1、作業16公式主講：梁勇知識點1. 函數的(Taylor)公式：f ( x )( n)f ( x ) f f ( x) x ) ( x x)n00002! f( n1) ( )n1( x x0 ) n 1!o( x x )n 0 f( n1) ( )n1( x x0 )( k ) ( xnf) n 1!k 0( x x)k0k !0o( x x )n 0)n 展開的帶 Lagrange余項的 n 階f(Taylor)公式Peano余項0知識點2. 函數的麥林(Maclaurin)公式： f( n1) ( )n1x( n)f n 1!f ( x) f (0) f (0)no( xn ) f( n1

2、) ( )n1x( k ) (0)nf k 0 x n 1!kk !o( xn )f ( x)的按冪xn展開的帶 Lagrange余項的 n 階林(Maclaurin)公式Peano余項知識點3. 常用函數的麥克(Maclaurin)公式：e 1 2n11 (2n 1)!sin x x o( x2n );3!5! x2n(2n)!2n1cos 1 o( x n);2!4!xnln(1 x) x o( x );n23nL ( 1)L( n 1) xn(1 o( xn ).x2n!知識點4. 幾種題型（1）將函數展開成帶指定余項的公式或林公式；（2）公式應用通過求極限證明等式或不等式近似計算公式，

3、應用高階導數函數：1. 寫出 f ( x) arctan x 的帶有型余項的四階公式.2xf ( x) ,解.1 x2 )2x36f( x) ,(1 x2 )41)2f (x0 x003! (1 4 )02 arctan)3x0(40 ) ).2. 寫出 f ( x) xe x 的帶有日型余項的 n 階林公式.f ( x) (1 x)e x , f ( x) (2 x)e x , LL,f (n) ( x) (n x)ex , f (n1) ( x) (n 1 x)e x ,解.f (0) 2, L,f (n1) ( ) (n 1 )e ,f (n) (0) n,( n1)( n)xn1f (

4、 x) f (0) 1!n1 .n3. 寫出 f (0 =1 處的帶有型余項的 n 階公式.(1)n1(n 1)!f ( x) 解.,xnf (1) 1, L, f (1) 2!,f (n) (1) (1)n1(n 1)!,( n)ff ( x) f (1) 1) o( x 1) )nn1! (1)n1 1) L( x 1) o( x 1) ).3nn3n4. 利用公式求下列極限：(1) lim cosx ;x2x0cos x 1 1 x22cos 1 x2 o( x2 ), 2o(解.1212o( o( x2 )22 x 1 x2 o( x2 ),2 1 x2 o( x2 )原極限 lim

5、2 = 1 .x22x04. 利用公式求下列極限：x4x2cos x e2(2) lim 12 .x6x01 o( x7 ),解.6cos112x2 1 (23o( x )6e)22 121 o( x6 )64 277o( x )66cosx360 o( x6 )x67原極限 lim 360 =.x6360 x05. 證明：若函數在點 a 有二階導數，則f (a h) f (a h) 2 f (a) f (a).limh2h0證. 將 f ( x) 在 a 處展開成林公式，f ( x) f (a) f (a)( x a) 1 f (a)( x a)22將 x a h, x a h 分別代入上式

6、得， o( x a)2 ),f (a h) f (a) f (a)h 12f (a h) f (a) f (a)h 12f (a)h2 o(h2 ),f (a)h2 o(h2 ),f (a h) f (a h) 2 f (a)f (a)h2 o(h2 ) lim f (a).= lim2h2hh0h0注.此題還可用法則和導數定義加以證明（自己完成）.f ( 1 ) 0,26. 若 f ( x) 在0, 1 上具有三階連續導數，且求證： (0，1), 使得 f ( ) 24.將 f ( x) 在 x 1 處展開，得2證.f ( )11112!1112f ( x) f () f ()( x ) f ()( x ) 2( x 3) ，222223!將 x 0 和 x 1