1、代數式的求值代數式的求值與代數式的恒等變形關系十分密切 許多代數式是先化簡再求值，特別是有附加條件的代數式求值問題， 往往需要利用乘法公式、絕對值與算術根的性質、 分式的基本性質、 通分、約分、根式的性質等等，經過恒等變形， 把代數式中隱含的條件顯現出來， 化簡，進而求值因此，求值中的方法技巧主要是代數式恒等變形的技能、 技巧和方法下面結合例題逐一介紹1利用因式分解方法求值因式分解是重要的一種代數恒等變形， 在代數式化簡求值中， 經常被采用分析 x 的值是通過一個一元二次方程給出的，若解出 x 后，再求值，將會很麻煩我們可以先將所求的代數式變形， 看一看能否利用已知條件解 已知條件可變形為3x

2、2+3x-1=0，所以6x4+15x3+10 x2=(6x 4+6x3-2x2)+(9x 3 +9x2-3x)+(3x 2+3x-1)+1=(3x 2+3x-1)(2z 2 +3x+1)+1=0+1=1說明 在求代數式的值時，若已知的是一個或幾個代數式的值，這時要盡可能避免解方程 ( 或方程組 ) ，而要將所要求值的代數式適當變形， 再將已知的代數式的值整體代入，會使問題得到簡捷的解答例 2 已知 a， b， c 為實數，且滿足下式：a2+b2+c2=1，求 a+b+c 的值解 將式因式分解變形如下即所以a+b+c=0或 bc+ac+ab=0若 bc+ac+ab=0，則(a+b+c) 2=a2

3、+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，所以 a+b+c=1所以 a+b+c 的值為 0，1，-1說明 本題也可以用如下方法對式變形：即前一解法是加一項，再減去一項；這個解法是將3 拆成1+1+1，最終都是將式變形為兩個式子之積等于零的形式2利用乘法公式求值例 3 已知 x+y=m，x3+y3=n，m0，求 x2+y2 的值解 因為 x+y=m，所以3333m=(x+y)=x +y +3xy(x+y)=n+3m xy，所以求 x2+6xy+y2 的值分析 將 x， y 的值直接代入計算較繁，觀察發現，已知中x，y 的值正好是一對共軛無理數，所以很容易計算出x+y 與 xy

4、的值，由此得到以下解法解 x 2+6xy+y2=x2 +2xy+y2 +4xy2=(x+y)+4xy3設參數法與換元法求值如果代數式字母較多， 式子較繁，為了使求值簡便， 有時可增設一些參數 ( 也叫輔助未知數 ) ，以便溝通數量關系， 這叫作設參數法 有時也可把代數式中某一部分式子，用另外的一個字母來替換，這叫換元法分析 本題的已知條件是以連比形式出現，可引入參數 k，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個等式x(a -b)k ，y(b -c)k ，z(c -a)k 所以x+y+z=(a -b)k (b -c)k+(c -a)k=0 u+v+w=1，由有把兩邊平方得u2+v2+w2+2(u

5、v+vw+wu)=1，所以 u2 +v2+w2=1，即兩邊平方有所以4利用非負數的性質求值若幾個非負數的和為零， 則每個非負數都為零， 這個性質在代數式求值中經常被使用例 8 若 x2-4x+|3x -y|= -4，求 yx 的值分析與解 x，y 的值均未知，而題目卻只給了一個方程，似乎無法求值，但仔細挖掘題中的隱含條件可知，可以利用非負數的性質求解因為 x2 -4x+|3x -y|= -4，所以x2-4x4 |3x -y|=0 ，即 (x -2) 2+|3x -y|=0 所以 y x=62 =36例 9 未知數 x，y 滿足(x 2 y2 )m2-2y(x+n)m+y2 +n2=0， 其中

6、m，n 表示非零已知數，求 x，y的值分析與解 兩個未知數，一個方程，對方程左邊的代數式進行恒等變形，經過配方之后，看是否能化成非負數和為零的形式將已知等式變形為222222mx+my+n =0，-2mxy-2mny+y2222y22)=0，即 (mx -y)22=0(mx)+(m+(my-n)-2mxy+y-2mny+n5利用分式、根式的性質求值分式與根式的化簡求值問題， 內容相當豐富，因此設有專門講座介紹，這里只分別舉一個例子略做說明例 10 已知 xyzt=1 ，求下面代數式的值：分析 直接通分是笨拙的解法， 可以利用條件將某些項的形式變一變解 根據分式的基本性質，分子、分母可以同時乘以一個不為零的式子，分式的值不變 利用已知條件， 可將前三個分式的分母變為與第四個相同同理分析 計算時應注意觀察式子的特點，若先分母有理化，計算反而復雜因為這樣一來，原式的對稱性就被破壞了這里所言的對稱性是分利用這種對稱性，或稱之為整齊性，來簡化我們的計算同樣 ( 但請注意算術根！ )將，代入原式有練習2已知 x+y=a，x2+y2=b2，求 x4+y4 的值3已知 a-b+c=3，a2+b2 +c2=29，a3+b3+c3=45，求 ab(a+b)+bc(b+c)+ca(