1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項：1 答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用05毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1集合中含有的元素個數為（ ）A4B6C8D122 “完全數”是一些特殊的自然數，它所有的真因子

2、（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身.古希臘數學家畢達哥拉斯公元前六世紀發現了第一、二個“完全數”6和28，進一步研究發現后續三個完全數”分別為496，8128，33550336，現將這五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個，則6和28不在同一組的概率為（ ）ABCD3已知函數，且)，則“在上是單調函數”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件4如果，那么下列不等式成立的是（ ）ABCD5在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是26.7，天狼

3、星的星等是1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為( )A1010.1B10.1Clg10.1D1010.16曲線上任意一點處的切線斜率的最小值為（ ）A3B2CD17關于函數，下列說法正確的是（ ）A函數的定義域為B函數一個遞增區間為C函數的圖像關于直線對稱D將函數圖像向左平移個單位可得函數的圖像8已知是函數圖象上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，則的最小值為（ ）ABC0D9在各項均為正數的等比數列中，若，則（ ）AB6C4D510已知雙曲線的左、右頂點分別為，點是雙曲線上與不重合的動點，若， 則雙曲線的離心率為()ABC4D211已知為虛數單位，若復數，則ABCD12已知點，是函數的函

4、數圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則( )A，b為任意非零實數B，a為任意非零實數Ca、b均為任意實數D不存在滿足條件的實數a，b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為等比數列，是它的前項和.若，且與的等差中項為，則_.14已知復數z112i，z2a+2i（其中i是虛數單位，aR），若z1z2是純虛數，則a的值為_15已知，為正實數，且，則的最小值為_.16某地區教育主管部門為了對該地區模擬考試成績進行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1 000名學生的成績，并根據這1 000名學生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在250，400)內的學

5、生共有_人三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，四棱錐中，平面，.（）證明：；（）若是中點，與平面所成的角的正弦值為，求的長.18（12分）已知在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosBb+cosCc=23sinA3sinC. （1）求b的值；（2）若cosB+3sinB=2,求a+c的取值范圍.19（12分）已知在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為（1）求直線的極坐標方程；（2）若直線與曲線交于，兩點，求的面積20（12分）已知數列的各項均為

6、正數，為其前n項和，對于任意的滿足關系式.（1）求數列的通項公式；（2）設數列的通項公式是，前n項和為，求證：對于任意的正數n，總有.21（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為；直線的參數方程為 （為參數），直線與曲線分別交于兩點（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若點的極坐標為，求的值22（10分）運輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機三種運輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時、120千米/小時、600千米/小時，每千米的運費分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運輸過程中每小時的損耗為m元（），運輸的路程為S（千米）

7、.設用汽車、火車、飛機三種運輸工具運輸時各自的總費用（包括運費和損耗費）分別為（元）、（元）、（元）.（1）請分別寫出、的表達式；（2）試確定使用哪種運輸工具總費用最省.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】解：因為集合中的元素表示的是被12整除的正整數，那么可得為1，2,3,4，6，,12故選B2C【解析】先求出五個“完全數”隨機分為兩組，一組2個，另一組3個的基本事件總數為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，根據即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據題意，將五個“完全數”隨機分為兩組

8、，一組2個，另一組3個，則基本事件總數為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個數，6和28不在同一組的概率.故選：C.【點睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實際問題中組合數的應用.3C【解析】先求出復合函數在上是單調函數的充要條件，再看其和的包含關系，利用集合間包含關系與充要條件之間的關系，判斷正確答案.【詳解】，且)，由得或，即的定義域為或，（且） 令，其在單調遞減，單調遞增，在上是單調函數，其充要條件為即.故選：C.【點睛】本題考查了復合函數的單調性的判斷問題，充要條件的判斷，屬于基礎題.4D【解析】利用函數的單調性、不等式的基本性質即可得出.【詳解】，.故選：D.【點睛】本小題主要

9、考查利用函數的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.5A【解析】由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識信息處理能力閱讀理解能力以及指數對數運算.6A【解析】根據題意，求導后結合基本不等式，即可求出切線斜率，即可得出答案.【詳解】解：由于，根據導數的幾何意義得：，即切線斜率，當且僅當等號成立，所以上任意一點處的切線斜率的最小值為3.故選：A.【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用以及運用基本不等式求最值，考查計算能力.7B【解析】化簡到，根據定義域排除，計算單調性知正確，得

10、到答案.【詳解】，故函數的定義域為，故錯誤；當時，函數單調遞增，故正確；當，關于的對稱的直線為不在定義域內，故錯誤.平移得到的函數定義域為，故不可能為，錯誤.故選：.【點睛】本題考查了三角恒等變換，三角函數單調性，定義域，對稱，三角函數平移，意在考查學生的綜合應用能力.8C【解析】先畫出函數圖像和圓，可知，若設，則，所以，而要求的最小值，只要取得最大值，若設圓的圓心為，則，所以只要取得最小值，若設，則，然后構造函數，利用導數求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為，設，則，設，記，則，令，因為在上單調遞增，且，所以當時，；當時，則在上單調遞減，在上單調遞增，所以，即，所以（當時等號成立）.故選：C

11、【點睛】此題考查的是兩個向量的數量積的最小值，利用了導數求解，考查了轉化思想和運算能力，屬于難題.9D【解析】由對數運算法則和等比數列的性質計算【詳解】由題意故選：D【點睛】本題考查等比數列的性質，考查對數的運算法則掌握等比數列的性質是解題關鍵10D【解析】設，根據可得，再根據又，由可得，化簡可得，即可求出離心率【詳解】解：設，即，又，由可得，即，故選：D【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，考查了斜率的計算，離心率的求法，屬于基礎題和易錯題11B【解析】因為，所以，故選B12A【解析】求得的導函數，結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數.【詳解】依題意，在點處的

12、切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數.故選：A【點睛】本題考查導數的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】設等比數列的公比為，根據題意求出和的值，進而可求得和的值，利用等比數列求和公式可求得的值.【詳解】由等比數列的性質可得，由于與的等差中項為，則，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數列求和，解答的關鍵就是等比數列的公比，考查計算能力，屬于基礎題.14-1【解析】由題意，令即可得解.【詳解】z112i，z2a+2i，又z1z2是純虛數，解得：a1故答案為：1【點

13、睛】本題考查了復數的概念和運算，屬于基礎題.15【解析】由，為正實數，且，可知，于是，可得，再利用基本不等式即可得出結果.【詳解】解：，為正實數，且，可知，.當且僅當時取等號.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了基本不等式的性質應用，恰當變形是解題的關鍵，屬于中檔題.16750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.00350=1，得a=0.006，所以10000.004+0.006+0.00550=750。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（）見解析；（）【解析】（）取的中點，連接，由，得三點共線，且，又，再利用線面垂直的判定

14、定理證明.（）設，則，在底面中，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加求得，再過作，則平面，即點到平面的距離，由是中點，得到到平面的距離，然后根據與平面所成的角的正弦值為求解.【詳解】（）取的中點，連接，由，得三點共線，且，又，所以平面，所以.（）設，在底面中，在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得，兩式相加得：，所以 ，過作，則平面，即點到平面的距離，因為是中點，所以為到平面的距離，因為與平面所成的角的正弦值為，即，解得.【點睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應用，還考查了轉化化歸的思想和空間想象運算求解的能力，屬于中檔題.18（1）b=32（2）a+c(32,3【解

15、析】試題分析：（1）本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值，所以可以考慮到根據余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示，再根據正弦定理可以將sinAsinC轉化為ac，于是可以求出b的值；（2）首先根據sinB+3cosB=2求出角B的值，根據第（1）問得到的b值，可以運用正弦定理求出ABC外接圓半徑R，于是可以將a+c轉化為2RsinA+2RsinC，又因為角B的值已經得到，所以將2RsinA+2RsinC轉化為關于A的正弦型函數表達式，這樣就可求出取值范圍；另外本問也可以在求出角B的值后，應用余弦定理及重要不等式a2+c22ac，求出a+c的最大值，當然，此時還要注意到三角形兩邊

16、之和大于第三邊這一條件. 試題解析：（1）由cosBb+cosCc=23sinA3sinC，應用余弦定理，可得a2+c2-b22abc+a2+b2-c22abc=23a3c 化簡得2b=3則b=32 （2） cosB+3sinB=212cosB+32sinB=1即sin(6+B)=1 B(0,) B+6=2 所以B=3 法一. 2R=bsinB=1,則a+c=sinA+sinC =sinA+sin(23-A) =32sinA+32cosA =3sin(A+6) 又0A23, 32b=32綜上a+c(32,3考點：1.正、余弦定理；2.正弦型函數求值域；3.重要不等式的應用.19（1）（2）【解

17、析】（1）先消去參數，化為直角坐標方程，再利用求解.（2）直線與曲線方程聯立，得，求得弦長和點到直線的距離，再求的面積.【詳解】（1）由已知消去得，則，所以，所以直線的極坐標方程為（2）由，得，設，兩點對應的極分別為，則，所以，又點到直線的距離所以【點睛】本題主要考查參數方程、直角坐標方程及極坐標方程的轉化和直線與曲線的位置關系，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.20（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據公式得到，計算得到答案.（2），根據裂項求和法計算得到，得到證明.【詳解】（1）由已知得時，故.故數列為等比數列，且公比.又當時，.（2）.【點睛】本題考查了數列通項公式和

18、證明數列不等式，意在考查學生對于數列公式方法的綜合應用.21 (1) 曲線的直角坐標方程為即，直線的普通方程為；（2）.【解析】（1）利用代入法消去參數方程中的參數，可得直線的普通方程，極坐標方程兩邊同乘以利用 即可得曲線的直角坐標方程；（2）直線的參數方程代入圓的直角坐標方程，根據直線參數方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）由，得，所以曲線的直角坐標方程為，即， 直線的普通方程為. (2)將直線的參數方程代入并化簡、整理，得. 因為直線與曲線交于，兩點所以，解得.由根與系數的關系，得，. 因為點的直角坐標為，在直線上.所以， 解得，此時滿足.且，故.【點睛】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程，利用關系式，等可以把極