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文檔簡介
1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1 答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1集合中含有的元素個數(shù)為( )A4B6C8D122 “完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù),它所有的真因子
2、(即除了自身以外的約數(shù))的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28不在同一組的概率為( )ABCD3已知函數(shù),且),則“在上是單調(diào)函數(shù)”是“”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4如果,那么下列不等式成立的是( )ABCD5在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是26.7,天狼
3、星的星等是1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.16曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為( )A3B2CD17關于函數(shù),下列說法正確的是( )A函數(shù)的定義域為B函數(shù)一個遞增區(qū)間為C函數(shù)的圖像關于直線對稱D將函數(shù)圖像向左平移個單位可得函數(shù)的圖像8已知是函數(shù)圖象上的一點,過作圓的兩條切線,切點分別為,則的最小值為( )ABC0D9在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,若,則( )AB6C4D510已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若, 則雙曲線的離心率為()ABC4D211已知為虛數(shù)單位,若復數(shù),則ABCD12已知點,是函數(shù)的函
4、數(shù)圖像上的任意兩點,且在點處的切線與直線AB平行,則( )A,b為任意非零實數(shù)B,a為任意非零實數(shù)Ca、b均為任意實數(shù)D不存在滿足條件的實數(shù)a,b二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13已知為等比數(shù)列,是它的前項和.若,且與的等差中項為,則_.14已知復數(shù)z112i,z2a+2i(其中i是虛數(shù)單位,aR),若z1z2是純虛數(shù),則a的值為_15已知,為正實數(shù),且,則的最小值為_.16某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進行分析,隨機抽取了150分到450分之間的1 000名學生的成績,并根據(jù)這1 000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖),則成績在250,400)內(nèi)的學
5、生共有_人三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17(12分)如圖,四棱錐中,平面,.()證明:;()若是中點,與平面所成的角的正弦值為,求的長.18(12分)已知在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosBb+cosCc=23sinA3sinC. (1)求b的值;(2)若cosB+3sinB=2,求a+c的取值范圍.19(12分)已知在平面直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標原點為極點,軸非負半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為,點的極坐標為(1)求直線的極坐標方程;(2)若直線與曲線交于,兩點,求的面積20(12分)已知數(shù)列的各項均為
6、正數(shù),為其前n項和,對于任意的滿足關系式.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設數(shù)列的通項公式是,前n項和為,求證:對于任意的正數(shù)n,總有.21(12分)在平面直角坐標系中,以為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為;直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),直線與曲線分別交于兩點(1)寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;(2)若點的極坐標為,求的值22(10分)運輸一批海鮮,可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇,它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時,每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元(),運輸?shù)穆烦虨镾(千米)
7、.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用(包括運費和損耗費)分別為(元)、(元)、(元).(1)請分別寫出、的表達式;(2)試確定使用哪種運輸工具總費用最省.參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1B【解析】解:因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數(shù),那么可得為1,2,3,4,6,,12故選B2C【解析】先求出五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個的基本事件總數(shù)為,再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解:根據(jù)題意,將五個“完全數(shù)”隨機分為兩組
8、,一組2個,另一組3個,則基本事件總數(shù)為,則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),6和28不在同一組的概率.故選:C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法,涉及實際問題中組合數(shù)的應用.3C【解析】先求出復合函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)的充要條件,再看其和的包含關系,利用集合間包含關系與充要條件之間的關系,判斷正確答案.【詳解】,且),由得或,即的定義域為或,(且) 令,其在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,在上是單調(diào)函數(shù),其充要條件為即.故選:C.【點睛】本題考查了復合函數(shù)的單調(diào)性的判斷問題,充要條件的判斷,屬于基礎題.4D【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可得出.【詳解】,.故選:D.【點睛】本小題主要
9、考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,考查不等式的性質(zhì),屬于基礎題.5A【解析】由題意得到關于的等式,結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識信息處理能力閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.6A【解析】根據(jù)題意,求導后結合基本不等式,即可求出切線斜率,即可得出答案.【詳解】解:由于,根據(jù)導數(shù)的幾何意義得:,即切線斜率,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ陨先我庖稽c處的切線斜率的最小值為3.故選:A.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值,考查計算能力.7B【解析】化簡到,根據(jù)定義域排除,計算單調(diào)性知正確,得
10、到答案.【詳解】,故函數(shù)的定義域為,故錯誤;當時,函數(shù)單調(diào)遞增,故正確;當,關于的對稱的直線為不在定義域內(nèi),故錯誤.平移得到的函數(shù)定義域為,故不可能為,錯誤.故選:.【點睛】本題考查了三角恒等變換,三角函數(shù)單調(diào)性,定義域,對稱,三角函數(shù)平移,意在考查學生的綜合應用能力.8C【解析】先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設,則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設,則,然后構造函數(shù),利用導數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設,則,設,記,則,令,因為在上單調(diào)遞增,且,所以當時,;當時,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當時等號成立).故選:C
11、【點睛】此題考查的是兩個向量的數(shù)量積的最小值,利用了導數(shù)求解,考查了轉化思想和運算能力,屬于難題.9D【解析】由對數(shù)運算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計算【詳解】由題意故選:D【點睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)的運算法則掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關鍵10D【解析】設,根據(jù)可得,再根據(jù)又,由可得,化簡可得,即可求出離心率【詳解】解:設,即,又,由可得,即,故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題11B【解析】因為,所以,故選B12A【解析】求得的導函數(shù),結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件:斜率相等,化簡可得,為任意非零實數(shù).【詳解】依題意,在點處的
12、切線與直線AB平行,即有,所以,由于對任意上式都成立,可得,為非零實數(shù).故選:A【點睛】本題考查導數(shù)的運用,求切線的斜率,考查兩點的斜率公式,以及化簡運算能力,屬于中檔題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13【解析】設等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意求出和的值,進而可求得和的值,利用等比數(shù)列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得,由于與的等差中項為,則,則,因此,.故答案為:.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和,解答的關鍵就是等比數(shù)列的公比,考查計算能力,屬于基礎題.14-1【解析】由題意,令即可得解.【詳解】z112i,z2a+2i,又z1z2是純虛數(shù),解得:a1故答案為:1【點
13、睛】本題考查了復數(shù)的概念和運算,屬于基礎題.15【解析】由,為正實數(shù),且,可知,于是,可得,再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解:,為正實數(shù),且,可知,.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為:.【點睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)應用,恰當變形是解題的關鍵,屬于中檔題.16750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.00350=1,得a=0.006,所以10000.004+0.006+0.00550=750。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17()見解析;()【解析】()取的中點,連接,由,得三點共線,且,又,再利用線面垂直的判定
14、定理證明.()設,則,在底面中,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加求得,再過作,則平面,即點到平面的距離,由是中點,得到到平面的距離,然后根據(jù)與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】()取的中點,連接,由,得三點共線,且,又,所以平面,所以.()設,在底面中,在中,由余弦定理得:,在中,由余弦定理得,兩式相加得:,所以 ,過作,則平面,即點到平面的距離,因為是中點,所以為到平面的距離,因為與平面所成的角的正弦值為,即,解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理,線面角的應用,還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解的能力,屬于中檔題.18(1)b=32(2)a+c(32,3【解
15、析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉化為ac,于是可以求出b的值;(2)首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值,根據(jù)第(1)問得到的b值,可以運用正弦定理求出ABC外接圓半徑R,于是可以將a+c轉化為2RsinA+2RsinC,又因為角B的值已經(jīng)得到,所以將2RsinA+2RsinC轉化為關于A的正弦型函數(shù)表達式,這樣就可求出取值范圍;另外本問也可以在求出角B的值后,應用余弦定理及重要不等式a2+c22ac,求出a+c的最大值,當然,此時還要注意到三角形兩邊
16、之和大于第三邊這一條件. 試題解析:(1)由cosBb+cosCc=23sinA3sinC,應用余弦定理,可得a2+c2-b22abc+a2+b2-c22abc=23a3c 化簡得2b=3則b=32 (2) cosB+3sinB=212cosB+32sinB=1即sin(6+B)=1 B(0,) B+6=2 所以B=3 法一. 2R=bsinB=1,則a+c=sinA+sinC =sinA+sin(23-A) =32sinA+32cosA =3sin(A+6) 又0A23, 32b=32綜上a+c(32,3考點:1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應用.19(1)(2)【解
17、析】(1)先消去參數(shù),化為直角坐標方程,再利用求解.(2)直線與曲線方程聯(lián)立,得,求得弦長和點到直線的距離,再求的面積.【詳解】(1)由已知消去得,則,所以,所以直線的極坐標方程為(2)由,得,設,兩點對應的極分別為,則,所以,又點到直線的距離所以【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系,還考查了數(shù)形結合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.20(1)(2)證明見解析【解析】(1)根據(jù)公式得到,計算得到答案.(2),根據(jù)裂項求和法計算得到,得到證明.【詳解】(1)由已知得時,故.故數(shù)列為等比數(shù)列,且公比.又當時,.(2).【點睛】本題考查了數(shù)列通項公式和
18、證明數(shù)列不等式,意在考查學生對于數(shù)列公式方法的綜合應用.21 (1) 曲線的直角坐標方程為即,直線的普通方程為;(2).【解析】(1)利用代入法消去參數(shù)方程中的參數(shù),可得直線的普通方程,極坐標方程兩邊同乘以利用 即可得曲線的直角坐標方程;(2)直線的參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義,利用韋達定理可得結果.【詳解】(1)由,得,所以曲線的直角坐標方程為,即, 直線的普通方程為. (2)將直線的參數(shù)方程代入并化簡、整理,得. 因為直線與曲線交于,兩點所以,解得.由根與系數(shù)的關系,得,. 因為點的直角坐標為,在直線上.所以, 解得,此時滿足.且,故.【點睛】參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去參數(shù)化為普通方程,通過選取相應的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程,利用關系式,等可以把極
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