1、17 因動點產生的線段和差問題課前導學線段和差的最值問題，常見的有兩類：第一類問題是“兩點之間，線段最短”兩條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“牛喝水”問題，關鍵是指出一條對稱軸“河流”（如圖1）三條動線段的和的最小值問題，常見的是典型的“臺球兩次碰壁”或“光的兩次反射”問題，關鍵是指出兩條對稱軸“反射鏡面”（如圖2）兩條線段差的最大值問題，一般根據三角形的兩邊之差小于第三邊，當三點共線時，兩條線段差的最大值就是第三邊的長如圖3，PA與PB的差的最大值就是AB，此時點P在AB的延長線上，即P解決線段和差的最值問題，有時候求函數的最值更方便，本講不涉及函數最值問題圖1 圖2 圖3第二類問題

2、是“兩點之間，線段最短”結合“垂線段最短”如圖4，正方形ABCD的邊長為4，AE平分BAC交BC于E點P在AE上，點Q在AB上，那么BPQ周長的最小值是多少呢？如果把這個問題看作“牛喝水”問題，AE是河流，但是點Q不確定啊第一步，應用“兩點之間，線段最短”如圖5，設點B關于“河流AE”的對稱點為F，那么此刻PFPQ的最小值是線段FQ第二步，應用“垂線段最短”如圖6，在點Q運動過程中，FQ的最小值是垂線段FH這樣，因為點B和河流是確定的，所以點F是確定的，于是垂線段FH也是確定的圖4 圖5 圖6例 50 2014年湖南省郴州市中考第26題已知拋物線yax2bxc經過A(1, 0)、B(2, 0)

3、、C(0, 2)三點（1）求這條拋物線的解析式；（2）如圖1，點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？求出此時點P的坐標；（3）如圖2，設線段AC的垂直平分線交x軸于點E，垂足為D，M為拋物線的頂點，那么在直線DE上是否存在一點G，使CMG的周長最??？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由圖1 圖2動感體驗請打開幾何畫板文件名“14郴州26”，拖動點P運動，可以體驗到，當點P運動到CB的中點的正上方時，四邊形ABPC的面積最大拖動點G運動，可以體驗到，當A、G、M三點共線時，GCGM最小，CMG的周長最小思路點撥1設交點式求拋物線的解析式

4、比較簡便2連結OP，把四邊形ABPC的面積分割為三個三角形的面積和3第（3）題先用幾何說理確定點G的位置，再用代數計算求解點G的坐標圖文解析（1）因為拋物線與x軸交于A(1, 0)、B(2, 0)兩點，設ya(x1)(x2)代入點C(0, 2)，可得a1所以這條拋物線的解析式為y(x1)(x2)x2x2（2）如圖3，連結OP設點P的坐標為(x,x2x2)由于SAOC1，SPOCx，SPOBx2x2，所以S四邊形ABPCSAOCSPOCSPOBx22x3(x1)24因此當x1時，四邊形ABPC的面積最大，最大值為4此時P(1, 2)（3）第一步，幾何說理，確定點G的位置：如圖4，在CMG中，CM

5、為定值，因此當GCGM最小時，CMG的周長最小由于GAGC，因此當GAGM最小時，GCGM最小當點G落在AM上時，GAGM最?。ㄈ鐖D5）圖3 圖4 圖5第二步，代數計算，求解點G的坐標：如圖6，cosCAO，所以，E如圖7，由yx2x2，得M由A(1, 0)、M，得直線AM的解析式為作GHx軸于H設點G的坐標為由于tanGEHtanACO，所以，即EH2GH所以解得所以G圖6 圖7 圖8考點伸展第（2）題求四邊形ABPC的面積，也可以連結BC（如圖8）因為ABC的面積是定值，因此當PCB的面積最大時，四邊形ABPC的面積也最大過點P作x軸的垂線，交CB于F因為PCF與PBF有公共底邊PF，高的

6、和等于C、B兩點間的水平距離，所以當PF最大時，PCB的面積最大設點P(x,x2x2)，F(x,x2)，那么PFx22x當x1時，PF最大此時P(1, 2)例 51 2014年湖南省湘西州中考第25題如圖1，拋物線yax2bxc關于y軸對稱，它的頂點在坐標原點O，點B和點C(3,3)均在拋物線上，點F在y軸上，過點作直線l與x軸平行（1）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；（2）設點D(x, y)是線段BC上的一個動點（點D不與B、C重合），過點D作x軸的垂線，與拋物線交于點G，設線段GD的長為h，求h與x之間的函數關系式，并求出當x為何值時，線段GD的長度h最大，最大長度h的值是多少？（3）

7、若點P(m, n)是拋物線上位于第三象限的一個動點，連結PF并延長，交拋物線于另一點Q，過點Q作QSl，垂足為S，過點P作PNl，垂足為N，試判斷FNS的形狀，并說明理由；（4）若點A(2, t)在線段BC上，點M為拋物線上的一個動點，連結AF，當點M在何位置時，MFMA的值最小請直接寫出此時點M的坐標與MFMA的最小值圖1 動感體驗請打開幾何畫板文件名“14湘西25”，點擊屏幕左下方的按鈕（2），拖動點D在BC上運動，可以體驗到，當點D是BC的中點時，GD最大點擊按鈕（3），拖動點P運動，可以體驗到，FNS保持直角三角形的形狀點擊按鈕（4），拖動點M運動，可以體驗到，ME與MF保持相等，當A

8、E是垂線段時，MEMA最小思路點撥1第（2）題用x表示G、D兩點的縱坐標，GD的長就轉化為關于x的二次函數2第（3）題是典型結論：拋物線上任意一點到直線l的距離等于它與點F間的距離3第（4）題要經過兩步說理，得到MFMA的最小值是點A到l的垂線段長圖文解析（1）因為拋物線的頂點在坐標原點，所以yax2代入點C(3,3)，得所以拋物線的解析式為設直線BC的解析式為ykxb，代入B、C(3,3)，得解得，b2所以直線BC的解析式為（2）由于點D、G分別在直線BC和拋物線上，所以D，G所以hGD因此當時，h取得最大值，最大值為（3）如圖2，設點為H設直線PQ的解析式為聯立直線PQ：與拋物線，消去y，得所以x1x2它的幾何意義是HSHN又因為HF所以HF2HSHN所以所以tan1tan2所以12又因為1與3互余，所以2與3互余所以FNS是直角三角形（4）MFMA的最小值是，此時點M的坐標是圖2 圖3 圖4考點伸展第（3）題也可以通過計算得到PFPN同理得到QFQS這樣我們就可以根據“等邊對等角”及“