1、第8章 重 積 分 一元函數 積 分 學（定積分）多元函數積分學重積分曲線積分曲面積分8. 1 二重積分的概念與性質8. 2 二 重 積 分 的 計 算8. 3 三 重 積 分 8. 4 重 積 分 的 應 用8 . 1 二重積分的定義與性質8 .1 .1 問 題 的 提 出 8 .1 .2 二 重 積 分 的 定 義 與 可 積 性 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第8章 8 .1 .3 二 重 積 分 的 性 質 8 .1 .4 曲 頂 柱 體 體 積 的 計 算 解法:8. 1. 1 問 題 的 提 出1.曲頂柱體的體積 給定一柱體:底： xoy 面上的閉區域頂: 連續曲面側面：以

2、D 的邊界為準線 ，“大化小，機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若柱體的頂部為平頂，求其體積 。 即 則其體積為：且區域 D 的面積為，母線平行于 軸的柱面；當柱體的頂部為非平頂(曲面)時，只能類似于定積分處理問題的辦法進行。常代變， 近似和，取極限” 用任意曲線網將區域 D 分割為 n 個小區域 :以它們為底把曲頂柱體分為 n 個小曲頂柱體；2 )“常代變”在每個3 )“近似和”則中任取一點表示小區域機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 的面積，1）“大化小”令機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 定義的直徑為：4 ) “取極限”2. 平面薄片的質量 有一個平面薄片， 在 xoy 平面上占有區

3、域 D ，計算該薄片的質量 M .為：設 D 的面積為 ，則若為非常數，仍可用其面密度函數“大化小， 常代變，近似和，取極限” 解決.1)“大化小”用任意曲線網分 D 為 n 個小區域：相應把薄片也分為小區域 ；機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 若（常數 ），中任取一點3 )“近似和”4 )“取極限”則第 k 個小塊的質量機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在每一小區域表示小區域的面積 ；其中：2）“常代變”令(1) 解決問題的方法與步驟相同：(2) 所求量的結構式相同：“大化小，常代變，近似和，取極限”曲頂柱體體積： 平面薄片的質量： 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 兩個問題的共性：8

4、. 1. 2 二 重 積 分 的 定 義 與 可 積 性定義:任意將區域 D 分割成 n 個小區域作和式，在區域 D 上可積 ，在 區域 D 上的二重積分。是定義在有界閉區域 D上的有界 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 并以 分別表示區域的面積與直徑，設函數則稱函數稱 I 是函數若存在一個常數 I ，1. 二 重 積 分 的 概 念函數，滿足：其中：引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質量:在有界閉區域 D上可積時，二重積分：此時的直線分割區域 D ， 因而面積微元可用平行坐標軸常記作：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 當函數積分域被積函數被積表達式面積微元稱為積分變量2. 二重積分

5、存在的充分條件若函數定理 2.(證明略)定理 1.在區域 D 上可積 。則函數在有界閉區域 D上連續，則函數若有界函數在有界閉區域 D 上 “分塊連續”， 例如, 在區域D :上可積（二重積分收斂）；在 D 上不可積（二重積分發散）。 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 在區域 D 上可積 。而8. 1. 3 二 重 積 分 的 性 質對于任意的常數 、 有：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 性質(被積函數的可加性)：設則性質(積分區域可加性)：特別地，則設函數性質（比較性）：性質（估值性）特別地 ，設函數則有 為區域 D 的面積 ，性質（積分的中值性）：在有界閉區域 D 上連續，則必存在一

6、點使得則 有設函數滿足：若 為區域 D 的面積， 例1. 其中：解:而區域 D 位于該直線的右上方，從而有：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 與直線在點 ( 1 , 0 ) 處相切，比較積分積分域 D 的邊界為圓周：故在區域 D 上有 與積分的大小，例 2. 值的正負。解:則原式 =猜想結果為負 但不好估計舍去此項機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 判斷積分將積分域分為：再將區域細分例 3. 解:由于積分性質即: 1.96 I 2D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 估計下列積分之值：D 的面積為：如 ：圓域性質(區域對稱與函數奇偶性 )D 位于 x 軸上方的部分為D1 ， 當 D 關于 y

7、 軸對稱，若在區域 D 上在閉區域 D 上連續，設函數則則位于第一象限部分記為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則而區域 D 關于 x 軸對稱，函數關于變量 x 有奇偶性時，仍有類似結果。8. 1. 4 曲 頂 柱 體 體 積 的 計 算設曲頂柱體的底為：任取平面故曲頂柱體體積為：截柱體的截面積為：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則其體積可按如下兩次積分計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 同樣，曲頂柱體的底為：例4. 解:利用對稱性， 考慮第一卦限部分，其曲頂柱體的頂為:則所求體積為：機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 求兩個底圓半徑為R 的直交的圓柱面所圍的立體的體積。設兩個直交的

8、圓柱方程分別為:內容小結1. 二重積分的定義2. 二重積分的性質(與定積分性質相似)3. 曲頂柱體體積的計算二次積分法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 被積函數相同, 且非負, 思考與練習解: 由它們的積分域范圍可知1. 比較下列積分值的大小關系:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 2. 設D 是第二象限的一個有界閉域 , 且 0 y 1, 則的大小順序為 ( )提示: 因 0 y 1, 故故在D上有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 3. 計算解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 4. 證明：其中：解:又 D 的面積為 1 , 故結論成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 利用題中 x , y 位置的對稱性，以及區域的獨特性，有備用題1. 估計 的值, 其中 D 為解: 被積函數D 的面積的最大值的最小值機動 目錄 上頁 下頁 返