1、16 期權定價的二叉樹模型假設條件:(1)最根本的模型為不支付股利的歐式股票看漲期權定價模型(2)股票市場與期權市場是完全競爭的,市場運轉是非常具有效率的(3)股票現貨與期權合約的買賣,不涉及買賣本錢,而且也不存在稅收問題(4)市場參與者可按知的無風險利率無限制地借入資金或貸出資金,利率在期權有效期內堅持不變,而且不存在信譽風險或違約風險26.1 單期模型6.1.1單期二叉樹期權定價模型 設目前為0期，期權合約的根底資產如股票價錢的現行市場價錢為S，在下一期股票價錢變動只存在兩種能夠的結果：或者股票價錢上升至Su，或者股票價錢下降至Sd，而上升或下降的概率呈二次分布狀。在這里下標號u和d表示變

2、量數值上升或下降為原數值的倍數，即u1，d1。與此相對，股票看漲期權的初始價值為c，在下一期歐式期權的到期日伴隨著股票價錢的上漲或下跌，該期權合約的價錢也有兩種能夠，即要么上升至cu，要么下降至cd，作圖。二叉樹、節點、途徑36.1 單期模型 S C由于這個圖形猶如一根叉開的樹枝，所以被稱為“二叉樹，模型中，每一個數值被稱作是一個節點，每一條通往各節點的線稱作途徑。SuSdCuCd4第一節 單期模型例8-1 設股票的現價(S)為$100,3月看漲期權的執行價錢(K)為$110。在U=1.3和d=0.9情況下，期權價值？5分析： 當前 下一期 股票價錢su=$130 u=1.3 期權價值cu=股

3、票價錢s=$100 max(su-k，0)=$20期權價值c=？ d=0.9 股票價錢sd=$90 期權價值cd= maxsd-k,0)=06資產組合目前的成本或價值（V0）到期日（假定是3個月后）的價值（VT） ST =$100(u=1.3) ST= $90(d=0.9)買進股股票賣出1份看漲期權-$100 +C(未知數）+$130 -$20+$90 0合計C -$100 $130 -$20$90 資產組合的目前本錢與未來價值7$130 -$20=$90 (風險中性假定=0.5股票上漲：VT= $130 0.5-$20=$45股票下跌：VT=$90 x0.5=$45根據有效市場的假設，在不冒

4、風險的情況下，人們在金融市場上只能賺得無風險利率。換言之，資產組合在當前的價值，是其在到期日的價值($45)按無風險利率進展貼現后的現值。假定無風險利率為10%，而且按延續復利進展貼現，那么：V0=$45xe-10%x0.25=$43.8943.89=100 x0.5-cC=50-43.89=$6.118按上分析：股票上漲 VT=Sux -Cu股票下跌VT=Sdx -CdSux -Cu=Sdx -Cd6.1.2 單期二項式期權定價模型的通用公式 被稱為套期保值比率，它代表無風險資產組合所要求的股票持有量。設無風險利率為r,且dru(一定成立，否那么市場失衡，就會產生套利保值型資產組合的現值為：

5、Sux -Cue-rt，或者Sdx -Cde-rt;而目前資產本錢：Sx -C；市場平衡時，二者相等Sdx -Cde-rt= Sx -C；C= Sx - Sdx -Cde-rt;9資產組合目前的成本或價值（V0）到期日（假定是3個月后）的價值（VT） ST =$100(u=1.3) ST= $90(d=0.9)買進0.5股股票賣出1份看漲期權按無風險利率借入資金-$50+$6.11+$43.89+$65-$20-$45+$450-$45資產組合的價值000平衡價錢下保值型資產組合只能賺得無風險利率6.1.3 期權定價與無風險套利10資產組合目前的成本或價值（V0）到期日（假定是3個月后）的價值

6、（VT） ST =$100(u=1.3) ST= $90(d=0.9)賣出0.5股股票買進1份看漲期權按無風險利率借入資金+$50-$5.00-$45-$65+$20+$46.14-$450+$46.14資產組合的價值0$1.14$1.14假定價錢為$5.00，在期權價錢被低估的情況下11資產組合目前的成本或價值（V0）到期日（假定是3個月后）的價值（VT） ST =$100(u=1.3) ST= $90(d=0.9)買進0.5股股票賣出1份看漲期權按無風險利率借入資金-$50+$8.00+$42+$65-$20-$43.06+$450-$43.06資產組合的價值0$1.94$1.94假定價錢

7、為$8.00，在期權價錢被高估的情況下126.1.4 期權定價中的風險中立假設 二叉樹期權定價模型并不依賴于投資者對待風險的態度。也不涉及股票價錢漲跌的概率。究其緣由是由于在金融市場上有價證券的價錢漲跌的概率都曾經反映在現行的市場價錢之中，所以沒有必要再對以股票作為根底資產的期權定價另外作出股票漲跌概率的假設。由此可見，公式中的q和1-q，從本質上講都不是概率，但其數學特征與概率完全一樣，因此q和1-q也被稱作“假概率。13 將q和1-q解釋成股票價錢上漲和下跌的假概率，實踐上默許了定價中風險中立估價原那么假定。推導如下：E(ST)=qSu+(1-q)SdE(ST)=qS(u-d)+Sd再將q

8、=(erT-d)/(u-d)代入得：E(ST)=SerT146.1.5二項式期權定價中的u和d 二叉樹期權定價模型中u和d與根底資產價錢的動搖性是有聯絡的，即u和d的數值取決于的大小及t的長短。推導如下：156.2 兩步二叉樹期權定價模型6.2.1 歐式看漲例6-4 有一種執行價錢為$110，期限為6個月每3個月算一期，共兩期的歐式看漲股票期權，作為其根底資產的股票價錢每隔3個月變動一次，或上漲30%，或下跌10%，且u和d在期權的有效期內堅持不變，求期權期初價值。16例6-5 有一種執行價錢為$110，期限為6個月每3個月算一期，共兩期的歐式看跌股票期權，作為其根底資產的股票價錢每隔3個月變

9、動一次，或上漲30%，或下跌10%，且u和d在期權的有效期內堅持不變，求期權期初價值。6.2.2歐式看跌期權的兩期定價模型17例6-6設某公司股票的現價為$80，在3期每6個月為1期，180月二杈樹模型中，假定u=1.5,d=0.5,敲定價錢$80,無風險利率為20%。計算模型各節點的股價、期權價、假概率、值6.2.3 無風險資產組合的套期保值率186.3 期權定價N期模型的通用公式196.4 美式期權的二叉樹定價模型6.4.1 美式看漲期權的定價及其不能夠提早執行的理由 無紅利支付情況下，美式看漲期權的定價例：某公司股票的現行市價為$100，假定股價每三個月漲跌一次即t=0.25年，u=1.

10、2，d=0.8。假定有一項以該公司股票為根底資產的美式看漲期權，執行價錢為$104，期限為9個月，當時市場上的無風險利率為10%。判別提早執行的能夠性及期初價值。1股價二杈樹圖： 172.8 Cuuu=68.8 144 120 115.2 Cuud=11.2100 96 80 76.8 Cudd=0 64 51.2 Cddd=0206.4.2 美式看跌期權的定價及其提早執行的能夠性 例：某公司股票的現行市價為$100，假定股價每三個月漲跌一次即t=0.25年，u=1.2，d=0.8。假定有一項以該公司股票為根底資產的美式看跌期權，執行價錢為$104，期限為9個月，當時市場上的無風險利率為10%

11、。判別提早執行的能夠性及期初價值。1股價二杈樹圖： 172.8 Pu3=0 144 120 115.2 Pu2d=0100 96 80 76.8 Pud2=27.2 64 51.2 Pd3=52.821T-t 時 實際價值Pu2=0Pud=11.59Pd2=37.43T-t 時的執行價值內在價值Pu2=max(104-144,0)=0Pud=max(104-96,0)=$8Pd2=max(104-64,0)=40在計算Pu和Pd時，應運用各自持有價值或執行價值中較大的一個。Pu=4.96 對應執行價錢為： Pu=0Pd=23.4 Pd=24P=12.94226.5 股價指數期權、外幣期權【例6-8】 有一項美式的英鎊看跌期權，期限為6個月，即期匯率為$1.51/，期權的執行價錢為$1.50/ ，英鎊兌美圓的動搖性或易變性為12%。美國的無風險利率為10%，英國的無風險利率為11%。建立一個以2個月為1期的外幣二叉樹期權模型。【例6-9】美式股指3月期期貨的看漲期權，期貨合約的成交價錢為1000點，期權的執行價錢也為1000點，市場上的無風險利率為12%，在無風險估價原那么下，它