平行，

7、求值。解：由可得： 。例3。若下列各組中兩方程表示的直線平行，求值。（1）（2）二、兩直線垂直：1.直線、斜率均存在，設為，2.一般式方程： 當時，則、斜率均存在，。當有一個為0時，不訪設，則斜率不存在， 綜合，例1。求過點A（2，1）且與直線垂直的的方程。解：設所求直線方程為：，即，故所求直線方程為：。例2。當為何值時，、互相垂直？解： ，。例3。、，求值，使得：；。例4。若下列兩方程表示的直線垂直，求值。（1）（2）（3）三、兩條直線的交點坐標：若二元一次方程組有唯一解，則兩直線相交，該解為交點坐標；若方程組無解，則兩直線平行；若方程組有無窮多解，則兩直線重合。因此可用方程組解的情況判斷兩

8、直線位置關系。例1。判斷下列各對直線的位置關系：（1）（2）（3）（4）專題：直線系方程一、平行直線系：（斜率固定）例1. 。斜率為2的平行直線系。例2. 。斜率為的平行直線系。二、過定點的直線系：（斜率不固定）例1. 。過定點的直線系。令，即令參數乘以0，得例2. 。過定點的直線系。令，即令參數乘以0，得例3. 。過定點的直線系。令，即令參數乘以0，得例4. 原式可化為：，即把項單獨提出來。令且，解得：，此為過定點的直線系方程。例5.過兩直線交點的直線系方程可設為：。四、距離問題：1.兩點間的距離： 2.點到直線的距離：點到的距離：3.兩條平行直線間的距離： 若，與間距離為：注意：用此公式求

9、兩平行直線間的距離時，要保證系數對應相等。例1。求兩點間的距離：（1）A（6，0），B（-2，0）（2）A（0，-4），B（0，-1）（3）P（6，0），Q（0，-2）（4）M（2，1），N（5，-1）例2。求點到直線的距離：（1）O（0，0），（2）O（0，0），（3）A（-2，3），（4）B（1，0），（5）C（1，-2），例3。求兩平行線間的距離：（1）（2）（3）（4）（5）例4。求與平行，且與它的距離為的直線的方程。例5。已知兩條平行直線，求與它們等距離的平行線的方程。五、對稱問題：1.中心對稱：點關于點對稱：點關于點的對稱點為：直線關于點對稱：直線關于點對稱的直線為：例1。求關于點對稱的直線的方程。解：設為上任一點，則關于對稱點在上