1、編號： 本科畢業(yè)設(shè)計（論文）題目：（中文）初中“希望杯”代數(shù)試題的研究 （英文） a Study of junior high school “hope cup” algebra examination學(xué) 院 理學(xué)院 專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班 級 10數(shù)基 學(xué) 號 106160031 姓名 孫文杰 指導(dǎo)教師 程龍海 完成日期 2014年4月15日 誠 信 承 諾我謹(jǐn)在此承諾：本人所寫的畢業(yè)論文初中“希望杯”代數(shù)試題的研究均系本人獨立完成，沒有抄襲行為，凡涉及其他作者的觀點和材料，均作了注釋，若有不實，后果由本人承擔(dān)。 承諾人（簽名）： 年 月 日目錄 TOC o 1-3 h u HYPERL

2、INK l _Toc385798814 摘 要 PAGEREF _Toc385798814 h 1 HYPERLINK l _Toc385798815 1.引言 PAGEREF _Toc385798815 h 1 HYPERLINK l _Toc385798816 1.1 問題的提出 PAGEREF _Toc385798816 h 1 HYPERLINK l _Toc385798817 1.2研究目的 PAGEREF _Toc385798817 h 2 HYPERLINK l _Toc385798818 1.3研究內(nèi)容 PAGEREF _Toc385798818 h 2 HYPERLINK l

3、 _Toc385798819 1.4 研究方法 PAGEREF _Toc385798819 h 2 HYPERLINK l _Toc385798820 2.希望杯1試代數(shù)試題研究 PAGEREF _Toc385798820 h 3 HYPERLINK l _Toc385798821 2.1 數(shù)與式問題的分類 PAGEREF _Toc385798821 h 3 HYPERLINK l _Toc385798822 數(shù)的運算 PAGEREF _Toc385798822 h 3 HYPERLINK l _Toc385798823 2.1.2. 式的運算 PAGEREF _Toc385798823 h

4、5 HYPERLINK l _Toc385798824 2.2 最值問題的分類 PAGEREF _Toc385798824 h 8 HYPERLINK l _Toc385798825 離散型最值問題 PAGEREF _Toc385798825 h 8 HYPERLINK l _Toc385798826 連續(xù)型最值問題 PAGEREF _Toc385798826 h 10 HYPERLINK l _Toc385798827 2.3 方程問題的分類 PAGEREF _Toc385798827 h 11 HYPERLINK l _Toc385798828 2.3.1 方程的求解 PAGEREF _T

5、oc385798828 h 11 HYPERLINK l _Toc385798829 方程的判別 PAGEREF _Toc385798829 h 13 HYPERLINK l _Toc385798830 方程的應(yīng)用 PAGEREF _Toc385798830 h 14 HYPERLINK l _Toc385798831 3.希望杯2試代數(shù)試題研究 PAGEREF _Toc385798831 h 17 HYPERLINK l _Toc385798832 3.1數(shù)與式問題的分類 PAGEREF _Toc385798832 h 17 HYPERLINK l _Toc385798833 數(shù)的運算 PA

6、GEREF _Toc385798833 h 17 HYPERLINK l _Toc385798834 式的運算 PAGEREF _Toc385798834 h 17 HYPERLINK l _Toc385798835 數(shù)與式的證明 PAGEREF _Toc385798835 h 20 HYPERLINK l _Toc385798836 3.2 方程問題的分類 PAGEREF _Toc385798836 h 21 HYPERLINK l _Toc385798837 3.2.1 方程的求解 PAGEREF _Toc385798837 h 21 HYPERLINK l _Toc385798838 3

7、.2方程的應(yīng)用 PAGEREF _Toc385798838 h 22 HYPERLINK l _Toc385798839 4.小結(jié) PAGEREF _Toc385798839 h 24 HYPERLINK l _Toc385798840 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc385798840 h 26 HYPERLINK l _Toc385798841 致謝 PAGEREF _Toc385798841 h 27初中“希望杯”代數(shù)試題的研究摘 要 【摘要】 希望杯是中小學(xué)數(shù)學(xué)重要賽事之一。它對擴寬學(xué)生視野，啟發(fā)學(xué)生注意數(shù)學(xué)與其它課程的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維能力、創(chuàng)新能力和實踐能力有重要的意義，本

8、文以文獻(xiàn)法對近幾年初一和初二的希望杯代數(shù)試題進(jìn)行系統(tǒng)的分類，整理歸納；并在此基礎(chǔ)上對少量試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U展與推廣，以加深對希望杯的理解與認(rèn)識。【關(guān)鍵詞】希望杯；代數(shù)；初中A study of junior high school “hope cup” algebra examinationAbstract 【ABSTRACT】Hope Cup is one of the important events of primary and secondary mathematics. It broaden students horizons, inspire students to link mat

9、hematics and other courses. It improve students scientific thinking, innovation ability and practical ability, this paper through the method of searching literature on the grade seven and grade eight of the Hope Cup algebraic questions in recent years give a systematic classification, finishing indu

10、ction; and on this basis, proper expansion and promotion some question, in order to deepen the understanding and awareness of Hope Cup. 【KEYWORDS】hope cup; junior high school；algebra1.引言1.1 問題的提出“希望杯”邀請賽自1990年問世以來，已經(jīng)連續(xù)舉行了二十五屆，廣受中小學(xué)生歡迎。它的參賽年級涉及小學(xué)四年級到六年級。初中和高一和高二。其宗旨是：鼓勵和引導(dǎo)中小學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)課程中最主要的內(nèi)容，適當(dāng)?shù)赝貙捴R面；

11、啟發(fā)他們注意數(shù)學(xué)與其它課程的聯(lián)系和數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用；激勵他們?nèi)ャ@研和探究； 培養(yǎng)他們科學(xué)的思維能力、創(chuàng)新能力和實踐能力。其命題原則是：試題內(nèi)容不超出現(xiàn)行數(shù)學(xué)教學(xué)大綱，不超出教學(xué)進(jìn)度，貼近現(xiàn)行的數(shù)學(xué)課本，源于課本，高于課本。 題目活而不難，巧而不偏；既大眾化又富于思考性和啟發(fā)性。將知識、能力的考察和思維能力的培養(yǎng)結(jié)合起來。不僅如此，希望杯的試題有著廣泛的影響力。其中每年的中考試題中都有不少直接選自賽題或與賽題類似的試題, 在白軍強的“希望杯”中考數(shù)學(xué)的前兆一文中，結(jié)合實際的中考題和希望杯試題的出入，分析了一些把握整體思想的題目和表格題等重要類型的題目在中考和希望杯中的相似性從而講述希望杯在初中

12、數(shù)學(xué)的借鑒意義。不僅僅是中考題。在丁柯丹，胡奕偉的中學(xué)數(shù)學(xué)競賽中的初等數(shù)論問題以希望杯初中數(shù)學(xué)競賽試題為例一文，就是以希望杯中的16-22屆試題中出現(xiàn)數(shù)論內(nèi)容的比例和具體實例的分析作為引證去述說。另一方面，代數(shù)是初中數(shù)學(xué)一個重要組成部分。在全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗稿)和義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)中，“數(shù)與代數(shù)”都是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容四個重要領(lǐng)域之一。所以在中考當(dāng)中及整個中學(xué)的學(xué)習(xí)當(dāng)中，對代數(shù)這一塊的把握是至關(guān)重要而且作用是持續(xù)不斷的。在景敏，彭坤等人發(fā)表的2012年中考數(shù)學(xué)試題分類解析數(shù)與代數(shù)一文中，表述了數(shù)與代數(shù)的重要數(shù)學(xué)價值：能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，培養(yǎng)

13、數(shù)感、符號意識、運算能力、推理能力、模型思想的能力。 其次，從希望杯本身的命題來看。我們研究了從2010年到2014年的希望杯試題。有初試和復(fù)試（即1試和2試）。可以看到一個數(shù)據(jù)：初一的“希望杯”競賽，1試中代數(shù)試題（涉及到代數(shù)運算的運算）的比例最低大概在2/3左右。也就是說。25道的競賽題（除了24,25屆有附加題），最多關(guān)于幾何的就8道左右。而且最后一道大題，除了23屆是幾何的，其余都是代數(shù)的。觀察2試的試題（從21屆到24屆），發(fā)現(xiàn)比例會有所下降。但是最低在50%。雖然最后大題的趨勢有從單純是代數(shù)的題目轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)形結(jié)合類型的題目的情況（幾何的背景，代數(shù)的解題方式）。不管怎么說，這樣的數(shù)據(jù)已

14、經(jīng)充分說明了在初一這個階段代數(shù)試題在“希望杯”中的分量和價值。初二的試題中，21屆1試有15道關(guān)于代數(shù)的。包括21屆在內(nèi)，基本上出題的題型規(guī)律上都是（不管是一試還是二試）：選擇題10道3道左右是關(guān)于幾何的。填空題10道也是3，4道關(guān)于幾何。大題分布的比較均勻，有一半左右（2，3道）。除此之外都是代數(shù)題（也包括極少的概率等其他類型的題目）。所以縱觀希望杯在初一和初二的出題比例可以看出代數(shù)試題在希望杯中的地位是很高的。本論文研究希望杯初一，初二的1試和2試中代數(shù)的部分。根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)對義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程分為“數(shù)與代數(shù)”，“空間與圖形”，“統(tǒng)計與概率”，“實踐與綜合應(yīng)用”

15、四個領(lǐng)域的規(guī)定。而且初中階段的“數(shù)與代數(shù)”是義務(wù)教育全日制初級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（適用修訂版）中“代數(shù)”內(nèi)容的擴展。所以本論文研究的代數(shù)試題就是現(xiàn)今義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)中四大領(lǐng)域之一的“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容。 “數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容包括數(shù)與式、方程與不等式、函數(shù)。由于本文研究初一，初二的代數(shù)試題，所以著重研究數(shù)與式問題和方程問題，也包括初一最值問題的分類研究。1.2研究目的 熟悉希望杯代數(shù)試題的結(jié)構(gòu)，對代數(shù)試題中的數(shù)與式問題，方程問題以及希望杯1試中的最值問題進(jìn)行整理，分類，歸納，總結(jié)并適當(dāng)?shù)臄U展或推廣。以加深對希望杯試題的理解和認(rèn)識。1.3研究內(nèi)容本文主要從以下方面展開研究：1、初

16、一和初二1試代數(shù)試題的分類研究。2、初一和初二2試代數(shù)試題的分類研究。1.4 研究方法上網(wǎng)查閱近幾年的希望杯試題，結(jié)合查考文獻(xiàn)和資料，并在老師同伴的幫助下搜集各種需要代數(shù)信息，進(jìn)行分類，整理，解決，歸納。2.希望杯1試代數(shù)試題研究我們知道：數(shù)與式包括有理數(shù)、無理數(shù)、數(shù)軸、有理數(shù)的大小比較、倒數(shù)、相反數(shù)、絕對值、乘方、開方（平方根、立方根）、近似數(shù)、有效數(shù)字、冪、科學(xué)記數(shù)法、有理式（整式、分式、二次根式）、無理式等。對于數(shù)與式我們可以從數(shù)，式兩方面去看。明顯數(shù)的話涉及到各種數(shù)（實數(shù)，有理數(shù)，無理數(shù)等等）及數(shù)之間的關(guān)系和運算，也涉及到一些數(shù)的概念和性質(zhì)。代數(shù)式可以看成有理式和無理式，有理式又包括整

17、式，分式。當(dāng)然。按照題目的性質(zhì)數(shù)與式也可以分為有條件式和無條件式。所在在對數(shù)與式做研究時可以考慮從以下幾個方面去討論。2.1 數(shù)與式問題的分類 數(shù)與式的運算包含了有理數(shù)的運算，還有有理式的運算（包括，整式，分式的運算），還有科學(xué)計數(shù)。在整體大概1試代數(shù)試題中，占的比例還是很大的。關(guān)于數(shù)與式的運算，包含很多。可以把數(shù)與式分開來看。2.1.1數(shù)的運算例1. 計算： 【選自第24屆初一希望杯試題】例2、計算： ； 【選自第22屆初一希望杯試題】例3. If m=2，then = 【選自第21屆初一希望杯試題】例4.= 【選自第25屆初一希望杯試題】 例5.計算： 【選自第24屆初二希望杯試題】 結(jié)合

18、以上試題可看出，幾乎每年都要考關(guān)于代數(shù)運算的題目。題目不難。但是從出題的靈活性可以看出：早年是純粹算一下關(guān)于一些有理數(shù)運算符號的互相運用，穿插。似乎是考驗學(xué)生的仔細(xì)，敏銳度。沒什么難點可言。但是到了24,25屆，無疑的。運算符號變得單一了。但是題目的靈活性增加了。比如初一25屆1試題目1.。很明顯的這試題當(dāng)中隱藏著簡化運算。也只能從分子著手。從分子式子來看，加減號交叉出現(xiàn)。而且是跟平方搭干。所以會引起我們想到關(guān)于平方差的聯(lián)系。那分子部分就可以化簡為.答案為-1也就馬上出來了。對這類試題做一個推廣，我們也很清楚。不管最大的數(shù)是1000，還是10000.只要分子中的最大數(shù)跟分母中的最大數(shù)一樣。那么

19、結(jié)果就是-1. 初二第24屆的12題更難，更靈活。要是學(xué)過等差數(shù)列的求和公式，那么答案很快就出來了。-（-1）=1. 但是沒學(xué)過等差數(shù)列也可以找出一般的規(guī)律：。所以原式可以直接得出為1.這類試題的推廣很顯然：按冪的遞減方式做減法。不管這個冪多大。底數(shù)為2，冪按公差為1的方式遞減排列，答案就是1. 根據(jù)上面的研究，可以發(fā)現(xiàn)，題目雖然不一定很難，但是有一種越來越活的趨勢。而且往往數(shù)字是跟冪，還有今年考試的年份有關(guān)的。所以在擴展此種類型的題目時可以抓住這兩點。可以注重到數(shù)的拆分。例如：計算：的值。這種涉及到一個規(guī)律，只要能利用就很容易了。. 式的運算 之前講過代數(shù)式包括有理式和無理式，有理式包括整式

20、和分式，整式有多項式和單項式之分。之前的實數(shù)運算一般是無條件運算。而現(xiàn)在式的運算一般是關(guān)于有條件運算。（1）無條件求值我們先來看一種條件本身沒有告訴我們什么，但是我們要把功夫下在我們要求的式子上，也就是這類題目的關(guān)鍵就在于能不能處理好要求的式子，條件一般不用太在意。 這方面的題目不多。但是跟上面的實數(shù)運算類似，即所給的條件是很直白的，沒有多少隱藏式的條件，直接給你需要的，并不需要再從條件當(dāng)中挖很多隱藏的信息，因此跟上面實數(shù)的研究相比只是多了一個多項式的外殼，實質(zhì)上還是只涉及到運算和運算方法。具體的題目可以參考初一1式有：22屆12題，24屆13題。初二1試有21屆16，20題，23屆第3題。

21、看一道有代表性的題目：例1.若a=2009，b=，則 ；【選自第22屆初一希望杯試題】能化出（a+b）(a+b+b)。就可以找到答案為2011了（2） 有條件求值首先來看在有條件運算中，條件本身就已經(jīng)告訴了我們很多東西，甚至只要讀懂條件，就可以知道答案了。例1.已知，且，則y的值是（ ）【選自第24屆初二希望杯試題】 明顯要化簡得6y+8=。y 的值易得15.例2.若，則6a-10b+14c-3= 【選自第23屆初一希望杯試題】要做這道題目。明顯把握兩點。兩個括號里面的多項式的和為0.即明顯2個方程解不出3個解。所以只能根據(jù)這兩個等式，對他們進(jìn)行放縮，讓他們之和正好就是我們要的。所以可以得到一

22、個2元一次方程組。得到x+2y=6，-2x-3y=-10，3x+4y=14。得x=2.y=2所以就算出來了答案為-1.所以這是充分利用條件，并沒有對要求的多項式進(jìn)行很多的處理。另外初一24屆19題也是類似的。再看一類關(guān)于多項式的題目：例3.已知多項式是二次多項式，則= 。【選自第21屆初一希望杯試題】這道題目很簡單，只要把握二次多項式的定義就可以了。但這也是一種題型可以參考。類似的還有例4.若，則，；【選自第22屆初一希望杯試題】這道題很明顯的要展開多項式。這是最后一道，所以題目會較難。化簡：。答案很明顯了。但是像初二23屆的19,13題。雖然也是這個類型，但是背景就不一樣了.例5.已知整數(shù)a

23、，b滿足則ab的值是_.例6.若x是自然數(shù),x13和x76都是完全平方數(shù)，那么x=_ 例5要求a+b，需要聯(lián)結(jié)前面的條件跟a+b之間的關(guān)系。先觀察這個式子，看能不能分解成2個式子的乘積。發(fā)現(xiàn)可以：因為a，b是整數(shù)，所以和只能為1.得a=2,b=2.所以a+b=4.例6很簡單的假設(shè)這兩個是相鄰的平方數(shù)，那么兩個相鄰數(shù)的平方差為89，可得這兩個數(shù)為44,45,因為44的平方跟45的平方差89.所以明顯的x=45*45-13=2012. 關(guān)于這一類根據(jù)處理條件就可以找到答案的類型，把握住條件本身的意義和它跟我們要求的有什么直接或間接的聯(lián)系很重要。我們看關(guān)于有條件運算的另一塊，即條件和我們所要求的式子

24、都很重要，即我們既要對條件進(jìn)行分析也要對我們所要求的式子進(jìn)行分析。例如例7.已知a十x2=2011，bx2=2012,cx2=2013，且abc=24，則=_.【選自第23屆初二希望杯試題】由條件可知a,b,c是聯(lián)系的三個遞增的自然數(shù)。且abc=24.所以a=2.b=3,c=4.所以最后的答案為1/8.還有例8.設(shè)a，b是實數(shù)，且，則的值時 【選自第24屆初二希望杯試題】重點是知道b-a=b+1-(a+1)。然后兩邊都乘以【b+1-(a+1)】。就可以算出來了。最后看例9.已知自然數(shù)a,b,c滿足和。則代數(shù)式的值是 【選自第22屆初二希望杯試題】而。所以a=3.b=2.c=6.答案為1。對于該

25、種提醒的研究和擴展，發(fā)現(xiàn)雖然該種題型表面上看應(yīng)該是最難的。實際上出的時候都不難，所以在預(yù)測上也偏于不會太難的題目作為擴展。例：已知x+3y+5z=0,2x+4y+7z=0.試求只要用一個未知數(shù)代替其他兩個未知數(shù)就可以了。比如用聯(lián)立兩個方程，用z把x和y表示出來。 2.2 最值問題的分類最值問題的出現(xiàn)在1試當(dāng)中可以說是涉及面也比較多比較廣的。它涉及各個方面，各個題型，內(nèi)容豐富。涉及到的有：直接算極值，也有跟質(zhì)數(shù)，倍約數(shù)，絕對值，不等式等等知識點相結(jié)合。在分類中也可以嘗試分為離散型和連續(xù)型的。2.2.1離散型最值問題例1.十位數(shù)能被11整除，則三位數(shù)最大是_要做這道題，就要知道能被11整除的數(shù)的特

26、征是奇數(shù)位上的數(shù)之和減去偶數(shù)位上的數(shù)之和的差是11的整數(shù)倍。所以2+1+8+8+b-(8+a+c)=11k.可得11+b-a-c是11的倍數(shù)。所以b-a-c是11的倍數(shù)。要讓最大。那么a要取9.那b只能取9.而c=0.所以結(jié)果就是990例2.設(shè)完全平方數(shù)A是11個連續(xù)整數(shù)的平方和，則A的最小值是 【選自第22屆初二希望杯試題】把這11個數(shù)設(shè)為x-5,x-4,x+4,x+5.那么11個數(shù)的和為11x.他是一個數(shù)的完全平方。顯然是112.A=121若要對這題做一個推廣的話：可以出：設(shè)完全平方數(shù)A是a個連續(xù)整數(shù)的平方和，則A的最小值是 推廣：明顯的當(dāng)a是奇數(shù)的時候A就是a的平方。因為這a個數(shù)有一個中

27、間值為a/2+1.所以這樣以這個數(shù)為x，其余的數(shù)為x+1,x-1,x+2,x-2x+a/2,x-a/2.全部加起來就等于ax.所以A=a的平方。例3.將不大于20的正偶數(shù)分成兩組，使得第一組中數(shù)的乘積能被第二組中數(shù)的乘積整除，則商的最小值是 【選自第24屆初二希望杯試題】明顯的14=2*7.而7是除不盡的。所以商的最小值只能是7或比7大。而18=3*3*2。18能除盡或說能被除盡的話，另一組必須要有12和6.因為只有12和6能分解出2個3的質(zhì)因數(shù)。而20和10也必須分開進(jìn)入2組。因為只有他們有共同的質(zhì)因數(shù)5.要使商最小，那就把20跟18放一組，12,6.10放一組。明顯后一組是前一組的2倍。所

28、以正好把14放在前一組。那相除就剩下7了。在剩下的2,4,8,16中，很明顯的2*16=4*8.所以第一組的數(shù)是2,14,16,18,20.第二組是4,6,8,10,12.所以第一組除以第二組為7.例4 If the product of all digits of a six-digit number is 1296，among such six-digit numbers，the smallest is _【選自第24屆初一希望杯試題】 中文翻譯是：若有一個六位數(shù)各位數(shù)字的乘積是1296，在所有的六位數(shù)字中，最小的一個是_ 將1296分解質(zhì)因數(shù)：1296=2*2*2*2*3*3*3*3 .

29、因為要最小。所以第一個數(shù)字是1.后面是1，再后面是2，剩下三個就是8,9,9所以是112899 ：例5Let ，x and y are both positive integers，then the largest value of is ，the smallest value of is 【選自第24屆初二希望杯試題】 易得xy=2012.而2012=2*2*503.所以x與y就是在這3個中湊。無疑最大值就是當(dāng)x=2012，y=1的時候。答案是2013.最小值的話是x=4,y=503(反過來也可以)。答案為507。還有例6.設(shè)x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7是自然數(shù)，且x1x2x3x

30、4x5x62時。明顯是一個單調(diào)遞增的。所以最小值為4.所以m的最大值為3.例5.已知，則的最大值是 ，最小值是 【選自第24屆初二希望杯試題】 這道題重點在運用大小關(guān)系。， 另一方面，。可得.所以答案是4.2.3 方程問題的分類 方程在初中代數(shù)中的地位毋庸置疑，所以對它的研究是必然的。 2.3.1 方程的求解 方程的求解占的比例在整個方程的研究中還是占有很大的比例的。它涉及到方程（方程組）的求解和與解有關(guān)的運算，方程根的相關(guān)運算和函數(shù)求值運算。介于在涉及到函數(shù)的題目時很多是跟圖像聯(lián)系在一起。所以就不把它歸到代數(shù)試題的研究的。首先我們先看方程（方程組）的涉及到解的問題例1.方程的解是 或 【選自

31、第24屆初二希望杯試題】這道題的難度相對應(yīng)大了。因為要涉及分類討論。這種類型的題目的話可以分成2類：或。若再考慮把的絕對值拿掉的話。就要把x分成x和。對于，將x分類后可得： 得x無解。所以對于按上述進(jìn)行分類后可得x=2或x=-4/3.再看另一中整數(shù)求解的題目。例2用表示不大于的最大整數(shù)，如則方程的解是_或_【選自第21屆初二希望杯試題】解決這道題目的關(guān)鍵就是能把x的范圍定下來。由題意可得：x-1 x x.所以。得到方程組。解得。所以x=-3或-4.帶入得到到得方程組的關(guān)于解的問題例3.若關(guān)于x,y的方程組的解滿足，則k的取值范圍是 【選自第22屆初二希望杯試題】這道題不難，根據(jù)方程組解出。帶入

32、4x+7y中得到。K的值也就出來了。為k3分式方程的解問題例4分式方程的解是_【選自第21屆初二希望杯試題】只要兩邊乘以分母的最小公倍數(shù)，再合并同類型，求解即可得到答案例5.若關(guān)于x的方程的解是，那么方程的的解= ，= 【選自第22屆初二希望杯試題】明顯當(dāng)x=a時方程成立。然后對于方程可以稍加處理得。所以就可以找到還有一個答案就是x-1=，x=. 2.3.2方程的判別 方程的判別即在于給定條件判定結(jié)論的合理性。一般是選擇題居多。有根的判別，解的判別，方程系數(shù)的判別。例根的判別例1.方程（ ）【選自第23屆初二希望杯試題】(A)只有一個根x=1 (B)只有一個根x=2 (C)有兩個根x1=l，x

33、2=2 (D)無解 關(guān)于根的判別要注意分母不能為0.所以只有一個根：2關(guān)于方程組的判別：例2方程組 ( ) 【選自第23屆初二希望杯試題】(A)無解 (B)有1組解 (C)有2組解 (D)有無窮多組解 原則上說3個方程組解三個未知數(shù)是可以的。前提是三個方程組沒有相類同的（即不存在只是在未知數(shù)的系數(shù)上差距N倍的方程組）。明顯的：由第三個方程減去第一個方程得到：x-z=30。第二個方程減去第一個方程得到：2x-2z=40。所以無解。關(guān)于系數(shù)的判別例3. 若以x為未知數(shù)的方程x2a4=0的根是負(fù)數(shù)，則 (A) (a1)(a2)0 (C) (a3)(a4)0 。【選自第21屆初一希望杯試題】明顯x=2

34、a-40.得到a2.所以答案很直觀就是D例4.若關(guān)于x,y的方程組沒有實數(shù)解，求ab的值【選自第22屆初二希望杯試題】可以看出要使方程無解。必須有a=-2/b .但是不能讓方程有無窮解。所以要謹(jǐn)慎的情況。但是它無解。所以只要滿足ab=-2就可以。 2.3.3方程的應(yīng)用 典型的代數(shù)應(yīng)用問題的話有工程問題，追及問題，買賣問題等。在求解這些問題的時候往往是通過列方程去求解的。工程問題 涉及工程的問題不多。但是很有意思的是在21屆初一的工程問題和22屆1式的工程幾乎是一樣的。【選自第21屆初一希望杯試題】 【選自第22屆初一希望杯試題】 這兩道題目明顯是同一個類型的。以前面一題為例：設(shè)每個人的每天的工

35、作效率是x，總工程完成的天數(shù)是y，還需要完成的天數(shù)的z。那么得y=40.追及問題 追及問題可以說是在代數(shù)應(yīng)用題中最喜歡，最常見也最靈活的題型之一。初一1式基本上每年都有這方面的題目。我們選取幾道典型的做研究 【選自第21屆初一希望杯試題】 【選自第22屆初一希望杯試題】很明顯的這兩道題目是很相似的。所以我們只研究后面一道。設(shè)總共的行程為x米。甲追上乙所用的時間為t。可得：。得到t=18.那么甲在18分鐘后追上乙。乙這時候以及騎了18+6=24分鐘。一共要40分鐘。那么還剩下16分鐘。買賣問題例5.某農(nóng)民在農(nóng)貿(mào)市場賣雞。甲先買了總數(shù)的一半又半只，然后乙買了剩下的一半又半只，最后丙買了剩下的一半又

36、半只，恰好買完。則該農(nóng)民一共賣了 只雞【選自第23屆初一希望杯試題】很明顯的，丙賣了剩下一半又半只后正好沒了。所以丙買的時候只剩下1只雞。假設(shè)一共有x只雞。那么甲買了.剩下。那么乙買了。剩下。所以這就是丙所買的。即。最后看一下例6A商品的單價是50元，B商品的單價是60元，幾所學(xué)校各付款1220元購買了這兩種商品，任意2所學(xué)校購買的A商品的數(shù)量都不同則參加這次采購的學(xué)校最多有 所【選自第24屆初二希望杯試題附加題】這道題考察的點就在于A商品的數(shù)量和B商品的數(shù)量都是整數(shù)。所以。設(shè)A商品數(shù)量為x，B商品數(shù)量為y。那么50 x+60y=1220.可得.就是要求。當(dāng)x取哪些整數(shù)時，y也是整數(shù)。那么就可

37、以保證等式的成立。也就是要問，在x25的整數(shù)中有哪些整數(shù)x滿足這個式子，同時y也是整數(shù)。我們看。所以明顯的5x除以6的余數(shù)要為2.明顯的x為偶數(shù)。所以5x的個位數(shù)都為0.所以5x除以6余數(shù)要為2.那么只有可能是6乘以一個數(shù)個位數(shù)為8.明顯6*8=48還有3*6=18。抓住這個就可以知道3,8,13,18,是可以的。3*6=18，對應(yīng)的就是4*5=20.所以x=4,同理，對應(yīng)8,13,18的x為10,16,22.因為x25.所以明顯的x只有這4中。3.希望杯2試代數(shù)試題研究3.1數(shù)與式問題的分類3.1.1數(shù)的運算 數(shù)的運算涉及的題目不多。比如例1.計算： 【選自第23屆初一希望杯試題】 例2計算

38、，得數(shù)是( ) 【選自第21屆初二希望杯試題】(A)9位數(shù) (B) 10位數(shù) (C) 11位數(shù) (D) 12位數(shù) 化簡的重點是在于合并。就是把當(dāng)中化成可以看出是幾位數(shù)的式子。明顯的。所以是10位數(shù)。= 【選自第23屆初二希望杯試題】明顯將式子平方得：所以原式為式的運算在代數(shù)式的運算中，2試試題沒有無條件求值，都是有條件求值，在有條件求值中，分成三類，涉及到整式的運算，涉及到根式的運算，涉及到分式的運算。先看第一類例1.若x+y=3,xy=1,則（ ） 【選自第23屆初一希望杯試題】（A）33（B）231（C）123（D）312 因為這是初一的題目。所以要么用x代替y帶入結(jié)果的式子中，但這不可行

39、。所以考察。可以聯(lián)想。 而=9-2=7 =27-9=18 所以=-3=18*7-3=123 例2If a+3=b9=c+6，then the value of is _ 【選自第24屆初一希望杯試題】 最簡單的就是特殊值法，令a=3,b=15,c=0.答案馬上出來為378 或者令a=b-12,b=c+15,c=a-3帶入也可直接得到答案。 最后看看例3.若 【選自第22屆初二希望杯試題】 明顯要先把變成。可得 根式運算例5.已知 【選自第23屆初二希望杯試題】 =4.所以答案為2 例6、已知為實數(shù)，且與都是整數(shù)，則的值是。【選自第24屆初二希望杯試題】 要是是整數(shù)。可以設(shè)。那么。明顯。可以為1

40、.當(dāng)x=5.所以。.分式運算例7若，則代數(shù)式的值( ) 【選自第23屆初二希望杯試題】(A)等于 (B)等于 (C)等于或不存在. (D)等于或不存在 將兩邊乘以18得到。則。代入中可得。但是因為分母不能為0.所以不能為0.即y不能為0.當(dāng)y=0時，x=2.發(fā)現(xiàn)是符合題意的。所以也有可能不存在值再看例8，已知=7，則代數(shù)式的值是 【選自第24屆初一希望杯試題】類似化簡題。 例9.若實數(shù)a,b,c滿足是 【選自第23初二希望杯試題】這類題明顯有一個特點就是式子的倒數(shù)很好處理。所以處理條件中的三個式子。使之求倒得：，而要求的式子的倒數(shù)=47/120.所以=120/47在2試的試題當(dāng)中出現(xiàn)了2道關(guān)于

41、代數(shù)的證明題。雖然不多。但是需要關(guān)注。3.1.3數(shù)與式的證明例1.設(shè)a=，證明：a是37的倍數(shù) 【選自第21屆初一希望杯試題】。因為999=37*27.所以在999+1的三次展開式中，多了一個1.同理在的展開式中同樣是多了一個1.所以正好可以整除37例2.已知都是整數(shù)，如果對任意整數(shù)x，代數(shù)式的值都能被3整除。證明：可被27整除。【選自第23屆初一希望杯試題】這題的解題思路可以從證明a,b,c都能被3整除入手。當(dāng)x=0時，代數(shù)= 能被3整除。所以c能被3整除。當(dāng)x=1時，=a+b+c當(dāng)x=-1時。=a-b+c.兩式一減可得2b能被3整除。那么b也能被3整除。因為當(dāng)x=1時。=a+b+c。且b,

42、c都能被3整除，所以a也能被3整除。所以a=3m,b=3n,c=3t.abc=3m*3n*3t=27mnt.能被27整除。3.2 方程問題的分類 3.2.1 方程的求解 方程的解涉及到方程的求解和與方程的解有關(guān)的運算。我們先來看方程的求解問題例1解方程：【選自第21屆初二希望杯試題】顯然，去分母兩邊同乘以12。這是不合適的。因為初二還沒有學(xué)到關(guān)于三次求解的問題。當(dāng)然，有能力可以做。但是觀察題目本身可以看出：左右兩邊都有由兩個互相為倒數(shù)的分式構(gòu)成。也就是說。實際上左右兩邊只有一個式子。因為另一個式子是已定的式子的倒數(shù)。即確定了，那么也就確定了。因為他們互為倒數(shù)。所以這個題目也就變成求的解。解得x

43、有3個解例2.函數(shù)y=ax與函數(shù)y=2x/3+b的圖像入圖5所示，則關(guān)于x,y的方程組的解是 【選自第22屆初二希望杯試題】只要把交點（1,2）帶入兩個函數(shù)中可以得到a=2,b=4/3,所以方程組。得再看例3.方程的整數(shù)解的個數(shù)為( ) 【選自第24初一希望杯試題】A.0 B.1 C.2 D.3這題可以分類討論，將x分成x-1.-1x1/2.當(dāng)x-1時，明顯的絕對值里面的兩個式子都是負(fù)數(shù)。所以=-x-1-2x+1=-3x=1.得到x=-1/3.因為x-1.所以不成立。當(dāng)-1x1/2時。=x+1-2x+1=-x+2=1,x=1.因為-1x1/2時。=x+1+2x-1=3x=1,x=1/3.也不符

44、合前提條件。所以無解。 3.2方程的應(yīng)用 在方程的應(yīng)用中仍然是一個很重要的點。即聯(lián)系實際，考察的靈動性很強。行程問題（包括相遇問題，追及問題）一直都是考察的重點。還有工程問題和盈利問題。但是側(cè)重點在行程問題以及相關(guān)問題上追及問題 例1.A、B、C三輛車在同一條直路上同向行駛，某一時刻，A在前，C在后，B在A、C正中間. 10分鐘后，C追上B;又過了5分鐘，C追上A.則再過 分鐘，B追上A. 【選自第21屆初二希望杯試題】 我們可以做如下假設(shè)：在最開始的時候，A到B的距離跟B到C的距離是一樣的。我們假設(shè)距離為m，A的速度為x，B的速度為y，C的速度為z。由10分鐘后C追上B，可以列出：10z-1

45、0y=m。又過了5分鐘，C追上A，可得15z-10 x=2m.聯(lián)立得15（y-x）=0.5m.假設(shè)B追上A總共的時間為t，那么（y-x）t=m.聯(lián)立得t=30.所以再過15分鐘，B追上A。例2. 有甲、乙兩輛小汽車模型，在一個環(huán)形軌道上勻速行駛，甲的速度大于乙。如果它們從同一點同時出發(fā)沿相反方向行駛，那么每隔1分鐘相遇一次。現(xiàn)在，它們從同一點同時出發(fā)，沿相同方向行駛，當(dāng)甲第一次追上乙時，乙已經(jīng)行駛了4圈，此時它們行駛了 分鐘。【選自第22屆初一希望杯試題】 由條件每隔1分鐘相遇一次。可以假設(shè)甲的速度為x，乙的速度為y，那么這個環(huán)形軌道的周長為1（x+y）.所以根據(jù)后面說當(dāng)甲第一次追上乙的時候。

46、明顯是甲比乙多跑了一圈。乙行駛了4圈，那么甲應(yīng)該是5圈，所以可得可得所以相遇的時間為=12.相遇問題 例3軌道AB長16.8米，從起點站A到終點站B，每2.4米設(shè)一站點甲、乙兩個機器人同時從A站點出發(fā)，到達(dá)B站點后，再返回，在A和B兩站點之間反復(fù)運動甲、乙運動的速度都是0.8米秒，甲每到達(dá)一個站點就休息1秒鐘，而乙從不休息，若甲、乙從A站點出發(fā)后2分鐘結(jié)束運動，問：它們出發(fā)后，曾幾次同時到達(dá)同一站點（包括起點站和終點站）? 【選自第21屆初一希望杯試題】 這道題要抓住一個等式，也是關(guān)鍵，那就是在每次他們相遇的時候，甲走的路加上乙走的路等于軌道AB長的偶數(shù)倍。所以假設(shè)在過了t秒后他們相遇。當(dāng)然也

47、發(fā)現(xiàn)題目是叫我們求他們在站點相遇的情況，不包括在站點以外相遇的情況。因為甲每到一個地方就要休息1秒鐘，所以可以這么說，甲到一個站所需的時間是4秒，而乙只要3秒，所以在t秒的時候他們相遇了。甲實際上在跑的時間只有3t/4秒。所以聯(lián)立可得0.8t+0.8*3t/4=2k*16.8.k為整數(shù)。且t120.得,所以k可以取1,2,3,4,5.也就是總共有5次的時間到達(dá)同一站點。ab兩人在環(huán)形跑道同時同地出發(fā)，a每分60米，b每分50米，兩人（分別）每走200米休息1分鐘，全長500米,a第二次追上b已過多長時間？ 改改題目里的表達(dá)：環(huán)行跑道周長500米，甲乙按順時針沿跑道同時同地起跑，甲每分鐘跑60米

48、，乙每分鐘跑50米。甲乙兩人每跑200米都要停下來休息1分鐘，那么第一，二次追上乙時分別距起跑時間多少分鐘？路程問題例4奇奇開車從北京去少林寺旅游，在高速公路和非高速公路上的行駛速度分別是120千米/時，60千米/時. 若奇奇駛完全程用了6小時，其中在高速公路上行駛的路程是在非高速公路上行駛的路程的6倍，則全程長_千米；【選自第24初一希望杯試題】 這個是簡單的列方程問題。假設(shè)在高速公路上行駛的路程是6x，非高速公路上行駛的路程是x。那么.可得x=90.所以全長630km.【選自第22屆初二希望杯試題】 假設(shè)一個輪胎的磨損度為m，那么前輪每行1km的磨損度就為m/5000,同理后輪每行1km的

49、磨損度為m/3000.所以假設(shè)輪胎在換胎前走的路程是x，換胎后走的路程是y。則換之前的前輪他的磨損度為m。列出式子為mx/5000+my/3000=m其中mx/5000是每換之前作為前輪的磨損度，my/3000是換了之后作為后胎的磨損度。加起來就是一個輪胎的磨損度。同理，對于另一個輪胎，即剛開始做后胎的輪胎，有mx/3000+my/5000=m.聯(lián)立這2式就可以得x+y=3750km。4.小結(jié)經(jīng)過上述試題的分類，歸納，解題，我們可以稍稍對于初一和初二1試試題的解題策略做個縱覽：首先在關(guān)于數(shù)與式的運算上，用到了配方法，代入法，特殊值法，分離法等等。其中分離法有系數(shù)上的分離，也涉及到題目中有2個未知數(shù)，已知其中一個未知數(shù)的條件去求另一個未知數(shù)，這時候可以對未知數(shù)進(jìn)行分離。而在求最值的問題當(dāng)中，有考察某