1、2017 年日微積分 II復習暨南大學數學系第五章第六章第七章第八章第九章不定積分定積分 無窮級數多元函數微分方程積分公式大全(1)1 d = + C 1 d =+1 + C(2) + 1d = ln | + C1(3)(4) d = ln + C(5)e d = e + C 3/47 積分公式大全(6)sin d = cos + Ccos d = sin + C(7)(8)tn d = ln | cos | + Ccot d = ln | sin | + C(9) 4/47 積分公式大全(10)sec d = ln | sec + tn | + Ccsc d = ln | csc cot |

2、 + C(11)(12)sec2 d = tn + C(13)csc2 d = cot + C 5/47 積分公式大全d1=rctn+ C(14)2 + 2 d 1 + (15)ln+ C= 2 22 pd= rcsin+ C(16)2 2 p= ln | + p2 2| + Cd(17)2 2 6/47 第一類換 ()() d = () d()= () d=() 7/47 最常用的積分換元一般地，如果 ()d = F() + C，則有例 1 8/47 最常用的積分換元一般地，如果 ()d = F() + C，則 有1 ( + b) d =F( + b) + C.例 1 8/47 最常用的積分

3、換元一般地，如果 ()d = F() + C，則 有1 ( + b) d =F( + b) + C.這個公式利用換元 = + b 可以得到 例 1 8/47 最常用的積分換元一般地，如果 ()d = F() + C，則 有1 ( + b) d =F( + b) + C.這個公式利用換元 = + b 可以得到 例 1求不定積分 2 .d(4+5) 8/47 正弦和余弦換元例 2求不定積分 sin2 cos d. 9/47 第二類換 () d = (t) d(t)= (t)(t) dtt=1 () 10/47 指數函數換元例 3求不定積分 1 d.e+1 11/47 根號換元例 4 d.求不定積分

4、p3 12/47 三角函數換元總結1. 2 (p2 2) d，令 = s3. 13/47 三角函數換元總結1. 2. 3. (p2 2) d，令 = s (p2 + 2) d，令 = 13/47 三角函數換元總結1. 2. 3. (p2 2) d，令 = s (p2 + 2) d，令 = (p2 2) d，令 = sec t 13/47 14/47 分部積分公式： d = d 14/47 例 6求不定積分 e d.例 5求不定積分 cos d.分部積分公式： d = d 14/47 例 8求不定積分 rctn d.例 7求不定積分 ln d.例 6求不定積分 e d.例 5求不定積分 cos

5、d.分部積分公式： d = d 14/47 例 9求不定積分 e sin d.例 8求不定積分 rctn d.例 7求不定積分 ln d.例 6求不定積分 e d.例 5求不定積分 cos d.分部積分公式： d = d第五章第六章第七章第八章第九章不定積分定積分 無窮級數多元函數微分方程微積分基本公式定理 1設 () 在 , b 上連續，且 F() 是 ()的一個原函數，則有b () d = F()b = F(b) F()微積分基本公式公式 16/47 微積分基本公式定理 1設 () 在 , b 上連續，且 F() 是 ()的一個原函數，則有b () d = F()b = F(b) F()它

6、稱為微積分基本公式或公式 16/47 定積分的換元公式定積分換元公式：令 = (t), 則有b (t)(t) dt () d =其中，當 = 時，t = ；當 = b 時，t = 例 1 17/47 定積分的換元公式定積分換元公式：令 = (t), 則有b (t)(t) dt () d =其中，當 = 時，t = ；當 = b 時，t = 2例 1e2 d求下列定積分1 17/47 定積分的分部積分公式分部積分公式：bbb d = d例 2 18/47 定積分的分部積分公式分部積分公式：bbb d = d1例 2求下列定積分e d0 18/47 平面圖形的面積由曲線 y = (), 軸，直線

7、= 所圍成的曲邊梯形的面積為以及直線 = bbS =| ()| d 19/47 平面圖形的面積由曲線 y = (), 軸，直線 = 所圍成的曲邊梯形的面積為 = b以及直線bS =| ()| d由曲線 = (y), y 軸，直線 y = 所圍成的曲邊梯形的面積為y = b以及直線bS =| (y)| dy 19/47 平面圖形的面積由曲線 y = (), y = g()，直線 = 以及直線 = b 所圍成的曲邊梯形的面積為bS =| () g()| d 20/47 平面圖形的面積由曲線 y = (), y = g()，直線 = 以及直線 = b 所圍成的曲邊梯形的面積為bS =| () g()

8、| d由曲線 = (y), = g(y)，直線 y = y = b 所圍成的曲邊梯形的面積為以及直線bS =| (y) g(y)| dy 20/47 計算面積的步驟1234 21/47 計算面積的步驟1.234畫出曲線草圖 21/47 計算面積的步驟1.2.34畫出曲線草圖確定積分區間 21/47 計算面積的步驟1.2.34畫出曲線草圖確定積分區間 = 從曲線交點得到 21/47 計算面積的步驟1.2.3.4畫出曲線草圖確定積分區間 = 從曲線交點得到確定被積函數 21/47 計算面積的步驟1.2.3.4畫出曲線草圖確定積分區間 = 從曲線交點得到確定被積函數 = 從曲線方程得到 21/47

9、計算面積的步驟1.2.3.4.畫出曲線草圖確定積分區間 = 從曲線交點得到確定被積函數 = 從曲線方程得到計算積分結果 21/47 例 3求曲線 y = 1 2與 軸所圍成圖形的面積例 4 22/47 例 3求曲線 y = 1 2 與 軸所圍成圖形的面積例 4y2y2= = 2 求曲線和所圍成的圖形的面積 22/47 第五章第六章第七章第八章第九章不定積分定積分 無窮級數多元函數微分方程第五章第六章第七章第八章第九章不定積分定積分 無窮級數多元函數微分方程偏導數對于 z = (, y)，將 y 看為常數，對 求導，得到 zz對 的偏導數，記為， 31/47 偏導數對于 z = (, y)，將

10、y 看為常數，對 求導，得到 zz，或，或 z ，或 對 的偏導數，記為 31/47 偏導數對于 z = (, y)，將 y 看為常數，對 求導，得到 zz對 的偏導數，記為 ，或，或 z ，或 對于 z = (, y)，將 看為常數，對 yz求導，得到 z對 y 的偏導數，記為，y 31/47 偏導數對于 z = (, y)，將 y 看為常數，對 求導，得到 zz對 的偏導數，記為 ，或，或 z ，或 對于 z = (, y)，將 看為常數，對 y 求導，得到 zz對 y 的偏導數，記為 y ，或，或 z ，或 yyy 31/47 復合函數求導：情形 1設 z = (, y), = (t),

11、 y = (t)，全導數例 1 32/47 復合函數求導：情形 1設 z = (, y), = (t), y = (t)，則得到復合函數 z = (t), (t)全導數例 1 32/47 復合函數求導：情形 1設 z = (, y), = (t), y = (t)，則得到復合函數 z = (t), (t)此時有全導數dzdtz dz dy= dt + y dt例 1 32/47 復合函數求導：情形 1設 z = (, y), = (t), y = (t)，則得到復合函數 z = (t), (t)此時有全導數dzz dz dydt = dt + y dtdzdt例 1設 z = y， = et

12、, y = s，求全導數 32/47 復合函數求導：情形 2設 z = (, ), = (, y), = (, y)，例 2 33/47 復合函數求導：情形 2設 z = (, ), = (, y), = (, y)，則到復合函數 z = (, y), (, y)得例 2 33/47 復合函數求導：情形 2設 z = (, ), = (, y), = (, y)，則得到復合函數 z = (, y), (, y)此時數有偏導zz z =+(18) zz z =+(19)例 2y y y 33/47 復合函數求導：情形 2設 z = (, ), = (, y), = (, y)，則得到復合函數 z

13、 = (, y), (, y)此時數有偏導zz z =+(18) zz z =+(19)例 2導數y y y設 z = ， = 32 + y2, = 2 + y，求偏zz和y 33/47 隱函數的導數 1定理 1設方程 F(, y) = 0確定了隱函數 y = ()，且 F(, y) 有連續偏導數，例 3 34/47 隱函數的導數 1定理 1設方程 F(, y) = 0 確定了隱函數 y = ()，且 F(, y) 有連續偏導數，則有Fdyd = F .y例 3 34/47 隱函數的導數 1定理 1設方程 F(, y) = 0 確定了隱函數y = ()，且 F(, y) 有連續偏導數，則有Fd

14、yd = F .y例 3y設方程 y e + = 0 確定了隱函數 y = ()，dyd求導數 34/47 隱函數的導數 2定理 2設方程 F(, y, z) = 0 確定了隱函數 z= (, y)，且 F(, y, z) 有連續偏導數，例 4 35/47 隱函數的導數 2定理 2設方程 F(, y, z) = 0 確定了隱函數 z= (, y)，且 F(, y, z) 有連續偏導數，則有FyFzz = Fy = Fzz例 4 35/47 隱函數的導數 2定理 2設方程 F(, y, z) = 0 確定了隱函數z= (, y)，且 F(, y, z) 有連續偏導數，則 有FyFzz = Fy

15、= Fzz2y2z2+ c2 = 1 確定了隱函數例 4z =設方程+ b22zzy (, y)，求偏導數和 35/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是它的駐點 36/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是它的駐點設 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，則有 36/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是

16、它的駐點設 A = (0, y0)，B = y (0, y0)，C = yy (0, y0)，則有1.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 為極值23 36/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是它的駐點設 A = (0, y0)，B = y (0, y0)，C = yy (0, y0)，則有1.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 為極值若 A 0，則 (0, y0) 為極大值23 36/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y

17、0) 是它的駐點設 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，則有1.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 為極值若 A 0，則 (0, y0) 為極小值23 36/47 定理 3 (極值的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是它的駐點設 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，則有1.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 為極值若 A 0，則 (0, y0) 為極小值2.3如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 不是極值 36/47 定理 3 (極值

18、的充分條件)如果函數 (, y) 在 (0, y0)某鄰域有連續的二階偏導數，且 (0, y0) 是它的駐點設 A = (0, y0)，B = y(0, y0)，C = yy(0, y0)，則有1.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 為極值若 A 0，則 (0, y0) 為極小值2.3.如果 B2 AC 0，則 (0, y0) 不是極值2如果 B AC = 0，則 (0, y0) 是否為極值需另外判定 36/47 條件極值與日乘數法 = (, y)g(, y) = 0問題求函數在約束條件下的極值解法 37/47 條件極值與日乘數法求函數 = (, y) 在約束條件 g(, y) = 0問

19、題下的極值令 L(, y) = (, y) + g(, y)，解法 37/47 條件極值與日乘數法求函數 = (, y) 在約束條件 g(, y) = 0問題下的極值令 L(, y) = (, y) + g(, y)，由解法L (, y) = 0Ly (, y) = 0g(, y) = 0 37/47 條件極值與日乘數法求函數 = (, y) 在約束條件 g(, y) = 0問題下的極值令 L(, y) = (, y) + g(, y)，由解法L (, y) = 0Ly (, y) = 0g(, y) = 0消去 ，解得的 (, y) 即為極值可疑點 37/47 二重積分的計算 I如果積分區域

20、 D 為 X型區域，即有no D =(, y) b, () y ()12二重積分可以用下面公式來計算：b2 () (, y) d = (, y) dyd.1 ()D 38/47 二重積分的計算 II如果積分區域 D 為 Y型區域，即有no D =(, y) y b, (y) (y)12二重積分可以用下面公式來計算：b2 (y) (, y) d = (, y) ddy.1 (y)D 39/47 第五章第六章第七章第八章第九章不定積分定積分 無窮級數多元函數微分方程微分方程的概念定義 1含有未知函數的導數或微分的方程，即形如下面形式的方程F(, y, y, y, , y(n) = 0稱為微分方程階

21、 41/47 微分方程的概念定義 1含有未知函數的導數或微分的方程，即形如下面形式的方程F(, y, y, y, , y(n) = 0稱為微分方程其中微分方程中出現的導數的最高階數 n，稱為微分方程的階 41/47 一階微分方程1.可分離變量微分方程 () d = g(y) dy2.微分方程3一階線性微分方程 42/47 一階微分方程1.可分離變量微分方程 () d = g(y) dy兩邊積分得 () d =g(y) dy2.微分方程3一階線性微分方程 42/47 一階微分方程1.可分離變量微分方程 () d = g(y) dy兩邊積分得 () d =g(y) dy2.微分方程= ( y )dyd3一階線性微分方程 42/47 一階微分方程1.可分離變量微分方程 () d = g(y) dy兩邊積分得 () d =g(y) dy2.微分方程= ( y )dyd令 = y ，得 d+ = ()d3一階線性微分方程 42/47 一階微分方程1.可分離變量微分方程 () d = g(y) dy兩邊積分得 () d =g(y) dy2.微分方程= ( y )dyd令 = y ，得 d+ = ()ddd分離變量，得到= ()3一階線性微分方程 42/47 一階微分方