1、第六章梁的復雜問題第一節其它平面彎曲構件的內力與變形第五章討論了簡單靜定梁的彎曲內力，實際結構中的某些構件雖然也是以彎 曲為主的靜定結構，但它們的形式與前面所討論的靜定梁有所不同，例如多跨靜 定梁、平面剛架和平面曲桿等，本節主要介紹這類構件內力的分析方法及內力圖 的作法。、多跨靜定梁如圖6-la、圖6-2a所示的是含有中間較的梁，由于其所有支座反力均可以由 靜力平衡方程求出，所以也屬于靜定梁，又稱為多跨靜定梁。下面通過例題說明 這類梁的剪力圖、彎矩圖的作法。例6-1作圖6-1a所示的多 跨靜定梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求約束反力a)由于中間錢不能傳遞彎矩， 所以截面B處的彎矩為零。為了 求

2、出約束反力,將梁在中間 錢B處拆開，截面B處只存在剪 b) 力Fqb,如圖6-1b所示。由AB 部分的平衡條件工 Mb = 0 ： FAy )+ ql2 = 0 TOC o 1-5 h z F 一坐)A = 2c)工 Fy = 0 ： Fqb + FAy = 0F =坐d)Q = 2求出Fqb后,根據作用力與 反作用力原理將Fqb加在BC部FAqaT分的B點，如圖6-lb所示。則C截面處的約束反力可以求出。(2)作剪力圖、彎矩圖作AB、BC兩部分的剪力圖、彎矩圖合并在一起，即為所求，如圖6-lc、d 所示。由上述解題過程不難發現，對于含中間較的多跨靜定梁，可以在中間較處將 原梁拆成主梁和若干次

3、梁，依次求解其支反力。在作剪力圖、彎矩圖時，不必理 會中間較。當沒有集中力作用在中間較處時，該處的剪力連續、彎矩光滑過渡且 為零；若有集中力作用在中間較處，拆分主梁和次梁時，該集中力可視為左右任 一部分的載荷進行求解。求解多跨靜定梁的變形宜采用疊加法，要考慮中間較左右兩部分的相互影響, 如例6-1中BC段的變形是在剪力 Fqb和均布載荷q共同作用下產生 的，AB段的變形可以看成是兩部 分變形的疊加：隨BC段的剛性轉 動和集中力偶彳“產生的變形，如 圖6-la所示。注意，在中間較B 處，撓度連續，而轉角不連續。例6-2作圖6-2a所示多跨靜 定梁的剪力圖、彎矩圖。解：(1)求支座反力對于CD段梁

4、，由工MC = 0得到FDy = qa再考慮梁的整體平衡，由工MB = 0得到2aFAy 一 Fa + Me + 2aq(2a) 一 3aFy = 0由工MA = 0得到FBy5qa(2)作剪力圖、彎矩圖，如圖6-2b、c所示。二、平面剛架在工程中，經常遇到許多桿件組成的框架式結構，如液壓機機身、鉆床床架、 軋鋼機機架等。這種結構的每兩個組成部分在其聯接點處的夾角不變，即兩部分 在聯接處不能有相對轉動，這種聯接處稱為剛節點。圖6-3a中的B點即為剛節點。 各部分由剛節點聯接成的框架結構稱為剛架，若組成剛架的桿件的軸線在同一平 面內時稱為平面剛架。內力可通過靜力平衡方程確定的剛架稱為靜定剛架。剛

5、架任意橫截面上的內力，一般有彎矩M、剪力化和軸力JN,剛架的內力 圖就畫在剛架上。軸力和剪力的正負符號仍按以前的規定，剛架的彎矩一般不規 定正負，按照本書的統一約定，彎矩圖畫在桿件的受壓側。下面用例題說明靜定 平面剛架內力圖的作法。例6-3作圖6-3a所示剛架的內力圖，并求d點的轉角血、水平位移謝和鉛 垂位移旳。已知剛架的抗彎剛度為7,忽略軸力、剪力的影響。解：(1)采用控制點法作內力圖AB段：集中力尸產生剪力和彎矩。且剪力為正。由于AB段無其它載荷，所 以剪力不變，大小為F。彎矩圖為斜直線，Md=O, MB=Fa。力尸使AB段上邊受 壓，所以彎矩圖畫在AB段的上方。BC段：集中力尸產生軸力和

6、彎矩，軸力為正，大小為F彎矩不變，大小為 Fa力尸使BC段右邊受壓，彎矩圖畫在BC段的右邊。縱上所述，作內力圖如圖6-3b、c、d所示。注意在剛節點B處，彎矩具有連 續性，同畫在剛架的外側。(2)求Oa. xa和旳按圖6-3a所示坐標系，用逐段剛化法求解。先將BC段剛化，則AB段相當 于B點為固定端的懸臂梁，如圖6-4a所示。查表5-6得o = Fa_ FaA1 = 27，兒1 =-37a）圖6-4逐段剛化法求解剛架變形再將AB段剛化，取消BC段的剛 化，則集中力尸可由A點平移至B點， 得到軸向力尸和力偶矩Fa,如圖6-4b 所示。忽略軸力的影響，查表5-6得o = Fab x = Fab2B

7、2 EI B2 2EIBC段的變形引起AB段的剛性轉動 p p FabFab2心B2 =莎XA = XB2 = 2eT，=a = Fa a byA2 = _AB2 a=EI所以A =&A1 +&A2Fa(a + 2b) 2EIFab2XA = XA2 =AA22EIFa 2yA = yA1 + yA2(a + 3b)3EI三、平面曲桿某些構件，如活塞環、吊鉤、鏈環等，一般都有縱向對稱面，其軸線為平面 曲線，稱為平面曲桿或平面曲梁。當載荷作用于縱向對稱面內時，曲桿將發生平 面彎曲變形，這時橫截面上的內力一般有彎矩M、剪力化和軸力JN。內力圖畫 在曲桿軸線的法線方向。軸力和剪力的正負與以前的規定相

8、同，彎矩圖畫在曲桿 的受壓側，不標正負。下面以圖6-5a所示的軸線為1/4圓周的曲桿為例，說明平 面曲桿的內力計算和內力圖的作法。例6-4 端固定的1/4圓曲桿在其軸線平面內受集中力作用，如圖6-5a所 示，試求曲桿橫截面上的內力，并作內力圖。解：（1）求曲桿橫截面上的內力對曲桿應取極坐標表示橫截面的位置。所以選曲桿軸線的圓心為坐標原點。 以圓心角為的截面截取曲桿的右段研究，如圖6-5b所示。利用截取部分的平衡 條件求截面上的內力(a)工 F” = 0 ： Fn + F sin = 0FN = _F sin 例題6-4圖(b)工 Ft = 0 ： Fq - F cos q = 0Fq = F

9、cos q工 MC = 0 ： M + FR sin q = 0 M = -FR sin q(c)式(a)、式(b)和式(c)即為1/4圓桿橫截面上的內力方程，代入q值就可以 求出任一橫截面上的內力。(2)利用上述三式可以作出軸力、剪力和彎矩圖，如圖6-6所示。第二節 平面曲桿中的應力求出曲桿的內力后，軸力Fn在橫截面上產生均勻分布的正應力。剪力Fq在 橫截面上產生切應力7,其值可按直梁的彎曲切應力公式7 = FqS；/(Izb)求得，由 于該值遠小于彎曲正應力，可忽略不計。對于曲率半徑大于桿髙五倍的曲桿，可 以使用式(5-8)計算橫截面上的彎曲正應力。但這種計算方法的誤差隨著曲率半 徑與桿髙

10、比值的減少而增大。因此，當此比值減小時，就需求較精確的解。下面討論平面曲桿在純彎曲下的彎曲正應力，與直梁的平面彎曲類似，結果 也可推廣到橫力彎曲情況。在這里，直梁純彎曲的兩個假設仍適用，即平面 假設一一與軸線垂直的截面在變形后仍保持為平面;縱向纖維之間無正應力作 用。從純彎曲的曲桿中用夾角為的橫截面1一1和22之間截取一段，如圖6-7a 所示。梁彎曲時截面22相對于截面1 1轉動至截面22位置，兩者之間的 夾角變為 _曲,故在離中性層00,為必處的曲面aR前伸長是沁卩 設中性層 的曲率半徑為令M g =,則拉應變為(Pi _yi)(pPi _yi因而拉應力為er = Ee = Ea yi(b)

11、Pi _ yi由上式知，e在截面上是非線性分布的，在曲桿的內側最大。因積分fdA = 0(c)A Pi _ yi設中性層到軸線的距離為軸線的曲率半徑為P，因為Pi=p_e, yi=y_e,故fdA =,A Pi _ yif J dAJa p_ ydAp_ y(d)則有由此得PdAA J- p y將式(e)、式(f)代入式(d)得AkA = e一 (1 + k)則PK是由曲率半徑和截面形狀決定的常數，稱為曲桿的截面系數。(e)(g)(h)其次，根據微面積dA上的內力b dA對中性軸力矩的總和應等于截面上的彎矩，有M = J ct-j dA = Em J dAJaJa Pj 一 -1考慮式(c)，

12、改寫式(i)有(i)-12Pj 一 -jdA =-yJdA+pjJA-1Pj -jdA = J -jdAJA(j)式(j)的右邊表示截面對中性軸的靜矩。曲桿的中性軸一般不通過截面的形心而偏向曲率中心一側，設截面面積為A, 根據中性軸的定義，靜矩為(k)(l)(6- 1)(6-2)得I -jdA = AeJa根據式(k)、式(j),式(i)變成M = Em I -j dA = EmAe將式代入式(b),得到用M表示的求c的公式c= M-j = M (- - e)一e(P j -j) 一e(p-)設從曲桿的軸線到兩表面的距離為加、h2,則最大拉、壓應力為M (hj - e)M 為 + e),c =

13、Ae(p h)cmax Ae(p + h2)因為上式中的幺可用式(h)求出，所以決定了疋，就可求得最大拉、壓應力。當y/p小于1時，一1 =1可展成幕級數，故式(g)可表示如下p-y p(1 -y/p)k=丄y + (蘭)2 +(y)3 + (y)4 + (6-3)A Ja p p p p對于矩形0Xh)截面(6-4)1 z h 、21 z h、41 , h、6K =() +() +() + 3 2p5 2p7 2p例6-5直徑d=80mm圓桿制成的圓環,環的內半 徑D=120mm, F=20kN，如圖6-8所示，求A、方點的 正應力O解：AB所在截面上的內力有軸力和彎矩。由截面法得到= -2

14、0 x0.12 + 0.082Fn =-F = -20kN求曲桿的截面系數Ka d/240p (D + d)/2 - 100根據式(6-5)或查表6-1得 k = 0.043 5 計算圓環橫截面上中性軸與形心軸的距離e100 x 0.043 5mm = 4.17mm1.043 5根據式(6-2)計算A、B點的彎曲正應力BlM (d/2 + 幺) Ae(p + d /2)-2 x 106 x (40 + 4.17) x 4 nx 802 x 4.17 x (100 + 40)MPa = 30.1MPaM(d/2 - e) = 一 2 x x (40 一I7x 4 MPa = -57.0MPaAe

15、(p- d/2) nx 802 x 4.17 x (100 一 40)軸力產生均勻分布的正應力MPa = -4MPa由此可求得A、B兩點的正應力為aA = aA1 + a2 = (30.1 - 4)MPa = 26.1MPa= aB1 + a2 = (-57.0 一 4)MPa = -61.0MPa第三節 非對稱彎曲與斜彎曲前面所討論的梁，均處于平面彎曲狀態。即梁的橫截面有對稱軸，載荷作用 在包括對稱軸在內的縱向對稱面內，梁的撓曲線也在該平面內。若載荷作用線雖 然通過梁的軸線，但不在梁的縱向對稱平面內，如圖6-9所示，或者梁的截面沒 有對稱軸時，如圖6-10所示，這種情況的彎曲稱為非對稱彎曲。

16、圖6-9梁的非對稱彎曲對于純彎曲的任意截面梁，如果彎矩在截面的形心主慣性軸與軸線所成的平 面（稱為形心主慣性平面）內時，可以證明梁所發生的變形仍然是平面彎曲遷因 此，當彎矩不在形心主慣性平面內時，可沿截面的兩個形心主軸將其分解，問題 就可以轉化為兩個垂直平面彎曲的疊加。對于橫向力彎曲情況，當橫向力作用于 軸線時，產生的彎曲切應力的合力不通過形心，因而將產生扭轉變形。若桿件為 實體或閉口桿件時，由于其扭轉剛度較大，產生的扭轉變形可忽略不計。 參閱劉鴻文主編材料力學第三版，第七章，KVS墩療出版社，1997.現在分析圖6-9所示的任意形狀截面的梁，在與形心主慣性軸y成a角的# 軸和軸線的平面內作用

17、任意力的情況。用雙箭頭矢量表示彎矩的方向，則M為向 著z，軸負方向的矢量。若將M向形心主慣性軸(y, z)分解，則有Mz = M cosa , M y = M sin az y由于y、z軸為形心主慣性軸，因此由胚、胚分別引起的彎曲都是平面彎曲。截面 上點力(y z)的彎曲應力b可由 胚、胚引起的應力b 和b”的代數和求得。即有a = af + affMyzI+MyIcosa. #sinazI丿(6-6)令式(6-6)中的a=0,可得這種情況下的中性軸位置(6-7)令tan0 = y0 /z0 , (y0, z)為中性軸上一點的坐標，則0為中性軸與z軸的夾 角，即有(6-8)tan 0 =兒=t

18、an az 0Iy可見對于厶工厶的截面，0K這表明變形后梁的撓曲線與載荷作用面不在一個 平面內，這種變形稱為斜彎曲。對于厶=z的截面，如圓形、正方形和正多邊形截 面，有0 = a,表明梁的撓曲線與載荷作用面在同一平面內，仍然是平面彎曲。確定出中性軸后，可找出截面上距中性軸最遠的點，該點的應力數值最大。 如果截面有外凸的棱角，如矩形、工字形等截面，則棱角處可能是應力最大的危 險點；如果截面沒有棱角，可在中性軸兩側作兩條與中性軸平行的直線，這兩條 直線與截面周邊的切點即為危險點。需要指出，在計算非對稱彎曲的正應力時， 不應該套搬式(6-6)，而應該直接根據形心主慣性軸y、z方向的力分別計算截面 任

19、一點產生的正應力，觀察變形確定應力的符號，然后疊加。非對稱截面梁的彎曲變形可用疊加法求得，即首先求得形心主慣性平面(X, y)、(x, z)內的撓度分量色、爲，則撓度可用下式求得(6-9)例6-6圖6-10a所示Z字形截面懸臂梁受鉛垂力尸(=2kN)作用，梁跨長 /=lm,截面尺寸如圖6-10b所示。求梁內的最大應力(形心主慣性矩見附錄A第 四節例 A-7：厶=6.28 x 106 mm Iy = 0.64 x 106 mm4, a0 = 27o29)。a)圖6-10例題6-6圖解：將力F沿形心主慣性軸八z分解，得到分力馬、庇，因為a=27o29, 所以力F與形心主慣性軸y的夾角a =ao=2

20、729o分力F=Fcosa、Fz=Fsina在截 面上引起的應力如圖6-10b所示，可以看出分力Fy在截面z軸上方引起拉應力， 分力Fz在y軸右側引起拉應力。所以固定端截面的/點作用著最大拉應力,B點 作用著同樣數值的最大壓應力。只需計算力點的應力上式中yA、za是A點坐標的絕對值，即yA = (60cosa - 5 sin a) mm = 50.92mmza = (60 sin a0 + 5 cos a) mm = 32.12mm需要說明，本題實際上是開口薄壁桿，從下節可以知道，對于開口薄壁桿， 外力只有作用于彎曲中心，才產生平面彎曲，而本題所示Z形截面的形心與彎曲 中心恰好重合。第四節開口

21、薄壁桿的彎曲切應力與彎曲中心從前面的討論可以知道，對于截面有對稱軸的桿件，當橫向載荷作用在對稱 平面內時，才會使桿件發生平面彎曲。對于橫截面無對稱軸的桿件，也同樣存在 在何處作用橫向力使桿件發生平面彎曲的問題。以圖6-11所示的槽鋼懸臂梁為例， 由試驗證實，當外力尸沿y方向通過形心C作用時，梁將同時產生彎曲與扭轉變 形。只有外力尸通過某一點d時，梁才只發生彎曲變形，d點稱為截面的彎曲 中心。由此可見，在橫向力作用下的梁僅發生平面彎曲的條件是外力平行于形心 主慣性軸，且通過彎曲中心。開口薄壁桿的抗扭剛度較小，其抗扭轉能力弱，較小的扭矩就會產生較大的 扭轉切應力，同時還將因約束扭轉引起附加正應力和

22、切應力遷實體桿件和閉合薄 壁桿件的抗扭剛度較大，且彎曲中心通常在截面形心附近，所以當橫向力通過形 心時所產生的扭矩不大，扭轉變形可以忽略。因此本節主要討論開口薄壁桿的彎 曲切應力和彎曲中心問題。首先討論開口薄壁桿彎曲切應力的計算。圖6-12a是在橫向力F作用下的開 口薄壁桿。力F通過截面的彎曲中心d,桿件只發生彎曲而無扭轉，即截面上只 有彎曲正應力和彎曲切應力，而無扭轉切應力。根據切應力互等定理，考慮截面 為薄壁的特點，彎曲切應力與截面周邊相切且沿壁厚均勻分布。設y、z軸為截面 的形心主慣性軸，力F平行于y軸,z軸為中性軸。從桿中截出dx長的一微塊abed, 如圖6-12a、b所示。側面ab和

23、ed上的面積為di,其上彎曲正應力的軸向合力由下兩式分別計算Fni=J b = J 字JA1均 IzFN2 =Mz + dMzIz式中S；是側面ab對z軸的靜矩。縱向面b的合內力是丁 tdx,把以上諸力代入 x方向的力平衡方程有Fn2 - Fnj - T t d x = 0 經整理后得出T=些 S；=FqSdx Iz tIzt式中心是橫截面上的平行于y軸的剪力。t 是縱向面bdL的切應力，由切應力 互等定理知，它也就是橫截面上C點的切應力T(6-10)FXt的指向如圖6-12b所示，據此可繪出橫截面上切應力的分布。下面討論確定彎曲中心的基本方法。橫截面上微內力tM的合力為心。為 確定 矗作用線

24、的位置，可選取截面內任一點B為力矩中心(見圖6-12c)。根據 合力矩定理有(6-11)式中az是尸對B點的力臂。尸是微內力tA4對B點的力臂，從上式中可解出a, 就確定了心的作用線位置。同理，利用合力矩定理，可得到Fqz作用線位置的方程FQzay = rTldA(6-12)式中ay是JQz對B點的力臂，T是JQz在橫截面上產生的切應力。由上式解出ay 就確定Fqz作用線位置。因為矗、JQz都通過彎曲中心，兩者的交點就是彎曲中 心A。表6-2給出了工程中常用一些截面的彎曲中心位置。例6-7求圖6-13所示槽形截面的彎曲中心解：以截面的對稱軸為z軸，則y、z軸為形心主慣性軸。當剪力心平行于 y軸

25、，且桿件無扭轉變形時，彎曲切應力按式(6-10)計算。上翼緣距邊緣三處的 切應力t為T FqSl Fql &妙沁IztI.t $ 2 丿21 zt指向如圖6-13所示，S；為陰影部分面積對z軸的靜矩。用類似辦法可求得腹板 和下翼緣的切應力。為了確定尸0的位置，選定上翼板中線與腹板中線交點B為矩心，據式（6-11）有h2 b 2t az =億當剪力Fqz沿對稱軸z 軸上。所以陽與對稱軸z作用時，所產生的是平面彎曲，表明彎曲中心在對稱 的交點A即為彎曲中心。FQyaz=d A = h逬 t d.于是有例6-8試確定圖6-14所示薄壁開口圓環截面的彎曲中心。解：以截面的對稱軸為z軸，y、z為形心主慣

26、性軸。設剪力陽平行于y軸, 且通過彎曲中心A。為了計算0角處的切應力，需求S；。和Iz( 0Sbd = I (R sin)Rtd = R21(1 - cos0)J 0故有FqSbd = FR 21 (1-cos0) = Fq (1-cos0)IzttnR 3tnRt選取截面形心C為矩心，根據合力矩定理有(2n(2n7 = Io噸=IoRFq (1 - cos0)nRtRtd0FqR I1 - cos 0)d0 = F (2R)n oQye=2R于是有因彎曲中心在對稱軸上，故彎曲中心距截面形心的距離為2Ro第五節連續梁具有三個以上支座的梁，稱為連續梁，顯然這是一種超靜定梁。圖6-15a所 示為一

27、跨連續梁，其中間支座的個數為n-1,即為它的超靜定次數。求解連續梁時，選中間支座處的彎矩作為未知力。設想將中間支座處的截面 切開裝入中間較，如圖6-15b所示，成為若干個單跨簡支梁。這些單跨簡支梁在 原有載荷和支座截面處的彎矩Ml, M2,Mi,M”-1作用下，利用支座左 右兩側截面轉角相等的變形條件，可以得到n-1個變形方程，正好解出n-1個未 知的支座彎矩。c)圖6-15連續梁取第7支座左右兩個簡支梁來分析，如圖6-15。所示。第7支座的變形條件為 殲=刖式中0產為左跨梁在所有載荷作用下在7截面產生的轉角（包括M-i, M）,d+血+(0)左6EI3EI q0右為右跨梁在所有載荷作用下在7

28、截面產生的轉角,0 右二 _ Mjl7+、7 _ 3EI 將式和式（c）代入式（a）得M 7+1l7+16EI(c)M7-I7 + 2M,.(I,. +1,1) + M+1lM =-6EI(0,.)青-(0,.)產(6-13)式中的（0片為左跨梁由外載荷產生的7支座處的轉角，（仇）q為右跨梁由外載荷 產生的i支座處的轉角。式（6-13）包含有相鄰兩跨梁三個未知的支座彎矩，故稱為三彎矩方程。對每 個中間支座可列出一個三彎矩方程。圖6-15a所示的跨連續梁，共有n-1個中 間支座，可列出n-1個三彎矩方程，從而解出n-1個未知的支座截面彎矩。簡支 梁在簡單載荷作用下支座處的轉角可查表5-6。例6-

29、9圖6-16a所示連續梁，d端固定，D端外伸，受力如圖所示，已知刃, 試求解連續梁各支座處的彎矩。a)Bc2m|1mC)_ / 1 b 1m|1m|q=25kN/mF(=10kN)D解：由外伸段CD的平衡條件，可求得胚=10kNm。支座截面的未知彎矩 為胚和胚，故為二次靜不定梁。可把左端固定端插入部分設想為長的簡 支梁，如圖6-16b所示。由式（6-13）對支座d列三彎矩方程得0 + 2Md x (0 + 2) + MB x 2 = -6EI0 - (0d) f ql 324EI(25 x 23)kN. m224EI,代入上式得4Md + 2MB = -50kN m(a)對支座B列三彎矩方程M

30、A x 2 + 2MB x (2 + 2) - Mc x 2 = -6EI(OB): - (OB)式中MC = 10kN mql3 = (25 x 23)kN m224EI -24eIMel = (20 x 2)kN m2代入并化簡得24EI -24EI2MA + 8MB = -40kN m聯立式(a)、式(b)求解得MA =-80kN m, MB =-kN m第六節組合梁由不同材料組合成一體的梁稱為組合梁，如木材、玻璃鋼板與金屬疊合的梁 以及鋼筋混凝土梁等。、組合梁的基本方程圖6-17所示的是由三種材料組成的對稱截面組合梁，該梁在彎曲時，平截面 假設仍成立，應變的大小仍與距中性軸的距離成正

31、比。設中性層的曲率半徑為0,在距中性軸為y處 的某纖維的應變仍可由下式確定s = (a)P各部分的彎曲應力用下式表示6 = Es = Ei -(b)P式中E是第i塊截面材料的彈性模量；6是第i塊 截面上產生的應力。可見，對于每一塊截面，應力是連續的，但由于材料的非均 勻性，不同材料截面交界處的應力會發生突變。設梁無軸向載荷作用，梁截面上的彎矩為M,則有(c)式中4是第i塊截面的面積，積分是對各塊截面的全面積進行的。 將式（b）代入式（c）、式（d）,有P S叮嚴=0P S山也=P 昭=“式中厶=f y2d,.是第i塊截面對中性軸的慣性矩。I*右令fJAiyAi = AZ，則式（e）成為 Et

32、f ydA, = E,A,2, = 0(g)i=1Ai=1用式（g）可確定組合截面中性軸的位置。圖 6-18所示截面A“設組合截面中性軸為z,任 選參考坐標軸z平行于z軸，設參考軸到中性 軸z的距離為yo,截面上任一點對z、z，軸的坐 標分別為y、y,則有y = y- yo（h）將式（h）代入式（g）中，有 e,a,z,i=1n r n (.=E, f ydA, =E, f (y-y)dA, i=1i=1= Et (f y，dA,-J ydA,)=Ei(f yd& -yoAi) = 0-i由此可得中性軸的位置為n e,Ai=1(6-14)若將丄=-與的關系代入式，得 Pdxdx 2(6-15)

33、工EIi =1上式為組合梁的撓曲線方程，EiIi為組合梁的等效抗彎剛度。i=1若將式中的1/0代入式(b),則得彎曲應力為_ EtyM ai - EJ,i=1(6-16)綜上所述，解組合梁時，首先應按式(6-14)決定組合梁的 中性軸位置，然后求各截面對中性軸的慣性矩I”最后可 使用式(6-16)求應力。例6-10求圖6-19所示的三塊板重疊而成組合梁的應 力。設上、下兩塊板具有同一厚度和彈性模量。解：梁上、下對稱，故中性層為整個截面的中間層， 各板對中性軸的慣性矩為bh272(3h12 + 6h1h2 + 4h；)若某一橫截面上的彎矩為M,則該橫截面上各板中的最大彎曲正應力為E1h1M(6-

34、17)2(E111 + 2E 212)E 2(h1 + 2h2)M2(E111 + 2E212).二、鋼筋混凝土梁混凝土由于抗拉性能弱，所以常在梁的拉伸側埋入鋼筋，這種鋼筋混凝土梁 是最常見的一種組合梁。考慮如圖6-20a所示的這種組合梁，應變以中性層為分 界成線性分布，如圖6-20b所示。由于混凝土抗拉性能弱，考慮全部拉應力由鋼 筋負擔，應力分布如圖6-20c所示。面及鋼筋的應變比、&S和應力免、OS可用下式表示hsc =，Ss=L(a)hOc =_Ec ，Os =遲L (b)梁的髙度、寬度、鋼筋、中性層 的位置如圖6-20a所示，設中性層以 曲率半徑為p的圓弧彎曲，混凝土頂式中c、Fs分別為混凝土和鋼筋的彈性模量。設作用在混凝土和鋼筋上的力分別為屁、Fs,則(-化 F)bdy = -Ec b2-h2Fs = Asas = AsEsd h(c)式中As為全部鋼筋的截面積之和。(d)設在梁的橫截面上只有彎矩M,