1、2019北京各區年中、年末考試試題分類匯編-數列注意事項：.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。.選擇題必須使用 2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。.請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答 題無效。.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。1、（2018年海淀區高三期末考試理 3）假設數列an滿足：a1= 19,=an 一3（ N*） ,那么數列以）的前n項和數值最大時，n的值是（B）A.6B.7C.8D.92、（2

2、018年朝陽區高三期末考試理3）設數列a,是公差不為0的等差數列，a1 =1且a1，%,%成等比數列，那么an 的前n項和Sn等于，請選擇你的選項（An2 7nn2 7nn2 3n2A. 88 B. 44 C. 24 D. n n3、（2018年豐臺區高三期末考試理 5）預測人口的變化趨勢有多種方法，“直接推算法”使用的公式是Pn =P0（1其中PN為預測人口數，P0為初期人口數，K為預測年內增長率，N為預測期間隔年數、如果在某一時期有一1K0,那么這期間人口數， 請選擇你的選項（B）A.呈上升趨勢B.呈下降趨勢C.擺動變化D.不變4、（2018年海淀區高三期末考試文 3）數列an滿足：a1=

3、1, an a2+-a2=1（ne N*）,那么使 an 5成立的n的最大值為，請選擇你的選項（C）A.4B.5C.24D.255、（2017年海淀區高三年級第一學期期中練習理3）等差數列GJ中，a1=1,a3 = -3,那么a1 a2 a3 a4 a5 =,請選擇你的選項（B）A.15B.17C. - 15D.166、（2017年海淀區高三年級第一學期期中練習文3）等差數列GJ中，&=1,%=-5,那么a1 _a2 _%_%=,請選擇你的選項（D）A. - 14 B. - 9C.11D.167、（2017年朝陽區高三年級第一學期期中統一考試理4）在各項均為正數的數列aJ中，對任意m，” N都

4、有am =aman、假設a6 = 64 ,那么為等于，請選擇你的 選項（C）A.256B.510C.512D.10248、（順義區2018屆高三尖子生綜合素質展示5）等差數列的前n項的和為Sn ,假設S5 =20 ,那么a1 +2=,請選擇你的選項（B）A.9B.12C.15D.18a9、（2017年東城區高三示范校高三綜合練習（一）文 3）等差數列an的前n項和是S ,假設al+a2 =5,a3+a4=9,那么S10的值為，請選擇你的選項（C）A.55B.60C.65D.7010、（2018年東城區高三期末考試理 1）在等差數列Ian,中，假設a5+a7=4,a6 a8 二-2那么數列bn1

5、的公差等于；其前n項和Sn的最大值為、答案：3； 57。11、（2018年豐臺區高三期末考試理 S5= A8+ 5, S6= A7+A9- 5,那么公差答案：5.12、（2018年豐臺區高三期末考試文 設S1, 2s2, 3s3成等差數列，那么公比9）設SN是等差數列 AN的前D等于、N項和，假設13）設SN是等比數列 AN的前N項和，假Q等于、答案：3。13、（2018年西城區高三期末考試理12） 4是公比為2的等比數列，假設11a3a1=6,那么 a=； a1a21an14、（2017年海淀區高三年級第一學期期中練習理10）在各項均為正數的等比數列an = (1那么 a4=； a10 =列

6、an的各項按如下規律排列:a24有如下運算和結論：=38數列 a1,a2+a3,a4+a5 +a6,a7 +a8 +a9 +a10jM 是an中，假設a2 = 2,那么a1 + 2a3的最小值是。答案：4必。15、（2017年朝陽區高三年級第一學期期中統一考試理10）等差數列Qn，的前n項和為 Sn、假設 a2 =2 , a1 +a11 答案：8; 20o 18、（順義區2018屆高三尖子生綜合素質展示文 9）等差數列（a的前n項的和為 =Sn，假設 S5 =20 ,那么 a1 +2a4 =。 答案：12。 19、（2017年東城區高三示范校高三綜合練習（一）理14）數列an的前N項和為 Sn

7、，假設數 1 1 2 1 2 3 1 2 3 41 2 . n -1 ,，一,-,-, -,-, ,IH, ,-JIL ,IH 2334445555 n n n,那么 S6 = .答案：3016、（2017年海淀區高三年級第一學期期中練習理14）數列A： a1,a2,lll,an（n 2）,A I j i J ,0A） 表示集合TA中元素的個數.假設A :2,4,8,16，那么 card（TA）=；假設 ai+1- a = c（C為常數，1 i n -1）,那么 card（TA）1,c=0=答案:2n 3,c#017、（順義區2018屆高三尖子生綜合素質展示12）設 )(1 -) (1 )22

8、32n2 (n =2,3,)等比2n nTn;數列；數列 a1，a2 *a3，a4 *a5 *a6, a7 *a8 *a9 * a10ll 的前 N項和為4假設一 5存在正整數k,使Sk 10,St*0,則ak=.7其中正確的結論有.（將你認為正確的結論序號都填上） 答案：。20、（2017年東城區高三示范校高三綜合練習（一）文 3）等比數列Ian,滿足2a + a3 = 3a2 且 a3 + 2 是 a2a4的等差中項.（I）求數列an）的通項公式;1bn = an 10g 2n 1(n)假設an , Sn =bl+b2 +一+bn,求使 Sn-2 +470成立的正整數n的最小值.解：（I）

9、設等比數列的首項為a，公比為n2a1 , a3 3a2,a2 a4 = 2( a3 2)2一 2 一a1(2+q )=3a1q, (1).即 (q +q3) = 2a1q2 +4. (2)由(13q2 -3q+2=0 解得 q=1 或q=2當q =1時，不合題意舍;cnn on 1 nn當q =2時，代入(2)得a1 =2,所以，an=22 =2 分1n 1nbn =anlog2210g2 0=2 n(n )an2所以 Sn =2-r 22 -2 23 -3 lit 2n-n=(222 23川 2n) -(1 2 3 川 n)2(1 -2n)n(1 n)7一一21 -2n 1_11 2-2-

10、- n- n2210分n 1 小 112 n 1g nn 12- 2 - 一nn - 247 ：:- 0因為Sn 一247 0,解得門9或門10.13因為n w N故使& -2n +47- 1 a2+a1=Ka2-1 a3 +a2 +a1 = % _1由ai=7向-1可知：？jia3 = 33( - 1)3 TOC o 1-5 h z 1_a1 = a2 =2所以 八 1 ,(3D1)4_23 =因為 a3= a2 ,所以(- 1)(-所以九二。或人=2tn 是等差數列，那么2a2 = a1+ a3由（I ）可得:2所以( 1)22 = + 3 (- 1)2- 1 ( - 1)322- 2+1

11、所以不存在實數九，使得數列0J是等差數列.（田）當=2 時，Sn =2an 一1所以 SnJ. =241(n 22),且 ai = 1.所以 an = 2an _ 2an4 ,即 an = 21/(n * 2)-=2(n - 2) 所以 an #0(n N*),且 an。所以，數列an是以1為首項，2為公比的等比數列 TOC o 1-5 h z 所以 an=2n(” N*). 8分因為 bn卡=an+0,(n =1,2,3, III),且 b1=2,所以 bn= an 二bn1 an 1an _2bn _2= I 11 =anan _2I 11albl=2心 2n1 | 1 3 2_1 (n

12、_2)22當n = 1時，上式仍然成立bn所以2110分二(n N *)2an因為(an + 1) bnn- 1Cn =所以(2n-1 + 1)?2：1(2n-1+1)(2n+ 1)11分 TOC o 1-5 h z 2n-1_11-12分國為(2n-1 + 1)(2n+ 1)2n-1 + 1 2n + 1內力7所以 Tn =G C2 HI Cn1= 2(2-11+ 2+12+ 11.1122n- 1-2+ -n-1- -n) = 1- = 2 + 12+ 1 2 + 12 + 12 + 1 .14分a24、（2017年朝陽區局三年級第一學期期中統一考試理 17）設數列an的前n項和 為&，且

13、 2an =Sn+2n+1 （n 三 N）（I）求 al, a2, &；（!）求證：數列an *2 是等比數列；（in）求數列n a）的前n項和Tn.解：（I）由題意，當n =1時，得2a1 =a1 +3 ,解得a1 =3.當 n =2 時，得 2a2 =(a1 +a2)+55解得 a2 =8.當 n = 3 時，得 2a3 =(a1 +a2 +a3) +7 ,解得 a3 =18所以 a1=3, a2=8, a3 =18為所求.3分(n)因為 2an =Sn +2n +1 ,所以有 2an =S J2n + 3成立.兩式相減得：2a 1 - 2an =an-1 2.所以 an書=2an +2

14、(ne N*),即+2 =2(% + 2).5分所以數列1an +2)是以a1 +2 =5為首項，公比為2的等比數列7分(田)由。)得：an+2=5R; 即 an=5M2n-2(nw *).那么nan=5n 2n-2n (nw N)8分t5n 2n設數列的刖n項和為n ,那么 Pn =5x1x20 +5x2x21 +5父3/ 22+.+5/(n 1)，2+5口2所以 2Pl =5x1x21 +5x2x22 +5x3x23 + 5(n1) 2n,+5n 2n所以Pn =5(1+21 +22 +.+2n,)-5n 2n ,即 Pn=(5n-5) 2n +5 (nw N).11 分；n a ；T (

15、5n -5) 2n 5-2 n(n 1)所以數列n an的前n項和Tn =2,整理得,1=(5n - 5) 2n - n2 - n + 5 (n w N )13 分25、(順義區2018屆高三尖子生綜合素質展示文 16)等比數列an中，a1 =2,a4 =16 .(I)求數列an的通項公式；(n)假設a3,a5分別為等差數列0的第4項和第16項，試求數列bn的前n項和S.解：(I)設an的公比為q,3由得16=2q ,解得q = 2 3分又 a1 =2,所以 an =a1qn=2M2n=2n. 6分(n)由(I)得 a2 =8, a5=32,那么 b4=8,蕖=32.h 3d =8,b1=2,

16、10分那么數列bn的前n項和Sn 巾+n(n -1)n( n -1)2d =2n2 =n2 n.13分26、（順義區2018屆高三尖子生綜合素質展示 17）設數列an的前n項和為Sn ,a1 =1 , Sn =nan -n（n-1）（ne N6（ i）求 an 的表達式；（n ）假設數列1前n項和為an an1100T n , Tn,問：滿足 209的最小正整數n是多少?解：(I)當門22 時，an = S Sn/=nan (n1)an_1 -25-1) 2 分= an - an 1 = 2 n - 2)二數列an是以a1二1為首項，以2為公差的等差數列anan(n)Tn = 2n-6分數列a

17、nan書的前n項和為a1a2a2a31111+ = + +anan 11 3 3 5(2n -1) (2n 1)1 1 11 111二蒲一3) (3 一5) (5 一7)(1 八 1、 n (1 一 ) -2 2n 1 2n 1n 100100 n =2n 1 209 =9 -滿足2n -1 2n 1)丁 100Tn209的最小正整數n是12.13分10分27、（2017年東城區高三示范校高三綜合練習（一）理19）數列QJ滿足a1 2)設*的公差為d,那么有bi15d =32,解得1d =N(I)試判斷數列(n)Cn設Tn 2n-1 2n，一 ,2n 2n 12n2n -1 2n -1,那么a

18、n2n 2n 12n-1 yi 2n-112分a1a2a3 Ian所以2n 12n -114分29、(2018年昌平區高三期末考試文16)數列an是等差數列，a3=10,a6=22.數列bn的前N項和是Sn ,且Sn1bn =13. (I)求數列an的通項公式；(II )求證:數列bn是等比數列;解：（1）由ai 2d =10,a1 + 5d = 22. 解得 ai = 2 d = 4.an =2 (n -1) 4 =4n -2.c1Sn =1 -bn(2)由于3,，, 1，b1 = 1 - - b1.令n = 1,得 3解得b1=4,當 n2時,o d 1 uSn J = 1 - bn_13

19、(2得bn Jbn3一 3bnbnA_ bn3;數列bn是以4為首項,14為公比的等比數列.13分30、（2018年東城區高三期末考試文 16）在等差數列Ian1中，a1 =3,其前n項和q = S2為Sn,等比數列% ）的各項均為正數，b1 =1,公比為q ,且b2 * & =12,b2、c二工（I）求an與bn； （n）設數列cn）滿足n Sn ,求cn的前n項和Tn、解：（I）設QJ的公差為d,b2 S2 =12,q 6 d =12,S26 dq=i,q=因為b2所以L q解得 q=3或 q = Y (舍)，d =3、故an =3+3(n-1)=3n, bn =3：Q n(3 3n)Sn

20、 一 TOC o 1-5 h z (n)因為2,122,11 、=二一(一一)所以 Cn =Snn(3 + 3n)3 n n+1、11 分故Tn211115（1一2）（5 小卜（n馬胃口二嵩13分31、（2018年昌平區高三期末考試理18）數列an是等差數列,a3=10，a6 =22 ,-1 ,一 lb 1 ,、，TTnT bn - 1數列bn)的前N項和是Tn ,且 3（I）求數列an的通項公式;(II )求證:數列bn是等比數列；（III ）記Cn =an bn,求證：Cn書 g解：（1）由31 +2d =10,1 + 5d = 22.解得 a = 2, d = 4.an =2 (n -1

21、) 4 =4n -2.， 1，Tn = 1bn(2)由于3,，, 1，b1 = 1b1.令n = 1,得 3b1 解得3_1 ,Tn=1 - bn J4 ,當n之2時，3 得bnfnd -1bn3bnbn -14b1=3;。又 4bnbn3:數列bn是以4為首項,4為公比的等比數列.b（3）由（2）可得n 4ncn =3n bn9分3(4n -2)4n10分cn 1 cn34(n 1) -23(4n -2)30 -36n4n4n 113分- n - 1 故 cn 書cn 0.”，cn4t cn.32、（2018年東城區高三期末考試理 16）在等差數列GJ中，a2 (i)求 an與 bn； (

22、n)證明：31 ,所以 n+1 4 2 ,于是11一 1 ：二12 D , a =2 ,0=ln an(n - N ),數列bJ 的前 n項和為 且 n 之 2)、(I )假設數列an是等差數列,a1 #a2 ,且 f (an) - f (ani = k(an- an、)(K為非零常*數，nN且n22),求k的值；S(m 1) nSn,對于給定的正整數 m,如果 Sn的值與N無關，求K的值、解：(I)當n之2時，因為 an = f (anjL) , f (an) - f (anJ) = k(an -anjL) ,所以 an 書-an = f (an) - f (an)=k(an an)、因為數

23、列an是等差數列，所以an 4 - an = an - an、因為an由一 an = k(an an)，所以k = 1、6分(II )因為 f(X)=kx(k 1), a1=2,且 an 書= f(an),所以 an =kan、所以數列an是首項為2,公比為k的等比數列，所以an =2卜，所以 bn =lnan =ln2 (n -L)lnk因為bn bn=ln k所以bn是首項為In 2 ,公差為In k的等差數歹h(b1 b )n(n -1)c = 1 n nln 2 7 In k所以Sn2 L 2 J因為S(m 1)nSrn(m L)n-1, (m 1)nln 2In k(mn -1),

24、mnln 2In k_ (m 1)(m 1)nIn k 21n 2-In kmmnInk 2In 2 - In kS(m 1)n又因為 Smn的值是一個與N無關的量,21n 2 - In k _ 21n 2 In k 所以 mn In k (m 1)n In k解得k =4、13分(2018年豐臺區高三期末考試理 20)假設有窮數列 AN1滿足：(1)首項A1 =1,末項 AMh K, (2) AN+ 1 = AN+ 1 或 AN+ 1 = 2AN ( N= 1 , 2,，Mb 1),那么稱數 列AN為K的M階數列、(I )請寫出一個10的6階數列；(II)設數列 BN是各項為自然數的遞增數列

25、，假設k =2b +2b2 +2b3卅+2%叫且l A 2),求m的最小值、解：(I) 1, 2,(n)由在數列3, 4AN當am為偶數時,am2(am2),或 am=am-1作、am 2)1 2)要使項數M最小，只需 2當AM為奇數時，必然有am=am -1(am2) , am是偶數，可繼續重復上面的操所以要使項數M最小，只需遇到偶數除以 2,遇到奇數那么減1、因為 am =k=2 +2b2 +2b3 +|+2b 且 0wb1cb2b3lllb只需除以b1次2,得至ij 1+2b2劣+2與1十|+2bl1為奇數；減1,得到2b21 +2必必 +lll+2b1 為偶數,再除以b2 f次2,得到

26、1+2b3與+|+2bl3 ；再減1,得到2b3 訓+2b也為偶數,最后得到2bl*J為偶數,除以b -bl次2,得到1,即為a15, 10 或 1, 2, 4, 8, 9, 10、 2分中 AN+ 1 = AN+ 1 或 AN+ 1 = 2AN、13分所以 m = h +(b2 b1)十(b3 b2)+川+(b tu)十(l 1) + 1 = b + l(2018年朝陽區高三期末考試理20)數列an, bn (n*，2,3,川)由以下條件確定：a1 0;當k之2時，ak與bk滿足：當akl +bk之0時，ak =aj,aak J , bk J.bk = -2；當匕+*b2bs（s3,且sW N *）,試用 a1，bl 表示(I)假設 aL1, bl =1 ,寫出 a2，a3,a4.h k (1,2, ,s.iC1 = c（田）在（I）的條件下，設數列（Cn （n* N ）滿足 2 , Cn H0,2 a22Cn 1cn - cnmam（其中m為給定的不小于2的整數），求證：當nwm時，恒（I）解：因為a1 , b1b2=0,所以 a2 =a1 = -1,2 b TOC o 1-5 h z a2b21a