1、第八章第四節一、選擇題1(文)(2014長春模擬)橢圓x24y21的離心率為()Aeq f(r(3),2)Beq f(3,4)Ceq f(r(2),2)Deq f(2,3)答案A解析先將x24y21化為標準方程x2eq f(y2,f(1,4)1，則a1，beq f(1,2)，ceq r(a2b2)eq f(r(3),2).離心率eeq f(c,a)eq f(r(3),2).(理)若P是以F1、F2為焦點的橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)上的一點，且eq o(PF1,sup6()eq o(PF2,sup6()0，tanPF1F2eq f(1,2)，則此橢圓的離心率為(

2、)Aeq f(r(5),3) Beq f(r(2),3)Ceq f(1,3)Deq f(1,2)答案A解析在RtPF1F2中，不妨設|PF2|1，則|PF1|2.|F1F2|eq r(5)，eeq f(2c,2a)eq f(r(5),3).2(文)橢圓eq f(x2,16)eq f(y2,7)1的左、右焦點分別為F1、F2，一直線過F1交橢圓于A、B兩點，則ABF2的周長為()A32 B16 C8D4答案B解析由題設條件知ABF2的周長為|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16.(理)(2013浙江紹興一模)橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1上一點M到焦點F1的距離為2，N是M

3、F1的中點，則|ON|等于()A2B4C8Deq f(3,2)答案B解析連接MF2.已知|MF1|2，又|MF1|MF2|10，|MF2|10|MF1|8.如圖，|ON|eq f(1,2)|MF2|4.故選B3(文)(2014佛山月考)設F1，F2分別是橢圓eq f(x2,4)y21的左、右焦點，P是第一象限內該橢圓上的一點，且PF1PF2，則點P的橫坐標為()A1Beq f(8,3)C2eq r(3)Deq f(2r(6),3)答案D解析由題意知，c2a2b2413，點P即為圓x2y23與橢圓eq f(x2,4)y21在第一象限的交點，解方程組eq blcrc (avs4alco1(x2y2

4、3，,f(x2,4)y21，)得點P的橫坐標為eq f(2r(6),3).(理)F1、F2是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的兩焦點，P是橢圓上任一點，過一焦點引F1PF2的外角平分線的垂線，則垂足Q的軌跡為()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線答案A解析PQ平分F1PA，且PQAF1，Q為AF1的中點，且|PF1|PA|，|OQ|eq f(1,2)|AF2|eq f(1,2)(|PA|PF2|)a，Q點軌跡是以O為圓心，a為半徑的圓4(2014豫東、豫北十所名校聯考)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的左、右焦點分別為F1，F2，P為橢圓C上一點，

5、若F1F2P為等腰直角三角形，則橢圓C的離心率為()Aeq f(r(2),2)Beq r(2)1Ceq r(2)1或eq f(r(2),2)Deq f(r(2),4)答案C解析當F1PF2為直角時，P為橢圓短軸端點，bc，eq f(c2,a2)eq f(1,2)，eeq f(r(2),2)；當F1F2P或F2F1P為直角時，eq f(b2,a)2c，b22ac，a2c22ac，e22e10，eeq r(2)1.5(文)(2013煙臺質檢)一個橢圓中心在原點，焦點F1，F2在x軸上，P(2，eq r(3)是橢圓上一點，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則橢圓方程為()Aeq f(

6、x2,8)eq f(y2,6)1Beq f(x2,16)eq f(y2,6)1Ceq f(x2,8)eq f(y2,4)1Deq f(x2,16)eq f(y2,4)1答案A解析設橢圓的標準方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)由點(2，eq r(3)在橢圓上知eq f(4,a2)eq f(3,b2)1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差數列，則|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，eq f(c,a)eq f(1,2)，又c2a2b2，聯立得a28，b26.(理)(2013新課標理，10)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a

7、b0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點若AB的中點坐標為(1，1)，則E的方程為()Aeq f(x2,45)eq f(y2,36)1Beq f(x2,36)eq f(y2,27)1Ceq f(x2,27)eq f(y2,18)1Deq f(x2,18)eq f(y2,9)1答案D解析設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A、B在橢圓上，eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),a2)f(yoal(2,1),b2)1，,f(xoal(2,2),a2)f(yoal(2,2),b2)1.)兩式相減得，eq f(xoal(2,1)xoal(2,2),a2)e

8、q f(yoal(2,2)yoal(2,1),b2)，即eq f(x1x2x1x2,a2)eq f(y2y1y2y1,b2)，AB的中點為(1，1)，x1x22，y1y22，keq f(y2y1,x2x1)eq f(b2,a2)，又keq f(10,13)eq f(1,2)，eq f(b2,a2)eq f(1,2)，又c2a2b22b2b2b2，c29，b29，a218，橢圓E的標準方程為eq f(x2,18)eq f(y2,9)1，故選D6(2014豫東、豫北十所名校聯考)已知F1(3,0)，F2(3,0)是橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)兩個焦點，P在橢圓上，F

9、1PF2，且當eq f(2,3)時，F1PF2的面積最大，則橢圓的標準方程為()Aeq f(x2,12)eq f(y2,3)1Beq f(x2,14)eq f(y2,5)1Ceq f(x2,15)eq f(y2,6)1Deq f(x2,16)eq f(y2,7)1答案A解析|F1F2|為定值，當P在短軸端點時，SF1PF2最大，F1PF2eq f(2,3)，PF1F2eq f(,6)，taneq f(,6)eq f(b,c)，c3，beq r(3)，a2b2c212，橢圓方程為eq f(x2,12)eq f(y2,3)1.二、填空題7(2013池州二模)已知點M(eq r(3)，0)，橢圓eq

10、 f(x2,4)y21與直線yk(xeq r(3)交于點A、B，則ABM的周長為_答案8解析M(eq r(3)，0)與F(eq r(3)，0)是橢圓的焦點，則直線AB過橢圓左焦點F(eq r(3)，0)，且|AB|AF|BF|，ABM的周長等于|AB|AM|BM|(|AF|AM|)(|BF|BM|)4a8.8已知橢圓M：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的面積為ab，M包含于平面區域：eq blcrc (avs4alco1(|x|2，,|y|r(3).)內，向內隨機投一點Q，點Q落在橢圓M內的概率為eq f(,4)，則橢圓M的方程為_答案eq f(x2,4)eq f(

11、y2,3)1解析平面區域：eq blcrc (avs4alco1(|x|2，,|y|r(3).)是一個矩形區域，如圖所示，依題意及幾何概型，可得eq f(ab,8r(3)eq f(,4)，即ab2eq r(3).因為0a2,0b10)和橢圓C2：eq f(x2,aoal(2,2)eq f(y2,boal(2,2)1(a2b20)的焦點相同且a1a2.給出以下四個結論：橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點；eq f(a1,a2)eq f(b1,b2)；aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)beq oal(2,1)beq oal(2,2)；a1a2a2，故b1b2，因此兩橢圓必無公共點，即命

12、題為真命題；又由于兩橢圓焦點相同，a1a2，aeq oal(2,1)beq oal(2,2)aeq oal(2,1)(aeq oal(2,2)c2)aeq oal(2,2)(aeq oal(2,1)c2)aeq oal(2,2)beq oal(2,1)，故eq f(a1,a2)eq f(b1,b2)，即命題為假命題；由焦點相同得aeq oal(2,1)beq oal(2,1)aeq oal(2,2)beq oal(2,2)，故aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)beq oal(2,1)beq oal(2,2)，即命題為真命題；因為aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)be

13、q oal(2,1)beq oal(2,2)，即(a1a2)(a1a2)(b1b2)(b1b2)eq f(a1a2,b1b2)eq f(b1b2,a1a2)1，故有a1a2b0)，由題意ceq r(3)，且橢圓過點M(1，eq f(r(3),2)，eq blcrc (avs4alco1(a2b23，,f(1,a2)f(3,4b2)1.)eq blcrc (avs4alco1(a24，,b21.)橢圓方程為eq f(x2,4)y21.(2)設直線PQ：xtyeq f(6,5)，由eq blcrc (avs4alco1(xtyf(6,5)，,f(x2,4)y21.)消去x得，(t24)y2eq f

14、(12,5)tyeq f(64,25)0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，y1y2eq f(64,25t24)，y1y2eq f(12t,5t24)，又A(2,0)，eq o(AP,sup6()eq o(AQ,sup6()(x12，y1)(x22，y2)(x12)(x22)y1y2(ty1eq f(4,5)(ty2eq f(4,5)y1y2(t21)y1y2eq f(4,5)t(y1y2)eq f(16,25)0，PAQeq f(,2)(定值)(理)(2014安徽合肥三校聯考)已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為eq f(r(2),2)，且橢圓經過圓C：x2y24x2eq r(2

15、)y0的圓心C(1)求橢圓C的方程；(2)設直線l過橢圓的焦點且與圓C相切，求直線l的方程解析(1)圓C方程化為(x2)2(yeq r(2)26，圓心C(2，eq r(2)，半徑req r(6).設橢圓的方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)，則eq blcrc (avs4alco1(f(4,a2)f(2,b2)1，,1f(b,a)2f(r(2),2)2，)所以eq blcrc (avs4alco1(a28，,b24.)所以所求橢圓的方程是eq f(x2,8)eq f(y2,4)1.(2)由(1)得橢圓的左、右焦點分別是F1(2,0)，F2(2,0)，|F2C|eq r

16、(2220r(2)2)eq r(2)b0)的離心率eeq f(1,2)，右焦點為F(c,0)，方程ax22bxc0的兩個實數根分別是x1和x2，則點P(x1，x2)到原點的距離為()Aeq r(2)Beq f(r(7),2)C2Deq f(7,4)答案A解析因為eeq f(c,a)eq f(1,2)，所以a2c，由a2b2c2，得eq f(b,a)eq f(r(3),2)，x1x2eq f(2b,a)eq r(3)，x1x2eq f(c,a)eq f(1,2)，點P(x1，x2)到原點(0,0)的距離deq r(xoal(2,1)xoal(2,2)eq r(x1x222x1x2)eq r(2)

17、.12(文)(2014陜西西工大附中適應性訓練)已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A，B兩點，連線AF，BF，若|AB|10，|AF|6，cosABFeq f(4,5)，則橢圓C的離心率e為()Aeq f(5,7)Beq f(4,5)Ceq f(4,7)Deq f(5,6)答案A解析在ABF中，由|AB|10，|AF|6，cosABFeq f(4,5)，得|BF|8，設橢圓的右焦點為E，由對稱性知，|AE|8，且AEF為直角三角形，|EF|10，2a|AF|AE|14.eeq f(2c,2a)eq f(10,14)eq f(

18、5,7).(理)(2014包頭三十三中期末)已知橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點分別為F1(c,0)，F2(c,0)，若橢圓上存在點P使eq f(a,sinPF1F2)eq f(c,sinPF2F1)，則該橢圓的離心率的取值范圍為()A(0，eq r(2)1)B(eq f(r(2),2)，1)C(0，eq f(r(2),2)D(eq r(2)1,1)答案D解析根據正弦定理得eq f(|PF2|,sinPF1F2)eq f(|PF1|,sinPF2F1)，所以由eq f(a,sinPF1F2)eq f(c,sinPF2F1)可得eq f(a,|PF2|)e

19、q f(c,|PF1|)，即eq f(|PF1|,|PF2|)eq f(c,a)e，所以|PF1|e|PF2|.又|PF1|PF2|e|PF2|PF2|PF2|(e1)2a，即|PF2|eq f(2a,e1).因為ac|PF2|ac(不等式兩邊不能取等號，否則分式中的分母為0，無意義)，所以aceq f(2a,e1)ac，即1eq f(c,a)eq f(2,e1)1eq f(c,a)，所以1eeq f(2,e1)1e，即eq blcrc (avs4alco1(1e1e2，,21e2，)所以eq blcrc (avs4alco1(1e22，,r(2)eq r(2)1.又因為e1，所以eq r(2

20、)1e2Ct0，直線與橢圓有兩個交點，yx1是“A型直線”把y2代入eq f(x2,4)eq f(y2,3)1，得eq f(x2,4)eq f(1,3)不成立，直線與橢圓無交點，y2不是“A型直線”把yx3代入eq f(x2,4)eq f(y2,3)1并整理得，7x224x240，(24)247240，y2x3是“A型直線”三、解答題17在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C1：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左焦點為F1(1,0)，且點P(0,1)在C1上(1)求橢圓C1的方程；(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y24x相切，求直線l的方程解析(1)因為橢圓C

21、1的左焦點為F1(1,0)，所以c1，將點P(0,1)代入橢圓方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1，得eq f(1,b2)1，即b21，所以a2b2c22，所以橢圓C1的方程為eq f(x2,2)y21.(2)直線l的斜率顯然存在，設直線l的方程為ykxm，由eq blcrc (avs4alco1(,f(x2,2)y21，,ykxm，)消去y并整理得，(12k2)x24kmx2m220，因為直線l與橢圓C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0整理得2k2m210，由eq blcrc (avs4alco1(y24x，,ykxm，)消去y并整理得，k2x2(2km4)

22、xm20，因為直線l與拋物線C2相切，所以2(2km4)24k2m20，整理得km1，綜合，解得eq blcrc (avs4alco1(kf(r(2),2)，,mr(2)，)或eq blcrc (avs4alco1(kf(r(2),2)，,mr(2).)所以直線l的方程為yeq f(r(2),2)xeq r(2)或yeq f(r(2),2)xeq r(2).18(文)(2014安徽“江南十校”聯考)已知橢圓：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的右焦點為F，橢圓的上頂點和兩焦點連線構成等邊三角形且面積為eq r(3).(1)求橢圓的標準方程；(2)若直線l：xmyq(m0)

23、與橢圓交于不同的兩點A，B，設點A關于橢圓長軸的對稱點為A1，試求A1，F，B三點共線的充要條件解析(1)設橢圓的標準方程是eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)由題意知a2c，bceq r(3)，所以a2，beq r(3)，橢圓的標準方程是eq f(x2,4)eq f(y2,3)1.(2)聯立eq blcrc (avs4alco1(xmyq，,f(x2,4)f(y2,3)1)(3m24)y26mqy(3q212)0，由123m2q2(3m24)(q24)48(3m24q2)0，得3m24q20.記A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A1(x1，y1)，y1y2eq f(6

24、mq,3m24)，y1y2eq f(3q212,3m24)，因為F(1,0)，所以eq o(FA1,sup6()(x11，y1)，eq o(FB,sup6()(x21，y2)，故A1，F，B三點共線，eq o(FA1,sup6()eq o(FB,sup6()，(x11)y2(x21)(y1)(my1q1)y2(my2q1)y12my1y2(q1)(y1y2)2meq f(3q212,3m24)(q1)eq f(6mq,3m24)eq f(6mq4,3m24)0q4(m0)，由知A1，F，B三點共線的充要條件是|m|2，且q4.(理)(2014新課標全國理)已知點A(0，2)，橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(3),2)，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為eq f(2r(3),3)，O為坐標原點(1)求E的方程；(2)設過點A的動直線l與