1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-微積分期末測試第一學(xué)期期末考試試題 ( B )試題號(hào)一二三四總分考分閱卷人一.選擇題（每小題只有一個(gè)正確答案，請(qǐng)把正確答案前的字母填入括號(hào)，每題2分，共30分） 1. 函數(shù)的定義域是（A）；(A) (B) (C) (D) 2. 函數(shù)的漸近線有（）；3. 設(shè)函數(shù),則該函數(shù)是(A)(A) 奇函數(shù) (B) 偶函數(shù) (C) 非奇非偶函數(shù) (D) 既奇又偶函數(shù)4. 下列函數(shù)中，與關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)是（A）； 5. 若，則點(diǎn)是函數(shù)的（）；左連續(xù)點(diǎn)右連續(xù)點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)6. 已知點(diǎn)（1，3）是曲線的駐點(diǎn)，則的值是（B）（A） （B） （C） （D） 7. 當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)極限不存在的是（C）；8. 極限

2、 （C）；不存在9.下列函數(shù)中在，上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是（C）；10若函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，則極限（C）；11. 時(shí)，下列函數(shù)中，與不是等價(jià)無窮小量的函數(shù)是（C）(A) (B) (c) (D) 12.下列極限中，極限值為的是（）；13. 若，則（D）；14.函數(shù)，在區(qū)間，內(nèi)，滿足拉格朗日中值定理的條件，其中（）；15.若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，則（）二.計(jì)算題（每小題7分，共56分）1.，求分解：7分 2. 求極限 7分5分分解：3. 求曲線 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線方程解：時(shí)，代入方程得 ；方程兩邊對(duì)求導(dǎo)得 分，將代入，得分，故所求的切線方程為分，即4. 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，求常數(shù)和解：由已知在連續(xù)，且分可得 = 1

3、 * GB3 又因在處可導(dǎo)，且分又得代入 = 1 * GB3 得分故5. 求函數(shù)的上凸區(qū)間、下凸區(qū)間與拐點(diǎn)2分解：列表討論如下：x _0 + -0_ y 拐點(diǎn) 拐點(diǎn)7分 6. 求 7分4分2分解： 7. 求 2分解：5分移項(xiàng)可得7分 分分分7分6分8. 已知是的一個(gè)原函數(shù)，求 三.證明題（本題6分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)在內(nèi)存在且單調(diào)減少，又，證明不等式：（其中是常數(shù)且滿足：）證明：時(shí)，時(shí)，在區(qū)間和上，滿足拉格朗日定理?xiàng)l件，3分又在上單調(diào)減少，而即6分故有（其中是常數(shù)且滿足：）四應(yīng)用題（本題8分）設(shè)生產(chǎn)個(gè)產(chǎn)品的邊際成本為，其固定成本（即時(shí)的成本）為100元，產(chǎn)品單價(jià)規(guī)定為元，假定生產(chǎn)出的產(chǎn)

4、品都能完全銷售，求生產(chǎn)量為多少時(shí)利潤最大？最大利潤是多少？2分解：由已知，邊際成本由固定成本為100，可得 于是有： 成本函數(shù)： 收入函數(shù)：4分利潤函數(shù)：7分由，得唯一駐點(diǎn)，又由，可知，駐點(diǎn)是極大值點(diǎn)，同時(shí)也是最大值點(diǎn)。因此，當(dāng)生產(chǎn)量為200時(shí)，總利潤最大。8分最大利潤為。三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 .答 題 不 要 超 過 密 封 線.20082009學(xué)年第一學(xué)期高等數(shù)學(xué) = 1 * ROMAN I(上)期末考試試卷A 注意：1、本試卷共 3 頁； 2、考試時(shí)間120分鐘 3、姓名、學(xué)號(hào)必須寫在指定地方 閱卷負(fù)責(zé)人簽名： 題號(hào)一二三四五六七總分得分閱卷人得分一、填空題（共5

5、個(gè)小題，每小題2分，共10分）.1、函數(shù)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 .2、設(shè)函數(shù)由方程所確定，則= .3、 .4、物體在力的作用下從沿直線移動(dòng)到，且力的方向指向軸正向，則力在物體移動(dòng)過程中所做的功為 .5、微分方程的通解為 .閱卷人得分二、單項(xiàng)選擇題（共10個(gè)小題，每小題2分，共20分）將每題的正確答案的代號(hào)A、B、C或D填入下表中.題號(hào)12345678910答案1、下列各項(xiàng)中函數(shù)相同的是（ ） A. ； B. ；C. ； D. .2、下列極限中不正確的是（ ）A. ；B. ；C. ；D. . 3、=（ ）A. 1； B. 2； C. 3； D. 4.4、設(shè)，則在處的（ ）A. 左、右導(dǎo)數(shù)都存在； B.

6、左導(dǎo)數(shù)存在、右導(dǎo)數(shù)不存在；C. 左導(dǎo)數(shù)不存在、右導(dǎo)數(shù)存在； D. 左、右導(dǎo)數(shù)都不存在.5、設(shè)，則是的（ ）A. 可去間斷點(diǎn)； B. 第二類間斷點(diǎn)； C. 跳躍間斷點(diǎn)； D. 連續(xù)點(diǎn).6、設(shè)在上，則下面正確的為（ ）.A； B；C； D.7、下列等式中不正確的是（ ）A. ； B. ；C. ； D. .8、下列計(jì)算正確的是（ ）A. ；B. ，；C. ；D. 9、（ ）A. 0； B. ； C. ； D. .10、已知是某二階非齊次線性微分方程的三個(gè)解，則該方程的通解為（ ）A. ； B. ；C. ； D. .閱卷人得分三、計(jì)算下列各題（每小題6分，共18分）. 1、已知，求. 三峽大學(xué) 試卷紙

7、 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 .答 題 不 要 超 過 密 封 線.2、計(jì)算極限.3、計(jì)算極限.閱卷人得分四、計(jì)算下列各題（每小題6分，共18分）1、； 2、已知，求；3、求微分方程的通解.閱卷人得分三峽大學(xué) 試卷紙 教學(xué)班號(hào) 序號(hào) 學(xué)號(hào) 姓名 .答 題 不 要 超 過 密 封 線.五、解下列各題（每小題6分，共18分）1、求函數(shù)的極值. 2、證明：當(dāng)時(shí)，.3、已知是的一個(gè)原函數(shù)，求.閱卷人得分六、（8分）設(shè)由曲線，直線及軸所圍圖形為T. （1）求T的面積； （2）求T繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 閱卷人得分七、（8分）設(shè)光滑曲線過原點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于一段曲線的弧長為，求.習(xí)題42 1. 在下

8、列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù)使等式成立(例如: (1) dxd(ax); 解dxd(ax). (2) dx d(7x3); 解dx d(7x3). (3) xdx d(x2); 解xdx d(x2). (4) xdx d(5x2); 解xdx d(5x2). (5); 解 . (6)x3dx d(3x42); 解x3dx d(3x42). (7)e 2x dx d(e2x); 解e 2x dx d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定積分(其中a, b, w,

9、 j均為常數(shù)): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15); 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (3

10、1); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 習(xí)題51 1. 利用定積分定義計(jì)算由拋物線y=x21, 兩直線x=a、x=b(ba)及橫軸所圍成的圖形的面積. 解 第一步: 在區(qū)間a, b內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)(i1, 2, , n1), 把區(qū)間a, b分成n個(gè)長度相等的小區(qū)間, 各個(gè)小區(qū)間的長度為: (i1, 2, , n). 第二步: 在第i個(gè)小區(qū)間xi1, xi (i1, 2, , n)上取右端點(diǎn), 作和 . 第三步: 令maxD

11、x1, Dx2, , Dxn, 取極限得所求面積 . 2. 利用定積分定義計(jì)算下列積分: (1)(a0, 所以函數(shù)f(x)x arctan x在區(qū)間上單調(diào)增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函數(shù)在區(qū)間0, 2上的最大值M與最小值m. , 駐點(diǎn)為. 比較f(0)1, f(2)e 2, ,得, Me 2. 于是 , 即 . 7. 設(shè)f(x)及g(x)在a, b上連續(xù), 證明: (1)若在a, b上f(x)0, 且, 則在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 則; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 則在ab上f(x)g(x). 證

12、明 (1)假如f(x)0, 則必有f(x)0. 根據(jù)f(x)在a, b上的連續(xù)性, 在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x0)0, 且f(x0)為f(x)在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是 . 這與條件相矛盾. 因此在a, b上f(x)0. (2)證法一 因?yàn)閒(x)在a, b上連續(xù), 所以在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x0)0, 且f(x0)為f(x)在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是 . 證法二 因?yàn)閒(x)0, 所以. 假如不成立. 則只有

13、, 根據(jù)結(jié)論(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)g(x)f(x), 則在a, b上F(x)0且 , 由結(jié)論(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根據(jù)定積分的性質(zhì)及第7題的結(jié)論, 說明下列積分哪一個(gè)的值較大: (1)還是？ (2)還是？ (3)還是？ (4)還是？ (5)還是？ 解 (1)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí), x2x3, 所以. 又當(dāng)0 xx3, 所以. (2)因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以. (3)因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x(ln x)

14、2, 所以. (4)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí), xln(1+x), 所以. 又因?yàn)楫?dāng)0ln(1+x), 所以. (5)設(shè)f(x)ex1x, 則當(dāng)0 x1時(shí)f (x)ex10, f(x)ex1x是單調(diào)增加的. 因此當(dāng)0 x1時(shí), f(x)f(0)0, 即ex1+x, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)01+x, 所以. 習(xí)題42 1. 在下列各式等號(hào)右端的空白處填入適當(dāng)?shù)南禂?shù)使等式成立(例如: (1) dxd(ax); 解dxd(ax). (2) dx d(7x3); 解dx d(7x3). (3) xdx d(x2); 解xdx d(x2). (4) xdx d(5x2); 解xdx d(5x2). (5); 解 .

15、(6)x3dx d(3x42); 解x3dx d(3x42). (7)e 2x dx d(e2x); 解e 2x dx d(e2x). (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 . (13); 解 . (14). 解 . 2. 求下列不定積分(其中a, b, w, j均為常數(shù)): (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 . (4); 解 . (5); 解 . (6); 解 . (7); 解 . (8); 解 . (9); 解 . (10); 解 . (11); 解 . (12); 解 (13); 解 . (14); 解 . (15);

16、 解 . (16); 解 . (17); 解 . (18); 解 . (19); 解 . (20); 解 . (21); 解 . (22); 解 . (23); 解 . (24); 解 . (25); 解 . (26); 解 . (27); 解 . (28); 解 . (29); 解 . (30); 解 . (31); 解 . (32); 解 . (33); 解 . (34)(0); 解 , . (35); 解 . 或 . (36); 解 . (37); 解 . (38); 解 . (39); 解 . (40). 解 . 習(xí)題51 1. 利用定積分定義計(jì)算由拋物線y=x21, 兩直線x=a、x

17、=b(ba)及橫軸所圍成的圖形的面積. 解 第一步: 在區(qū)間a, b內(nèi)插入n1個(gè)分點(diǎn)(i1, 2, , n1), 把區(qū)間a, b分成n個(gè)長度相等的小區(qū)間, 各個(gè)小區(qū)間的長度為: (i1, 2, , n). 第二步: 在第i個(gè)小區(qū)間xi1, xi (i1, 2, , n)上取右端點(diǎn), 作和 . 第三步: 令maxDx1, Dx2, , Dxn, 取極限得所求面積 . 2. 利用定積分定義計(jì)算下列積分: (1)(a0, 所以函數(shù)f(x)x arctan x在區(qū)間上單調(diào)增加. 于是 , . 因此 , 即 . (4)先求函數(shù)在區(qū)間0, 2上的最大值M與最小值m. , 駐點(diǎn)為. 比較f(0)1, f(2

18、)e 2, ,得, Me 2. 于是 , 即 . 7. 設(shè)f(x)及g(x)在a, b上連續(xù), 證明: (1)若在a, b上f(x)0, 且, 則在a, b上f(x)0; (2)若在a, b上, f(x)0, 且f(x)0, 則; (3)若在a, b上, f(x)g(x), 且, 則在ab上f(x)g(x). 證明 (1)假如f(x)0, 則必有f(x)0. 根據(jù)f(x)在a, b上的連續(xù)性, 在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x0)0, 且f(x0)為f(x)在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是 . 這與條件相矛盾. 因

19、此在a, b上f(x)0. (2)證法一 因?yàn)閒(x)在a, b上連續(xù), 所以在a, b上存在一點(diǎn)x0, 使f(x0)0, 且f(x0)為f(x)在a, b上的最大值. 再由連續(xù)性, 存在c, da, b, 且x0c, d, 使當(dāng)xc, d時(shí), . 于是 . 證法二 因?yàn)閒(x)0, 所以. 假如不成立. 則只有, 根據(jù)結(jié)論(1), f(x)0, 矛盾. 因此. (3)令F(x)g(x)f(x), 則在a, b上F(x)0且 , 由結(jié)論(1), 在a, b上F(x)0, 即f(x)g(x). 4. 根據(jù)定積分的性質(zhì)及第7題的結(jié)論, 說明下列積分哪一個(gè)的值較大: (1)還是？ (2)還是？ (3

20、)還是？ (4)還是？ (5)還是？ 解 (1)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí), x2x3, 所以. 又當(dāng)0 xx3, 所以. (2)因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), x2x3, 所以. (3)因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x1, ln x(ln x)2, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)1x2時(shí), 0ln x(ln x)2, 所以. (4)因?yàn)楫?dāng)0 x1時(shí), xln(1+x), 所以. 又因?yàn)楫?dāng)0ln(1+x), 所以. (5)設(shè)f(x)ex1x, 則當(dāng)0 x1時(shí)f (x)ex10, f(x)ex1x是單調(diào)增加的. 因此當(dāng)0 x1時(shí), f(x)f(0)0, 即ex1+x, 所以. 又因?yàn)楫?dāng)01+x,

21、所以. 0304浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）參考答案一、 1、 2、 3、 4、1 5、-1二、 1、C 2、D 3、D 4、A 5、A 三、1、6， 2、， 3、， 4、單調(diào)增加，單調(diào)減少， 5、，6、， 7、1， 8、。四、五、0304浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）參考答案一、1、(0, 2), 2、0, 3、ln2, 4、 ， 5、 ， 6、7、， 8、4， 9、10. 2/e二、A B D B B三、1、1/2， 2、1， 3、4、 5、 6、 四、1、 2、 五、a=2, b=3, c=00506浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）參考答案一、 1； 2.； 3. 2；4. ； 5.； 6.； 7.

22、； 8. ； 9.； 10.二、1. A 2. C 3. D 4. B 5. B.三、1.原式= （6分）2. （2分） （5分） 聯(lián)立解得 a = 7， b = 6. （6分）3. ， （3分） （6分）4. 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得 （4分） (6分) 6. 原式= （4分）= （6分）7. 四、1. 拋物線在點(diǎn)（0，3）的切線為y = 4x3，在點(diǎn)（3，0）的切線為y = 2x+6，兩切線的交點(diǎn)為。 （5分） 所求面積A= = （9分）2. 圓柱體體積V= （3分） 由，得駐點(diǎn)， （7分）由，知當(dāng)， （9分）五、證 ，； （2分）， . （3分）因?yàn)?,（5分）所以具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。0607

23、浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）參考答案一、； 2.； 3. ；4. ； 5.； 6.； 7.； 8. ； 9.； 10.二、1. D 2. B 3. A 4. C 5. B.三、1. 2； 2. ； 3.在不可導(dǎo)， ；4. ； 5. ； 6. 7. 四、1. (1)時(shí)面積 最大 (2) 2. 建立x軸向下的坐標(biāo)系，取x為積分變量0708浙江工商大學(xué)高等數(shù)學(xué)（上）參考答案一、 1.； 2.0； 3.；4.； 5. 二、1. B 2. A 3. B 4. D 5. B.三、1. ； 2. ； 3. ；4. 凸區(qū)間，凹區(qū)間，拐點(diǎn)凸區(qū)間； 5. ； 6. 7. 四、1. 2. 五、應(yīng)用羅爾定理。08/09

24、高等數(shù)學(xué)（上）(A)參考答案一填空：1. 2. 3. 4 5二選擇：1. D 2. D 3. B 4. C 5. B三. 計(jì)算題(一)(,每小題6分,共24分)1解：原式 (3分) (6分)2解：時(shí) (1分)方程兩邊對(duì)求導(dǎo)： (4分)方程兩邊再對(duì)求導(dǎo)：(6分)3.解：令， (2分) (3分)(令) (5分)原式 (6分)4. 解：，一階線性方程， (1分) (5分)由，所以解為 (6分)四、計(jì)算題(二)(每題8分,共24分)1.解 (1) ,(1分) ;(2分)又,所以在處的連續(xù).(3分) (2)當(dāng)時(shí),令,解得.又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),所以是函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn).(6分) 當(dāng)時(shí),故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)無駐點(diǎn),從

25、而無極值點(diǎn).由(1)知函數(shù)在處連續(xù);又由前面的討論知,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)減,在內(nèi)單調(diào)增,所以是的一個(gè)極大值點(diǎn).(8分)2.解 令,則,(2分)即 , .(4分)積分后化簡得方程,(6分)解此方程得及,故有兩個(gè)解 及 .(8分)3. 解：(4分)，原式 (8分)五、應(yīng)用題(每小題8分,共16分)1解： (2分) (5分) (7分)因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，問題具有實(shí)際意義，所以該駐點(diǎn)即為所求最大值點(diǎn)，即球員在距離底線米處起腳射門將獲得最大張角. (8分)解：切線方程 (2分)面積 (5分)體積 (8分)六、證明題(6分)證明：設(shè)， 則在上連續(xù)且可導(dǎo). ，由零點(diǎn)定理知，在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使，即. (3分)假設(shè).

26、 根據(jù)羅爾定理，.這與矛盾. 故假設(shè)不成立.綜上所述，在內(nèi)有且僅有一個(gè)，使. 浙江工商大學(xué)200 3/2004學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)(上) 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限：120分鐘班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 得分： .一、填空(每小題3分，滿分15分)1、 2、設(shè)，則 3、曲線在處切線方程的斜率為 4、已知連續(xù)可導(dǎo)，且， 5、已知，則 二、單項(xiàng)選擇(每小題3分，滿分15分)1、函數(shù)，則 ( )A、當(dāng)時(shí)為無窮大 B、當(dāng)時(shí)有極限C、在內(nèi)無界 D、在內(nèi)有界2、已知，則在處的導(dǎo)數(shù)( )A、等于0 B、等于1 C、等于e D、不存在3、曲線的拐點(diǎn)是( )A、 B、 C、 D、4、下列廣義

27、積分中發(fā)散的是( )A、 B、 C、 D、5、若與在內(nèi)可導(dǎo)，則必有( )A、 B、C、 D、三、計(jì)算題（每小題7分，共56分）答題要求：寫出詳細(xì)計(jì)算過程1、求 2、求3、設(shè)由確定，求。4、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。5、，求6、求7、求8、在曲線上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)切線被兩坐標(biāo)軸所截的線段最短。四、應(yīng)用題(滿分8分) 答題要求：寫出詳細(xì)計(jì)算過程一個(gè)圓錐形的容器，頂朝上，底邊半徑1米，高2米，盛滿水，要將水全部抽出底面需要做多少功？五、(本題滿分6分) 設(shè)是上非負(fù)連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)增加。(1)對(duì)任意給定的常數(shù)，求常數(shù)，使得(2)證明(1)中所得的是惟一的。答題要求：寫出詳細(xì)過程。浙江工商大學(xué)200 4

28、/2005學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)(上) 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限：120分鐘班級(jí)： 學(xué)號(hào)： 姓名： 得分： .一、填空(每小題2分，滿分20分)1、的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?2、 3、函數(shù)在處連續(xù)，則 4、 5、設(shè)，則 6、設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo)，則 7、已知，則 8、 9、的特解形式(不必精確計(jì)算)為 10、已知，則 二、單項(xiàng)選擇(每小題3分，滿分15分)1、函數(shù)在 處( )A、連續(xù)且可導(dǎo) B、連續(xù)不可導(dǎo)C、可導(dǎo)不連續(xù) D、不連續(xù)且不可導(dǎo)2、當(dāng)時(shí)，變量是的( )A、等價(jià)無窮小 B、同階無窮小但不等價(jià) C、高階無窮小 D、低階無窮小3、曲線在 內(nèi)的一段弧是( )A、上升，凹的

29、B、上升，凸的 C、下降，凹的 D、下降，凸的4、廣義積分是收斂的，則滿足( )A、 B、 C、 D、5、設(shè)在區(qū)間上，由中值定理，必有( )A、 B、C、 D、三、計(jì)算題（每小題6分，共36分）答題要求：寫出詳細(xì)計(jì)算過程1、求 2、求3、利用變換求微分方程的通解。4、求 5、6、設(shè)，求四、計(jì)算下列各題(每小題7分，滿分14分) 答題要求：寫出詳細(xì)計(jì)算過程1、設(shè)平面圖形由所圍成，求的面積，并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的體積。2、求曲線在處的切線方程。五、 (本題滿分9分) 答題要求：寫出詳細(xì)計(jì)算過程試確定的值，使拋物線滿足：(1)過點(diǎn)和；(2)曲線向上凸；(3)與軸所圍的面積最小。六、(本題滿分6分)

30、 設(shè)是上連續(xù)，單調(diào)非減且，試證函數(shù)，在上連續(xù)且單調(diào)非減(其中)。答題要求：寫出詳細(xì)過程。浙江工商大學(xué)2005 /2006學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（上） 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限： 120分鐘班級(jí)名稱： 學(xué)號(hào)： 姓名： 一、填空（每小題2分，滿分20分）1 2則c = 3函數(shù)，在處連續(xù)，則a = 4設(shè)，則 5設(shè)則 6已知曲線在x =1處取到極值，則a、b應(yīng)滿足條件 7已知，則f（x）= 8 9設(shè)f（x）在存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則10微分方程的特解形式 _二、單項(xiàng)選擇（每小題3分，滿分15分）1則x = 0是f（x）的（ ）。 （A）連續(xù)點(diǎn) （B）可去間斷點(diǎn) （C）無窮間斷點(diǎn)

31、 （D）跳躍間斷點(diǎn)2當(dāng)，下列無窮小中與x不等價(jià)的是（ ）。 （A） （B） （C） （D）3曲線的拐點(diǎn)是（ ）。 （A）2 （B） （C） （D）4、若是微分方程三個(gè)線性無關(guān)的解，是任意常數(shù)，則該方程的通解為 ( )(A) (B) (C) (D) 5設(shè)兩曲線 y = f（x）與 y = g（x）相交于兩點(diǎn)（x1，y1）和（x2，y2），且，則此兩曲線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積為（ ）。 （A） （B） （C） （D）三、計(jì)算下列各題（每小題6分，滿分42分）求 設(shè) ，求a，b的值。已知，求4設(shè)，求5求6求7、求微分方程的通解。四、應(yīng)用題（每小題9分，滿分18分）求拋物線及其在點(diǎn)

32、（0，3）和（3，0）處的切線圍成圖形的面積。設(shè)圓錐體的母線長a為常數(shù)，試確定其高h(yuǎn)，使圓錐體體積達(dá)到最大。五、證明題（本題滿分5分）設(shè)在內(nèi)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，試證：具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)。浙江工商大學(xué)2006/2007學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（上） 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限： 120分鐘班級(jí)名稱： 學(xué)號(hào)： 姓名： 一、填空（每小題2分，滿分20分）1設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閯t的定義域?yàn)?2 3設(shè)函數(shù) 在處連續(xù)，則a = 4已知，則 5設(shè)，則 6 7已知，則f（x）= 8微分方程的通解為 9設(shè)，則 10設(shè)二階可導(dǎo)，則 _二、單項(xiàng)選擇（每小題3分，滿分15分）1當(dāng)時(shí)，是的（ ） （

33、A）高階無窮小 （B）同階無窮小，但不是等價(jià)無窮小（C）低階無窮小 （D）等價(jià)無窮小2設(shè)，則（ ） （A）（B）（C）（D）3設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且當(dāng)，則當(dāng)，曲線（ ）（A）單調(diào)上升，曲線是凸的 （B）單調(diào)下降，曲線是凸的 （C）單調(diào)上升，曲線是凹的 （D）單調(diào)下降，曲線是凹的4、在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理?xiàng)l件的是( )(A) (B) (C) (D) 5下列廣義積分收斂的是（ ） （A） （B） （C） （D）三、計(jì)算下列各題（每小題6分，滿分42分）求 若 ，求。(1)討論函數(shù)在處的可導(dǎo)性；(2)在的可導(dǎo)點(diǎn)求其導(dǎo)數(shù)。4求曲線在拐點(diǎn)處的切線方程。5求6設(shè)是的一個(gè)解，求此微分方程滿足的解。7、已知

34、，求四、應(yīng)用題（每小題9分，滿分18分）設(shè)區(qū)域由曲線，及直線所圍成，其中 問為何值時(shí)，的面積最大？求此時(shí)該區(qū)域繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積。底邊為正方形的正四棱錐容器，頂點(diǎn)朝下，底邊長為2米，高為2米，盛滿水，要將水全部抽出底面，需做多少功？五、證明題（本題滿分5分）函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，且，試證：存在一點(diǎn)，使得。浙江工商大學(xué)2007/2008學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（上） 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限： 120分鐘班級(jí)名稱： 學(xué)號(hào)： 姓名： 一、填空（每小題3分，滿分15分）1設(shè)，在內(nèi)連續(xù)，則 2如果為偶函數(shù)，且存在，則 3 4 5微分方程設(shè)的特解形式 二、單項(xiàng)選擇（每小題3

35、分，滿分15分）1當(dāng)時(shí)，下列無窮小與不等價(jià)的是（ ） （A） （B）（C） （D）2已知，則是函數(shù)的（ ） （A）無窮型間斷點(diǎn) （B）有限跳躍間斷點(diǎn)（C）可去間斷點(diǎn) （D）振蕩間斷點(diǎn)3設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)，且，則，則是的（ ）（A）極大點(diǎn) （B）極小點(diǎn) （C）駐點(diǎn) （D）拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)4、若是的一個(gè)原函數(shù)，則 ( )(A) (B) (C) (D) 5設(shè)在區(qū)間上，令，則（ ） （A） （B） （C） （D）三、計(jì)算下列各題（每小題7分，滿分49分）求 設(shè)是由所確定的隱函數(shù)，求。已知 ，且存在且不為零，求。求函數(shù)的凹或凸的區(qū)間及拐點(diǎn)。5求6、設(shè)函數(shù)，計(jì)算7設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，并滿足方程，求。四、綜

36、合應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）1. 平面上通過已知點(diǎn)引一直線，要使它在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正的，且截距之和為最小，求此直線方程。2. 求曲線所圍成的平面圖形的面積，并求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。五、證明題（本題滿分5分）函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，而，試證：存在一點(diǎn)，使得。浙江工商大學(xué)2008/2009學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷課程名稱： 高等數(shù)學(xué)（上） 考試方式： 閉卷 完成時(shí)限： 120分鐘班級(jí)名稱： 學(xué)號(hào)： 姓名： 一、填空（每小題3分，滿分15分）1已知在點(diǎn)連續(xù)，則 2曲線的拐點(diǎn)是 3 4 已知，且，則 5微分方程設(shè)的通解是 二、單項(xiàng)選擇題（每小題3分，滿分15分）1

37、是函數(shù)在點(diǎn)取得極值的（ ） A. 充分條件 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 既非充分又非必要條件2（ ） A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 不存在3曲線段的弧長為（ ）A. B. C. D. 24下列廣義積分收斂的是（ ） A. B. C. D. 5. 若是微分方程三個(gè)線性無關(guān)的解，是任意常數(shù)，則該方程的通解為 ( )A. B. C. D. 三、計(jì)算題（一）（每小題6分，滿分24分）求 設(shè)是由確定，求。已知，求定積分。求微分方程滿足的特解。四、計(jì)算題（二）（每小題8分，滿分24分）1、設(shè)函數(shù)，(1)討論函數(shù)在處的連續(xù)性；(2)函數(shù)在何處取得極值，為什么？2已知函數(shù)滿足方程，試求

38、。3設(shè)，求。五、應(yīng)用題（每小題8分，滿分16分）1. 假定足球門的寬度為4米，在距離右門柱6米處，一球員沿垂直于底線的方向帶球，問：他在離底線多遠(yuǎn)的地方射門將獲得最大的射門張角？4 2. 過點(diǎn)作拋物線的切線，該切線與拋物線及軸圍成平面圖形，(1) 求該平面圖形的面積；(2) 求該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成立體的體積。六、證明題（6分）函數(shù)在區(qū)間上可微，滿足且，證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)，使得。第六章習(xí)題6-11. 利用定積分定義計(jì)算由拋物線y=x2+1,直線x=a，x=b及x軸所圍成的圖形的面積.解 因y=x2+1在a,b上連續(xù),所以x2+1在a,b上可積,從而可特殊地將a,bn等分,并取,于是故面積

39、2. 利用定積分的幾何意義求定積分：(1) ; (2) （a0）.解 (1)根據(jù)定然積分的幾何意義知, 表示由直線y=2x,x=0,x=1及x軸所圍的三角形的面積,而此三角形面積為1,所以=1.(2)根據(jù)定積分的幾何意義知,表示由曲線及x軸所圍成的圓的面積,而此圓面積為,所以.3. 根據(jù)定積分的性質(zhì)，比較積分值的大小：(1) 與； (2) 與.解 (1)當(dāng)時(shí),即,又,所以.(2)令,因,所以,從而,說明,又1+x.所以.4. 估計(jì)下列各積分值的范圍：(1) ； (2) ;(3) （a0)； (4) .解 (1)在區(qū)間1,4上,函數(shù)是增函數(shù),故在1,4上的最大值,最小值,所以,即 .(2)令,則

40、,當(dāng)時(shí),從而在上是增函數(shù),從而f(x)在上的最大值,最小值,所以即 .(3)令,則,令得駐點(diǎn)x=0,又，,a0時(shí), ,故在-a,a上的最大值M=1,最小值,所以.(4)令,則,令得駐點(diǎn),又,從而在0,2上的最大值,最小值,所以,而 ,故 .習(xí)題6-21. 求下列導(dǎo)數(shù)：(1) ; (2) ；(3) ; (4) (x0).解 2. 求下列極限：(1) ; (2) ; (3) .解 3. 求由方程所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù).解 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)得: , .又由已知方程有,即即,于是有.4. 當(dāng)x為何值時(shí)，I(x)= 有極值?解 ,令得駐點(diǎn),又,所以當(dāng)x=0時(shí),I(x)有極小值,且極小值為I(

41、0)=0.5. 計(jì)算下列定積分：(1) ; (2) ;(3) ,其中 (4) .解 (4)由于,于是6. 已知f(x)連續(xù)，且f(2)=3,求.解 .習(xí)題6-31. 計(jì)算下列積分：(1) ; (2) ;(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ;(9) ; (10) ;(11) ; (12) .解 (7)令x=tant,則dx=sec2tdt,當(dāng)x=1時(shí),;當(dāng)時(shí),于是 .(8)令,則,當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)時(shí),于是 .(9)令,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),于是 .(11)令,則,當(dāng)x=1時(shí),t=1;當(dāng)x=2,t=;于是 2. 利用被積函數(shù)的奇偶性計(jì)算下列積分值：(1) (a為正常數(shù)

42、)；(2) ; (3) .解 是奇函數(shù).是奇函數(shù).是偶函數(shù).3. 證明下列等式：(1) (a為正整數(shù))；(2)證明： (x0)；(3) 設(shè)f(x)是定義在(-，+)上的周期為T的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)任意a，），有.證 (1)令x2=t,則,當(dāng)x=0時(shí),t=0;當(dāng)x=a時(shí),t=a2,于是 即 .(2)令則,即 .(3)由于,而故有 .4. 若f(t)是連續(xù)函數(shù)且為奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)；若f(t)是連續(xù)函數(shù)且為偶函數(shù)，證明是奇函數(shù).證 令.若f(t)為奇函數(shù),則f(-t)=- f(t),從而,所以是偶函數(shù).若f(t)為偶函數(shù),則f(-t)=f(t),從而,所以是奇函數(shù).5. 設(shè)f(x)在(-，+)內(nèi)連續(xù)

43、，且F(x)= ,試證：若f(x)單調(diào)不減，則F(x)單調(diào)不增.證 ,其中在x與0之間.當(dāng)x0時(shí),x,由f(x)單調(diào)不減有,即;當(dāng)x x,由f(x)單調(diào)不減有,即;綜上所述知F(x)單調(diào)不增.習(xí)題6-41. 利用分部積分公式證明：.證 令則,則 即等式成立.2. 計(jì)算下列定積分：(1) ; (2);(3) ; (4) ;(5) ; (6) ;(7) ; (8) ；(9) ; (10) .解 (1) .故.故 .3. 已知f(2)= ,f(2)=0, ,求.解 習(xí)題6-51. 求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積：(1) y=ex與直線x=0及y=e; (2) y=x3與y=2x;(3) y=x2

44、,4y=x3; (4) y=x2與直線y=x及y=2x;(5) y=,x軸與直線y=x及x=2; (6) y=(x-1)(x-2)與x軸；(7) y=ex,y=e-x與直線x=1; (8) y=lnx,y軸與直線y=lna,y=lnb, .解 (1)可求得y=ex與y=e的交點(diǎn)坐標(biāo)(1,e), y=ex與x=0的交點(diǎn)為(0,1),它們所圍成的圖形如圖6-1中陰影部分,其面積 圖6-1 圖6-2(2)解方程組得即三次拋物線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,0),它們所圍成的圖形的面積.(3)解方程得兩曲線的交點(diǎn)為(0,0),(4,16),所求面積為. 圖6-3 圖6-4(4)可求得與的交點(diǎn)為(0,0)

45、,(1,1);與的交點(diǎn)為(0,0),(2,4);y=x與y=2x的交點(diǎn)為(0,0),它們所圍圖形如圖6-4中陰影所示,其面積為:(5) 與的交點(diǎn)為(1,1),x軸與直線x=1,及x=2所圍成的圖形如圖6-5陰影所示,其面積:. 圖6-5 圖6-6(6) ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,與x軸所圍成的圖形如圖6-6中陰影所示,由得.所求面積(7)可求得曲線與的交點(diǎn)(0,1),曲線,與x=1所圍成的圖形如圖6-7陰影所示,其面積: 圖6-7 圖6-8(8)曲線軸與直線所圍成的圖形如圖6-8陰影所示,其面積:2. 求由下列曲線圍成的平面圖形繞指定軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積：(1) y=ex,x=0,y=0,x=1,繞y

46、軸； (2) y=x3,x=2,x軸，分別繞x軸與y軸；(3) y=x2,x=y2，繞y軸； (4) y2=2px,y=0,x=a(p0,a0),繞x軸；(5) (x-2)2+y21,繞y軸.解 (1)如圖6-9所求旋轉(zhuǎn)體的體積為矩形OABD,與曲邊梯形CBD繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的幾何體體積之差,可求得y=ex與x=1的交點(diǎn)為(1,e), y=ex與y軸的交點(diǎn)為(0,1),所以,所求旋轉(zhuǎn)體的體積. 圖6-9 圖6-10 (3)解方程組得交點(diǎn)(0,0),(1,1),所求旋轉(zhuǎn)體的體積. 圖6-11 圖6-12.(5)所求旋轉(zhuǎn)體的體積是由右半圓與左半圓繞x軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體的體積之差,即圖6-133. 已

47、知曲線y=a (a0)與y=ln在點(diǎn)(x0,y0)處有公共切線，求：(1) 常數(shù)a及切點(diǎn)(x0,y0);(2) 兩曲線與x軸圍成的平面圖形的面積S.解 (1)由題意有點(diǎn)在已知曲線上,且在點(diǎn)處兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等.即有即 解得 .(2)由(1)知兩曲線的交點(diǎn)為,又在區(qū)間(0,1)上,曲線在曲線的上方,它們與x軸所圍成的平面圖形的面積.(由得,由得).4. 設(shè),試求曲線y=f(x),直線y=x及x=1所圍圖形的面積.解 圖6-14解方程得交點(diǎn)為,且易知當(dāng)時(shí),位于的上方.所圍圖形如陰影部分所示,其面積.5. 一拋物線y=ax2+bx+c通過點(diǎn)(0，0)、(1，2)兩點(diǎn)，且a0，試確定a,b,c的值，使拋

48、物線與x軸所圍圖形的面積最小.解 由拋物線過(0,0),(1,2)點(diǎn),有c=0,a+b=2,又由拋物線方程得與x軸的兩交點(diǎn)為(0,0), ,拋物線與x軸所圍圖形的面積.,由得,代入上式有,令得或,由已知得,從而,所以.6. 已知某產(chǎn)品產(chǎn)量的變化率是時(shí)間t(單位：月)的函數(shù)f(t)=2t+5,t0,問：第一個(gè)5月和第二個(gè)5月的總產(chǎn)量各是多少?解 設(shè)產(chǎn)品產(chǎn)量為,則,第一個(gè)5月的總產(chǎn)量第2個(gè)5月的總產(chǎn)量為7. 某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品Q(百臺(tái))的總成本C(萬元)的變化率為C(Q)=2(設(shè)固定成本為零)，總收入R(萬元)的變化率為產(chǎn)量Q(百臺(tái))的函數(shù)R(Q)=7-2Q.問：(1) 生產(chǎn)量為多少時(shí)，總利潤最大?最

49、大利潤為多少?(2) 在利潤最大的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺(tái)，總利潤減少了多少?解 (1)總利潤當(dāng)即即,Q=2.5百臺(tái)時(shí),總利潤最大,此時(shí)的總成本總利潤(萬元).即當(dāng)產(chǎn)量為2.5百臺(tái)時(shí),總利潤最大,最大利潤是6.25萬元.(2)在利潤最大的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺(tái),此時(shí)產(chǎn)量為3百臺(tái),總成本,總收入,總利潤為(萬元).減少了6.25-6=0.25萬元.即在利潤最大的基礎(chǔ)上又生產(chǎn)了50臺(tái)時(shí),總利潤減少了0.25萬元.8. 某項(xiàng)目的投資成本為100萬元，在10年中每年可獲收益25萬元，年利率為5，試求這10年中該投資的純收入的現(xiàn)值.解 投資后T年中總收入的現(xiàn)值,由題意知所以純收入的現(xiàn)值為196.73-100=

50、96.73.即這10年中該投資的純收入的現(xiàn)值為96.73萬元.習(xí)題6-61. 判斷下列廣義積分的斂散性，若收斂，則求其值：(1) ; (2);(3) (a0); (4);(5); (6) ;(7) ; (8);(9) ; (10);(11) .解 (1),此廣義積分收斂.(2),此廣義積分發(fā)散.(3),此廣義積分收斂.(4)不存在,所以,此廣義積分發(fā)散.不存在,此廣義積分發(fā)散.,收斂.此廣義積分發(fā)散.此廣義積分收斂.2. 當(dāng)k為何值時(shí)，廣義積分收斂?當(dāng)k為何值時(shí)，這廣義積分發(fā)散?又當(dāng)k為何值時(shí)，這廣義積分取得最小值?解 當(dāng)k=1時(shí), ,發(fā)散.當(dāng)時(shí),所以,當(dāng)k1時(shí),此廣義積分收斂,當(dāng)k1時(shí),此廣義積