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文檔簡介
1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,在不超過20的素數(shù)中,隨機(jī)選取兩個不同的數(shù),其和等于
2、20的概率是( )ABCD以上都不對2已知是第二象限的角,則( )ABCD3新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革,深入推動優(yōu)化升級和融合發(fā)展,持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給,實現(xiàn)了行業(yè)的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況,則下列說法錯誤的是( )A2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加B2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍C2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍D2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一4函數(shù)的定義域為( )ABCD5過直線上一點作圓的兩條
3、切線,為切點,當(dāng)直線,關(guān)于直線對稱時,( )ABCD6已知函數(shù).設(shè),若對任意不相等的正數(shù),恒有,則實數(shù)a的取值范圍是( )ABCD7函數(shù)的大致圖象為( )ABCD8已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為( )ABCD9已知向量,(其中為實數(shù)),則“”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件10己知,則( )ABCD11已知復(fù)數(shù),則的虛部為( )ABCD112若的展開式中的常數(shù)項為-12,則實數(shù)的值為( )A-2B-3C2D3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知數(shù)列滿足對任意,若,則數(shù)列的通項公式_14已知函數(shù),令,若,表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),記
4、數(shù)列的前項和為,則_15有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽,其中只有一位獲獎,有人走訪了四位歌手,甲說“是乙或丙獲獎.”乙說:“甲、丙都未獲獎.”丙說:“我獲獎了”.丁說:“是乙獲獎.”四位歌手的話只有兩句是對的,則獲獎的歌手是_16函數(shù)的圖象向右平移個單位后,與函數(shù)的圖象重合,則_三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求實數(shù)的取值范圍;(2)若,對,恒有成立,求實數(shù)的最小值.18(12分)已知橢圓的右頂點為,點在軸上,線段與橢圓的交點在第一象限,過點的直線與橢圓相切,且直線交軸于.設(shè)過點且平行于直線的直線交軸于點.()當(dāng)為線
5、段的中點時,求直線的方程;()記的面積為,的面積為,求的最小值.19(12分)已知,且.(1)求的最小值;(2)證明:.20(12分)已知ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C(1)求cosC的值;(2)若a3,c,求ABC的面積21(12分)已知點,若點滿足.()求點的軌跡方程; ()過點的直線與()中曲線相交于兩點,為坐標(biāo)原點, 求面積的最大值及此時直線的方程.22(10分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系(1)求直線和曲線的極坐標(biāo)方程;(2)
6、已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1A【解析】首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結(jié)果.【詳解】不超過的素數(shù)有,共個,從這個素數(shù)中任選個,有種可能;其中選取的兩個數(shù),其和等于的有,共種情況,故隨機(jī)選出兩個不同的數(shù),其和等于的概率故選:.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎(chǔ)題.2D【解析】利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導(dǎo)公式可得,即,因為,所以,由二倍角
7、的正弦公式可得,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.3C【解析】通過圖表所給數(shù)據(jù),逐個選項驗證.【詳解】根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項A正確;對于選項B:,正確;對于選項C:,故C不正確;對于選項D:,正確.選C.【點睛】本題主要考查柱狀圖是識別和數(shù)據(jù)分析,題目較為簡單.4C【解析】函數(shù)的定義域應(yīng)滿足 故選C.5C【解析】判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱
8、,則必垂直于直線,設(shè),則,,故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角6D【解析】求解的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,對任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域為,當(dāng)時,故在單調(diào)遞減;不妨設(shè),而,知在單調(diào)遞減,從而對任意、,恒有,即,令,則,原不等式等價于在單調(diào)遞減,即,從而,因為,所以實數(shù)a的取值范圍是故選:D.【點睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問題,屬于一般性題目.7A【解析】利用特殊點的坐標(biāo)代
9、入,排除掉C,D;再由判斷A選項正確.【詳解】,排除掉C,D;,.故選:A【點睛】本題考查了由函數(shù)解析式判斷函數(shù)的大致圖象問題,代入特殊點,采用排除法求解是解決這類問題的一種常用方法,屬于中檔題.8A【解析】用排除法,通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像,最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè),由于,排除B選項;由于,所以,排除C選項;由于當(dāng)時,排除D選項.故A選項正確.故選:A【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì),屬于中檔題.9A【解析】結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示,將兩個條件相互推導(dǎo),根據(jù)能否推導(dǎo)的情況判斷出充分、必要條件.【詳解】由,則,所以;而當(dāng),則,解得或.所以“”是“
10、”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本小題考查平面向量的運算,向量垂直,充要條件等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,應(yīng)用意識.10B【解析】先將三個數(shù)通過指數(shù),對數(shù)運算變形,再判斷.【詳解】因為,所以,故選:B.【點睛】本題主要考查指數(shù)、對數(shù)的大小比較,還考查推理論證能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.11C【解析】先將,化簡轉(zhuǎn)化為,再得到下結(jié)論.【詳解】已知復(fù)數(shù),所以,所以的虛部為-1.故選:C【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念及運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12C【解析】先研究的展開式的通項,再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:
11、,解得,故選:C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】由可得,利用等比數(shù)列的通項公式可得,再利用累加法求和與等比數(shù)列的求和公式,即可得出結(jié)論.【詳解】由,得,數(shù)列是等比數(shù)列,首項為2,公比為2,滿足上式,.故答案為:.【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式,遞推公式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列是解題的關(guān)鍵,利用累加法求通項公式,屬于中檔題.144【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算,結(jié)合數(shù)列的通項公式的求法,求得,進(jìn)而得到,再利用放縮法和取整函數(shù)的定義,即可求解.【詳解】由題意,函數(shù),且,可得,又由,可得為常數(shù)列,且,數(shù)列表示首
12、項為4,公差為2的等差數(shù)列,所以,其中數(shù)列滿足,所以,所以,又由,可得數(shù)列的前n項和為,數(shù)列的前n項和為,所以數(shù)列的前項和為,滿足,所以,即,又由表示不超過實數(shù)的最大整數(shù),所以.故答案為:4.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的計算,以及等差數(shù)列的通項公式,累加法求解數(shù)列的通項公式,以及裂項法求數(shù)列的和的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于中檔試題.15丙【解析】若甲獲獎,則甲、乙、丙、丁說的都是錯的,同理可推知乙、丙、丁獲獎的情況,可知獲獎的歌手是丙考點:反證法在推理中的應(yīng)用.16【解析】根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導(dǎo)公式求得滿足的方程,結(jié)合題中的范
13、圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到的函數(shù)解析式為,因為函數(shù),所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:【點睛】本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式;誘導(dǎo)公式的靈活運用是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(1)(2)【解析】(1)求得,根據(jù)已知條件得到在恒成立,由此得到在恒成立,利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.(2)構(gòu)造函數(shù)設(shè),利用求二階導(dǎo)數(shù)的方法,結(jié)合恒成立,求得的取值范圍,由此求得的最小值.【詳解】(1)因為在上單調(diào)遞增,所以在恒成立,即在恒成立,當(dāng)時,上式成立
14、,當(dāng),有,需,而,故綜上,實數(shù)的取值范圍是(2)設(shè),則,令,在單調(diào)遞增,也就是在單調(diào)遞增,所以.當(dāng)即時,不符合;當(dāng)即時,符合當(dāng)即時,根據(jù)零點存在定理,使,有時,在單調(diào)遞減,時,在單調(diào)遞增,成立,故只需即可,有,得,符合綜上得,實數(shù)的最小值為【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.18()直線的方程為()【解析】(1)設(shè)點,利用中點坐標(biāo)公式表示點B,并代入橢圓方程解得,從而求出直線的方程;(2)設(shè)直線的方程為:,表示點,然后聯(lián)立方程,利用相切得出,然后求出切點,再設(shè)出設(shè)直線的方程,求出點
15、,利用兩點坐標(biāo),求出直線的方程,從而求出,最后利用以上已求點的坐標(biāo)表示面積,根據(jù)基本不等式求最值即可.【詳解】解:()由橢圓,可得:由題意:設(shè)點,當(dāng)為的中點時,可得:代入橢圓方程,可得:所以:所以.故直線的方程為.()由題意,直線的斜率存在且不為0,故設(shè)直線的方程為:令,得:,所以:.聯(lián)立:,消,整理得:.因為直線與橢圓相切,所以.即.設(shè),則,所以.又直線直線,所以設(shè)直線的方程為:.令,得,所以:.因為,所以直線的方程為:.令,得,所以:.所以.又因為.所以(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立)所以.【點睛】本小題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查直線方程以及求橢圓中的最值問題,最值問題一般是把目標(biāo)式求出
16、,結(jié)合目標(biāo)式特點選用合適的方法求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng),本題利用了基本不等式求最小值的方法,運算量較大,屬于難題.19(1)(2)證明見解析【解析】(1)利用基本不等式即可求得最小值;(2)關(guān)鍵是配湊系數(shù),進(jìn)而利用基本不等式得證【詳解】(1),當(dāng)且僅當(dāng)“”時取等號,故的最小值為;(2),當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,此時故【點睛】本題主要考查基本不等式的運用,屬于基礎(chǔ)題20(1);(2)或【解析】(1)利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡,根據(jù)余弦定理求解余弦值;(2)根據(jù)余弦定理求出b1或b3,結(jié)合面積公式求解.【詳解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定
17、理化簡得:3a2+3b23c24ab,即a2+b2c2ab,cosC;(2)把a(bǔ)3,c,代入3a2+3b23c24ab得:b1或b3,cosC,C為三角形內(nèi)角,sinC,SABCabsinC3bb,則ABC的面積為或【點睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形,關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進(jìn)行邊角互化,利用余弦定理求解邊長,根據(jù)面積公式求解面積.21();()面積的最大值為,此時直線的方程為.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義求解軌跡方程;(2)設(shè)出直線方程后,采用(表示原點到直線的距離)表示面積,最后利用基本不等式求解最值.【詳解】解:()由定義法可得,點的軌跡為橢圓且,. 因此橢圓的方程為. ()設(shè)直線的方程為與橢圓交于點, ,聯(lián)立直線與橢圓的方程消去可得,即,. 面積可表示為令,則,上式可化為,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,因此面積的最大值為,此時直線的方程為.【點睛】常見的利用定義法求解曲線的軌跡方程問題:(1)已知點,若點滿足且,則的軌跡
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