1、學校代號 10530學 號 201610111047分類號 0231.1-密 級泡潭大律碩士學位論文連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的估計及左一美日寺滯系盅擊南應用學位申請人崔志盟指導教師劉建州教授學院名稱 數學與計算科學學院學科專業數學研究方向代數學和矩陣分析及其應用二零一九年四月七日連續耦爵g霰溯的估計學位申請人崔志盟導師姓名和職稱劉建州教授學院名稱數學與計算科學學院學科專業數學研究方向 代數學和矩陣分析及其應用學位申請級別理學碩士學位授予單位湘潭大學論文提交日期201947The bounds for the solution of the continuouscoupled al

2、gebraic Lyapunov matrix equation and itsapplication in a class of time-delay systemCandidateZliimeng CuiSupervisor and RankProf. Jianzhou LiuCollegeMathematics and Computational ScienceProgramMathematicsSpecialization Algebra and Matrix Analysis and Its Application DegreeMaster of ScienceUniversityX

3、iangtan UniversityDateApril 7tli, 2019學位/翳毒聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行研究所取 得的研究成果。除了文中特別加以標注引用的內容外，本論文不包含任何其 他個人或集體已經發表或撰寫的成果作品。對本文的研究做出重要貢獻的個 人和集體，均己在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律后果 由本人承擔。作者簽名：修扁亂 日期:初，砂月/日學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解學校有關保留、使用學位論文的規定，同意學 校保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許論文被查 閱和借閱。本人授權湘潭大學可以將本學位論

4、文的全部或部分內容編入有關 數據庫進行檢索?？梢圆捎糜坝?、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位 論文。涉密論文按學校規定處理。作者簽名：雀鬲闌 日期年上月,日隨著現代技術和機械工程的飛速發展，控制系統的研究應用得到了學者們空前的 關注.在研究控制系統時，人們常常需要考慮和研究它們的穩定性分析和最優化問題等, 而對于這些問題的研究，在許多情況下都可以轉化為相應的Lyapunov矩陣方程的求解 問題及對其解的上下界的估計問題.因此，對Lyapunov矩陣方程半正定解的研究及其應 用得到了許多學者的關注，且在理論和具體應用上取得不少研究成果.本文利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負性和矩陣的

5、不等式，對連續耦合 代數Lyapunov矩陣方程進行變換，并且利用矩陣的恒等變換和正定矩陣的性質，獲得了 方程半正定解的含有參數的兩個上界.然后，通過構造出連續耦合代數Lyapunov矩陣 方程的等價形式，利用矩陣特征值的性質，矩陣的恒等變換，結合矩陣不等式的放縮得 到了連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的下界.并且，用具體的數值例子驗證了所得結果 的有效性，并且比較了它們的精確性.最后，根據文章得到的連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界，結合矩陣恒等變 換和不等式的放縮并且選擇合適的Lyapunov函數，得到了使一類時滯系統穩定的的條 件，并用具體的數值例子說明得到結果的有效性.關

6、鍵詞：半正定解；連續耦合代數Lyapunov矩陣方程；Kronecker積；矩陣；時 滯系統.AbstractWith the ra.pid development of modern technology and mechanical engineering, the research and application of control systems has received unprecedented attention from scholars. When studying control systems, people often need to consider and stu

7、dy their stability analysis and optimization problems. In many cases, the problem can be transformed into the solution of the corresponding Lyapunov matrix equation and the upper and lower bounds of its solution. Therefore, the research on the semi-positive definite solution of Lyapunov matrix equat

8、ions and its application have attracted the attention of many scholars, and in the theory and specific applications, many research results have been obtained.In this paper, we use the Kronecker product of the matrix, the non-negative of the A/matrix inverse and the inequality of the matrix to transf

9、orm the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation, and use the identity of the matrix and the properties of the positive definite matrix, the two upper bounds containing the parameters. Then, by constructing the equivalent form of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation

10、, and then using the properties of the matrix eigenvalues, the identity transformation of the matrix, combined with the scaling of the matrix inequality, the lower bound of the continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation is obtained. Moreover, the validity of the results obtained is verifi

11、ed by specific numerical examples, and their accuracy is compared.Finally, according to the upper bound of the solution of the continuous coupling algebra Lyapunov matrix equation obtained by the paper, combined with the matrix identity transformation and the inequality scaling and selecting the app

12、ropriate Lyapunov function, the conditions for stabilizing a class of time-de lay systems are obtained, and use specific numerical examples to illustrate the validity of the results.Keywords: positive semi-definite solution; continuous coupled algebraic Lyapunov matrix equation; Kronecker product; A

13、/matrix; time-delay system. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark7 o Current Document 第一章緒論1 HYPERLINK l bookmark10 o Current Document 1.1課題的背景來源1 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 1.2本文的主要工作2 HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1.3本文所用記號及定義4 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 第二章連

14、續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界52.1引言5 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document 2.3連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界6 HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 2.3數值例子14 HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 第三章連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 3.1引言16 HYPERLIN

15、K l bookmark45 o Current Document 3.2連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界16 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 3.3數值例子19第四章連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界在時滯系統中的應用. 21 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 4.1引言214.2連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界在一類時滯系統中的應用. 21 HYPERLINK l bookmark63 o Current Document 4.3數值例子24 HYPERL

16、INK l bookmark66 o Current Document 總結與展望25 HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 參考文獻26 HYPERLINK l bookmark119 o Current Document 致謝30第一章緒論1.1課題的背景來源近年來，網絡控制、工業生產、航空航天及動態規劃等領域都涉及到控制系統，控 制系統的研究應用得到了學者們空前的關注.在研究控制系統時，人們常常需要考慮和 研究它們的穩定性分析和最優化問題等，而對于這些問題的研究，通常可以轉成研究相 應的Lyapunov和Riccati矩陣方程的半正定解和解的

17、性質問題.解決非線性系統穩定性問題的一種有效方法是利用Lyapunov穩定性理論，許多控制 系統中的問題，如控制系統中的穩定性分析，大多情況下都可轉化研究相應的Lyapunov矩 陣方程的求解問題.但在實際運算中，Lyapunov矩陣方程的精確解是很難計算得到的， 特別是當矩陣維數不斷增大時，求解的過程會更復雜.但是在許多實際問題中，只需 知道Lyapunov矩陣方程的近似解即可.例如時滯系統的穩定性分析，就可以由連續代 數Lyapunov矩陣方程解的界來得到穩定性條件.連續代數Lyapunov矩陣方程解的界可以應用到時滯系統的穩定性分析問題中4, 5, 6.比如在管道中流體的流動和長導線上的

18、電信號傳遞都會伴隨時間的延遲，像含有這 類元素的系統都為時滯系統.實際上，時滯現象在控制系統中是普遍存在，我們所研究 的時滯系統大多是時滯不能忽略的系統，例如國民經濟& 9、冷軋機11, 13和交通運 輸網絡12等.對于時滯系統穩定性分析和魯棒控制都是近些年學者們所熱衷研究的問 題.考慮下面的時滯系統：房(匕)= d).(1.1.1)申即士 (t) = Ax(t) + d).(1.1.2)其中0-hls(t)InA =,B =01&)s2 (七)【n 0j并且Xi(t) e Rn是常數向量，%(t)是關于時間t的函數，正常數d是延遲，矩陣&是 具有恰當維數的常數矩陣.對于上述時滯系統(1.1.

19、2)的穩定性分析，我們可以利用下面 連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的半正定解來討論.A?Pi + 2 di/Pj = Qi,其中i,j e S, S = 1,2, - ,s是一個有限集合，dij是一組實數并且da 。(號7)，E心=0. & Rg是常數矩陣，Q. e Rnxn為對稱半正定矩陣，R Gjes是矩陣方程(1.1)的對稱半正定解.當s = 1時，上述時滯系統(1.1.2)退化為下面的線性定常系統() = Ax(t),(1.1.3)x(t)為n維狀態向量，則對系統(1.1.3)的穩定性討論，就可以轉化為連續代數Lyapunov矩 陣方程的求解問題.在線性跳躍系統的馬爾科夫過程中耦

20、合的Lyapunov矩陣方程也有著極其重要的作 用22. J.M已經在文獻23中得到線性跳躍系統中耦合微分Lyapunov矩陣方程的精確解， 但是這個解是應用Kronecker積得到的，而這種方法會使矩陣方程的維數增大.在實際 操作中，矩陣的維數越大計算量就會更大，導致方程求解將會更加復雜.對于這一問題， 文獻24給出了用迭代降維的兩種平行算法來求時間連續和離散的耦合代數Lyapunov矩 陣方程的解.事實上，許多實際問題，只需知道矩陣方程的解的上下界就可以了.故本文 將對連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上下界進行了推導，并且將它的上界應用到 了一類時滯系統中.1.2本文的主要工作本文

21、利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負性、矩陣的恒等變換和矩陣不等 式變換，得到了連續耦合代數Lyapunov矩陣方程半正定解的帶有參數的兩個上界.并且 對連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界也進行了估計.最后，進一步討論了的方程 解的上界在一類時滯系統中的應用.本文主要內容分為四個部分：第一部分，簡要說明了連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的背景及來源，且簡述了本 文所用的基本符號和相關定義.第二部分，首先利用矩陣的Kronecker積、AI-矩陣逆的非負性和矩陣的不等式，對 連續耦合代數Lyapunov矩陣方程進行變換，并且利用矩陣的恒等變換和正定矩陣的性 質，獲得了方程半

22、正定解的含有參數的兩個上界.最后，通過數值例子驗證了所得結果 的有效性，并且比較了它們的精確性.第三部分，通過構造出連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的等價形式，然后利用矩陣 特征值的性質，矩陣的恒等變換，結合矩陣不等式的放縮得到了連續耦合代數Lyapunov矩 陣方程半正定解的下界，并且用具體的數值例子說明了它的有效性.第四部分，根據第二部分得到的連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界，結合矩 陣恒等變換和不等式的放縮并且選擇合適的Lyapunov函數，得到了使時滯系統穩定的 條件，并用數值例子說明了其有效性.1.3本文所用記號與定義RmXn(CmXn)表示m x n階實(或復)數矩

23、陣的集合. 歐(頃)表示n維實(或復)數列向量的集合.I：單位矩陣.設矩陣A =(如)e Rnxn,AT-.矩陣A的轉置.A-1：矩陣A的逆.A(A) = *(&, A2(A),An(A)表示矩陣A的特征值，且實部有如下序列： Re(XA) ReX2(A) . J?e(An(A)./i(A)：矩陣A的測度，定義為/i(A)=舄(0 + )/2).4 A上)0,說明矩陣A是對稱正定(半正定)矩陣.A A ()B,說明矩陣A-B是對稱正定(半正定)矩陣.A0,說明矩陣A是非負矩陣，即矩陣A的每個元素都是非負的.A B,代表矩陣A與矩陣B的Kronecker積.定義1設B R” 若其非對角元素都為非

24、正數，則B為Z-矩陣.定義2設A Rg”是Z一矩陣，且A = si - B,其中6 Rnxn是非負矩陣，若 s p(B),則A為M一矩陣.第二章連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界2.1弓I言本章主要討論下面的連續耦合代數Lyapunov矩陣方程(CCALE)A?Pi + 丹& +：心？3 =(2.1.1)頂盧其中i,j e s, s =- ,4是一個有限集合，dij是一組實數并且da 。(號項)，E心=0. & Rnxn是常數矩陣，Qi e Rnxn為對稱半正定矩陣，Pi e Rnxn jes是矩陣方程(2.1.1)的半正定解.當s = 1時，方程退化為CCAL

25、E (2.1.1)的一般形式：P + PA = Q.(2.1.2)本章通過對連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的變換，結合矩陣的Kronecker積、肱 -矩陣逆的非負性及正定矩陣的性質和不等式放縮技巧，得到方程半正定解的兩個含有 參數的上界.最后用數值例子驗證了所得結果的有效性和優越性.引理2.1所對任意對稱矩陣X e R,有XnWl 廿 X 廿人 1(X)1.引理2.2叫 設矩陣X,y e Rnxn,且X是半正定矩陣，則U = ytx + xfyo成立當且僅當矩陣(Y + Y)是半負定的.引理2.3冏設A R,戶是侃階實對稱矩陣，若A y 0,則+ 方 Y(Y)0當且僅當P h(A)0.

26、引理2.4山，鑰設X是Z矩陣，則下列條件等價； X是M一矩陣；XT 0;X的所有對角元素都是正數，且存在一個正對角矩陣D使得XD是嚴格對角占優 矩陣.引理2.5冏 對于任意對稱矩陣AhBi e Rnxn(i = 1,2, ,”)，和非負實常數 Cij 0(?, j = 1, 2, - ,n),如果 & A Bi,則有nn:% % B j.j=ij=l2.2連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的Kronecker積型上界在本節，我們運用矩陣的Kronecker積，矩陣不等式的變換和矩陣及非負矩 陣的性質，得到連續耦合代數Lyapunov矩陣方程的解的上界.最后，我們用一些數值例 子來檢驗所得結

27、果的有效性.定理2.1設Pt是CCALE(2A：l)的對稱半正定解，如果有& + *Y0,(2.2.1)并且F e Rsxs是一個 M一矩陣，則對于任意的正數炫0,其中今 S, Pi有如下上界Pr Y (&一 依/)一7(& + 底/)%(& + 即)(&一 底/廣4炫 (&)(& Pui(Ai 庇1)-1 = Pi-(2.2.2)其中S Pui = 9ijQ3。，項=1, 2, , s).(2.2.3)j=i并且，矩陣F和正實數gij分別定義為2/z(Ai)die.dis 、2_2/(&).一奴F =， dsi ds2 .)F_ = G = S).證明：令己+ 一，22/（&）應用引理2.1

28、可得M? + Mi =/+& +用2川（&）I + 人 1（& + A?）Ir 2（&）/2四（&）=0.（2.2.4）我們很容易驗證（2.2.5）（& 一照）H& + 庇I） = （& + 炫/）（& 庇1） 1.通過對CCALE (2.1.1)的變形和(2.2.5)式,一2（珞艮）十（一丹）2扁 Qi + YdijPj=2四（&） E珞 + %&）+_2；&）0 + 由*/ = w（a）（&庇wo 汕-&+/V）叩二（&+/） + 2；&） =4/3 /li（A ） （& +。）丁Pui（A + 底/） 4f3i/i（Ai）Pui（& /）（& + 刊汀產 Ri（Ai + 底/）2（& 8

29、i【）T0 + 也馮 +4&必（&）（& + 炫/）（& Si【）TPui（Ai 底/）T（& + 炫/） H2/（A） TOC o 1-5 h z 1=*73（& /） （& + /） （4i /3iI）TPui（Ai /3il）4為口（&）L0 + dijPj -p +三uz_2四（&）=（& 反/）（& +/）（& + 慶1）丁Pui（A + 庇I） + 4庇認APui （& + &/）（& 0iI）T _/4_t刀,i十 時（& + M）（& -歸）Qg + dijPj-p m -2/z(A)=(A-即尸(& + 庇 W (_2，&) + gz + RJ2，&) 十 勺(& + 底/)

30、(& 徵廣 Qi H-: dj Pj-p m _2四(&).(2.2.6)由定理條件可知Pui是半正定的，根據(2.2.4)式和引理2.2,我們可以得到+ 勺 + 5)-0?因此等式(2.2.6)可以變形為下面的不等式ATA.Qi + EdijPj(2.2.7)Lj(P p. A- (P _ p.* Y _P 2水&)泌g J_2四(&)一 十 _2四(&)，同樣地，利用方程(2.1.1)的等價形式，根據(2.2.4)式和引理2.2,有下面的矩陣不等式0 + g djPj-2；&)-司 +0 + di/Pjpa-2心) d A?(Qi + 】由，P，)(Qi + 2 dijPj)Ai0+V-P

31、- +坦+蘭5 +_2四(&)+-2四(&)J尹Z(f+m+Q+ # 此)(;+M?(Qi + 2 d訪Pj) + (0 + 52頂盧0.(2.2.8)因此有矩陣0 + -2；) _- 0,故有2四(&)只djjPj Qi (i = 1, 2, , s). 頂盧Ti = Qi 2/j,(Ai)Pi +: dijPj 0,申然后，我們有等式2四(&)只2 djjPj = Qi Ti (? = 1, 2, , s).(2.2.9)頂盧即2四(&)Pi di* = Qi Ti,許i2四(&)尸2 d%jPj = Q2 T2,頂尹2(2.2.10)2/z(t4s)Ps dsjPj = Qs Ts.5豐

32、s對于方程組(2.2.10),我們可以寫成如下形式(F/)PP2=Q1-T1 Q2 T2,(2.2.11)1 Ps ) Qs Ts )由條件知F是一個M一矩陣，所以F可以寫成F = sls- B,其中s B 0. 因此，我們有下面的等式F In = (sis B) 0 In=sis In B 區 In=slsn B In,利用文獻18中的定理9.1.13,可以得到p(B用)=p(B), Ai(B In) = AB), (F 0 1滬 =F-1 0 In.因此，F0ln也是一個M一矩陣.將(2.2.11)式兩邊同時乘以矩陣F-1 /,則變成(R 9ij(Qj - Tj) j=lP2 92j(Qj

33、 - Tj)j=l1 Ps ).52 9sj(Qj - Tj)頂=1Pi = E 9ij(Qj -Tj),j=i因為F是肱-矩陣，由引理2.4可以知道F-1是一個非負矩陣，則有gij 0,=1,2,. ,.s).然后再利用引理2.5,有 0,所以我們可以得到j=iPi 9ijQj = -Puij=l由(2.2.12)式可以得到Pul Pu2= gijQj頂=1s gjQj頂=1= (GM)Q2k Pus )sE QsjQj1 Qs )上式兩邊同時乘以矩陣(G/n)T = G-1 In = F In,將得到(F In)Pul Pu2=QQ21 Pus )Q s y展開得2/z(Ai)Pwl di

34、jPuj = Qi,許一2“(&)乙2 一 2jPuj = Q2,頂尹2一2由(A、) Pus I dsj Puj Qs 訐S2Ai)Pui ijPuj = Qi-因此Q / +】Puj s(2.2.12)(2.2.13)Pui = = 9ijQj-根據(2.2.12)式和(2.2.13)式，可得Pui +0 + ijPjj/i2四(&)Qi H-1 di,PujY Pui +=0.(2.2.14)現在，根據(2.2.7)式和(2.2.14)式，再利用條件(2.2.1)和引理2.3,可以知道球-Pt 是半正定的，即定理2.1得證.注記2.1從理論上我們可以證明定理2.1中的上界 外 比Rh好，

35、即Pui Y Pui-證明:Pui - Pm=(A- /V)T(& + 照)TPuE + 算)0-反/尸4依 (&)(& Pui(Ai 慶I) - Pui=(& &iI)-T (& + SiI)TPni(Ai _|_ 庇I) - 4庇叭Ai)Pui(& 6J)TPui(Aa- &/)(& 炫/)T=(& -伉I)T 2庇忍Pi + 2庇Pu，A 4(& / aTa .= 一4但但/)庇【)1Y 0.所以，有Pui Pm 注記2.2當s = 1時，矩陣方程CCALE (2.1.1)退化為CALE (2.1.2),并且定理 2.1就變成文獻42中的推論3.2.2.顯然，定理2.1是文獻42中的推論

36、3.2.2的推廣.同樣地，利用定理2.1中的一些結論，可以得到一個比定理2.1更精確的上界.定理2.2與定理2.1有相同的條件，則Pi有如下上界Pi Y (& 功/)丁 (& +彷/)2(& /) +/)T +/4/z(&)(& I)TPui(Ai /)t(& + 慶I) 4M/z(&)Rg(& - 房/)T證明：令Bi = 2(& /) T + IPui2(Ai 7) 1 + I卻(&)(& 1) tPui(Ai - I) *則有P*虹ui(&-&/) (& + 功/)7旦(& +。/)(& -但/) 1 -4底 /(&)(&-Pui(Ai 底/)T.(2.2.15)同樣的，根據等式(2.2

37、.15)和不等式(2.2.14),我們可以得到aTa .F了以)+皿)刁切 0 + 如 ijPj2四(&)(舟京 +。京&)+2；&)14/3 甲(Ai)4 即(&)i-QiWP京A 如)一+ /V)P京(& + 伉I)i + 庇 1)丁 Ba(Ai + 底/) 4/?滬(&)R(& (3iI)T(Ai + (3iI)2T Bi(Ai + 庇 I)2(Ai &/)_i0 + ijPj頂盧H2四(&)+4底四(&)(& +，/)(& 炫/) 丁Pui(A -庇1) i(& + 房/) +10 + dijPjj/i2四(&)、(& 一炫/) (&+(A% 庇1)丁B,(Ai - 歸)4% 四(&)

38、L(& + /3iI)TBi(Ai + 庇1) + 4庇fi(A，i)Pui (& + 炫/)(& 0 + Pj_P - +m _2四(&)Y (& &i【)T(Ai + 照)T ATA-i Bi + Bi- + Pui (& + (3iI)(Ai 房/)T.L2四(&)2四(&)(2.2.16)根據(2.2.11)式，對矩陣進行恒等變換，可以得到Bi = 2(& -/) T + IPui2(Ai I) 1 +/ 4/z(&)(& /) TPui(Ai I) 1=(& + /)(& /) /)M& + /)切(&)(& I)T Pui(Ai I)-】=(& + /)見(& + /) 4/1(&

39、)貝=峪卻(&)見.(2.2.17)其中旻和分別定義為Ui = (& 1)一叩濃(壓1) 咯=(& + /)見(& + I).通過(2.2.17)式，可以得出_B. + BH P -2四(4)2四(&)十m1=4?見& A?U UiAi Vi + 咯&) + 2A Ui +2四(&)ATta.r因為矩陣峪是半正定的，再根據(2.2.5)式利用引理2.2,所以有ATJA.J+ 5心頃* +。)叩即4?A刁切民+旦刁衣y+Pw -(2.2.18)將(2.2.18)式帶入到(2.2.16)式中，可得2四(&)(P R) + (P二-R)&2/1(4)ATA.(A，i 震) T(Ai + /3iI)T

40、Bi + Bj+/(&+，/)(&_/) 12四(&)2四(&)0.最后利用引理2.3得到R七0.證畢.注記2.3雖然定理2.1和定理2.2的上界的取值都依賴于Pul,但是定理2.2的上 界比定理2.1的上界更精確.證明：根據注記2.1的證明過程，我們易得民土臼坎然后再利用(2.2.15)式，有P：i = (& /V)T(& + /V)民(& + /V)(& 即)t4功 /(&)(& (3iI)TPui(Ai W)_iY (A-/V)T(& + 歸)Tp + /V)(& 汕T4庇. (&)(& /3iI)TPui(Ai 慶I)T當S = 1,定理2.1就退化成下面的推論.推論2.1設P是連續代

41、數Lyapunov矩陣方程2.1.2)的半正定解，若A-AT Y 0, 則對于任意的正數&0, P有上界P Y -+- I)T + /g2(A - 1) + /+2(A /) tQ(A Z) 1 (_4 + 以)+ 2/JQ(& /?/) 1.由注記2.1和注記2.2,我們很容易知道推論2.1的結果比文獻42中推論3.2.2的結果精確.2.3 數值例子下面，我們將舉具體例子說明本文上界的有效性. 例2.1:考慮 CCALE (2.1.1),其中，一61.52 (-4 00、-3 -20、& =0-2 -3,& =0 -31,& =0 -2-11 2.54 -1.5)1 00-Q)1 003)6

42、01、823、(22 2 Qi =0 6 2,6 =2 7 4,Q3 =25 -4(1 2 5 J 3 4 9 ,J4 5,da = 0.2, dij = 0.1(?豐 j),其中 i,jeS = l, 2, 3).通過計算可知矩陣&, &和A3都滿足條件(2.2.1),并且由定理2.1可得 TOC o 1-5 h z (0.4840-0.1000-0.1000F =-0.10005.8377-0.1000.I-0.1000-0.10002.5505)顯然F是一個矩陣，因此有1.35770.8078-0.6833 0.80782.5365-1.3830-0.6833-1.38302.46951

43、3.0125 0.24142.0361 11.6166 0.3606 0.5371 10.2414 13.2256 3.9977,Pu2 =0.3606 1.4691 0.7300i 2.03613.9977 11.2088 )i 0.5371 0.7300 1.7760 ；Pul =0.77230.4157-0.39160.41571.7844-0.9544-0.3916-0.95441.5832由定理2.1計算得6.7647 -0.6125 0.8113 11.3369 0.3187 0.4240 =-0.6125 9.9513 1.3275，% =0.3187 1.4393 0.6658

44、I 0.81131.3275 8.6377)I 0.4240 0.6658 1.3712)0.62590.2528-0.32700.25281.5487-0.8708-0.3270-0.87081.3946*1 Y P、 ul ulY Pul,5y再經過計算，可以得到Pu2,尸：3P*廠“3再由定理2.2可得3.7014 0.0354 0.0987 11.2363 0.3061 0.3773 1P* rul 0.0354 9.1215 0.4234)ru2 0.3061 1.4319 0.6439、0.0987 0.4234 6.0001)、0.3773 0.6439 1.1710)Y P：3

45、 Y七3,所以 定理2.2的上界要比定理2.1的上界更好，并且它們的上界都好于上界Pui.第三章連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界3.1弓I言本節運用矩陣特征值的性質和矩陣的恒等變換，對矩陣不等式進行放縮，得到了一 個連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界.引理3.1陟對任意矩陣X e欣x七有ReXX) (X).引理3.2 設X,y e Rnxn是對稱矩陣，且1 ?, j 人頂(X) +i + j n + 1,人fi(X + y) 人頂(X) + 人g(X), i + j 從和Mi * * * 如果X七則Ai /i, ? = 1, 2, , n.引理 3.4 閔設 z =- -

46、 - ,xn)T,y = (gi,切，,yn)T 6 R且 N g, A =(a茍)e Rg是非負的，則Ax Ay.3.2連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的下界定理3.1如果有Ai + Y 0,并且H e Ks是一個M一矩陣，則連續耦合代數Lyapunov.陣方程(2.1.1)的半正定解有如下的下界Pib Ph + (& I)(& +(& + /)(& ly1 = P；i.其中Plh H, n分別定義為Pli = 2(& /) (J2 曲以 + 0)(& /)T,頂盧1r/121 .diskT17iH =一21*21, desk?丁2=H_i721 dsiks ds2ks 1)J J *

47、 )ki = 2舄(& /)(& I)-1, 7i = 2An (Ai I)TQi(Ai-n-1證明：對CCALE (2.1.1)進行恒等變換可得(& 已(& /) = (& + /)(& + /) + 2(2 祐P/ + Qi),頂盧由條件4+ A? Y 0和引理3.1,可以知道Ai-I是非奇異的，有Pi = (& - /)(& + /)己(& + /)(& - I)T+2(& n-T(E dijPj + 0)(& I)一頂盧 因為Pi是半正定的，再利用引理2.1,故有Pi 工 2(&/)-djjPj + 0)(4 /)t頂盧2(& 1)項d布舄(P頂)(& I)T頂盧+2(& - I)TQ

48、i(Ai I)- 對不等式(3.2.2)兩邊同時取最小特征值，通過引理3.3知道不等式仍不變號，再利用引 理3.1得到下面的不等式從(R) 2 裳(&/)-(& 頂盧+2舄(& I)TQi(Ai /)-1,即有*n(Fi) 2An (& /)-(& I)-1 2 dijAn(Pj) N 2人打(& I)TQi(Ai 7)_1.5豐l把我們定義的ki和y代入到(3.2.3)式中得n (。/) kj: dij Xn (Pj ) 2 Ti,展開得舄(Pi) ki dijXn(Pj) 7i, 許i舄(尸2)-炳 助 Xn(Pj) N 72, j2(3.2.4)Xn(Ps) - ks: dsjXn(Pj

49、) Ts 5豐s方程組(3.2.4)的系數矩陣為H,所以方程組(3.2.4)可以寫成下面的矩陣不等式HAn(Pi) )pa72l 舄(Ps) * /(3.2.5)由于H是矩陣，根據引理2.4, H是非負的，再由引理3.4, (3.2.5)式等價于Wi) 舄(P2) H_i7172=/ bT2k X(Fs)I % /I C因此有將An(Pi) 匚代入到(3.2.2)式中得Pi 2(& I) d-ijTjl + Qi)(Ai 1) 1 = Pn，頂盧(3.2.6)再根據(3.2.1)式，(3.2.2)式和(3.2.6),式有Pi = (&-/)-(& + /)(&- /)T+2(& IdijPj

50、+ 0)(& /)T頂盧(& /)(& + /)&(& + /)(& /)T+2(& /)_T(+ Qi)(Ai I)T頂盧=R + (& /) (& + /)&(& + /)(& /) 1 (3.2.7) 定理3.1成立.當s = 1時,連續耦合代數Lyapunov矩陣方程(2.1.1)就退化為連續代數Lyapunov矩 陣方程(2.1.2),定理3.1就變成文獻39中的定理1,即：推論3.1設P是連續代數Lyapunov矩陣方程2.1.2；的半正定解，則P有下界 P 二 Pio + (A /廠7(4 + I)TPl(A + I)(A /)-1.其中矩陣pl0為Pio = 2(A I) tQ

51、(A I) 1.3.3 數值例子下面我們將給出具體的數值例子來說明本章得到的下界的有效性.例3.1:考慮CCALE (2.1.1),對于1,3 e 1,2,3,矩陣&, 0和常數如與例2.1 中的相同.根據定理3.1計算得到1.0000 -0.0031 -0.0031 H =-0.0040 1.0000 -0.0040.I -0.0086 -0.00861.0000 )顯然H是一個矩陣，再通過計算得出丁1 = 0.1424, r2 = 0.2016, r3 = 0.0949.由定理3.1可以計算得Pll =0.33520.27350.27351.03290.1916 0.1518,Pl2 =0

52、.63810.20000.20000.87200.2000 0.41031 0.19160.15180.3561)1 0.20000.41030.4658 )/0.24570.1695-0.2924Pl3 =0.16950.7682-0.6921-0.2924-0.69210.9187/則有0.52920.41390.3554 0.86780.26000.2771、P=0.41391.64130.3218，02 =0.26001.09000.52571 0.35540.32180.6819)1 0.27710.52570.6660 i/0.30710.2387-0.3616P；3 =0.238

53、70.9186-0.8156-0.3616-0.81561.0758/第四章連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界在時滯系統中的應用4.1引言對于控制系統來說，穩定性是一個重要的特性，也是一個基本的要求.在實踐中，由 于信息的傳遞，系統元素的自然屬性，數據變量的計算等等，現實系統中都存在著時滯 問題.因此，時滯系統在控制系統中常常需要討論其穩定性問題.本章將利用第二章得到的連續耦合代數Lyapunov矩陣方程(2.1.1)解的上界應用到 上面一類時滯系統中去，得到了這類時滯系統穩定的條件.4.2連續耦合代數Lyapunov矩陣方程解的上界在時滯系統中的應用定理4.1假設存在半正定矩陣0代

54、=1,2, ,s)和實數da 0(?豐頂), dij = 0 ?, j 6 S = (1, 2,.,連續耦合代數Lyapunov陣方程2.1.1)有半正定j&s 解Pt,并且有下面條件成立(4.2.1)Qi + 3 為頂(*)乙4 Y o.則時滯系統1.1.2)是穩定的.箜也 d -0其中=其中fij() = dji , Pui由定理2.1中的(2.2.3)式給出.|0 ,= 0證明：對于時滯系統(1.1.2),我們選擇下面的Lyapunov函數P其中矩陣Pi滿足方程CCALE(2.1.1),方便起見下面出現的和時分別代替皿和 Xi(t d).現在，使V（T（i）,i）沿著系統（1.1.2）求

55、導得V (冷)*)ss+EE i Pj 工iEE ijXidjXid=1項盧(m(-T _T_T |X2y 1)* , )s )l心)/=1PlP2TX - XPlp2IP，)IPs X0九21（匕）尸2 hsl(t)PsX4)九 12(t)Pl0 hs2(t)Ps、九 ls(t)R九2s （匕）尸20 Jxs)珥，珥,TXsPMi尸2&T12PSAS /0(x ld+ （奸，珥,，z?)九 21(t)P20-. h2s(t)P22dI hsl)Pshs2(t)Ps 0jI ) TOC o 1-5 h z ss+EE dij 工 i Pj 工 iEE ijXidjXid。=1。=1ssssXi

56、 & Pii + ijXi PjXi i= 1i= 1i=l jii= 1 jiT TTld “2d，TXsd %（配勺5豐1E 勺頂尹2TXs:hjs(t)PjWj詳s %(t)Pmd 祚iE h2i(t)P2xid澎2I hsi(t) Pid詳s/sssss布心+ EE dijX PjXi EE dnxldPJxid i=lz=li= 1 jii=l jiss+EE w?d&(t)p，wj + EE * j 營(七)Pj % id4=1頂=1ssssi 4/ P/Mi + i i + EE dijX PjXi EE ijXidjXid i=li=li= 1 jii=l jiss+EE g?

57、d&(t)Pj勺 + EE 工/ hji(t) Pjxid”=1=1ssi (4/ P, + PiA+: dij Pj) i 一: ij idPj id=1ji=1 ji,b b _T 滅(t) D | b b TD _十 )xid ry- jxj 十 )xj rr jxidi=l j/iVaiji=l jiZaijssi (4/ Pi + P/A/ +由分 Pj)工 i 一 ij id id=1ji=1 ji+y? y?日護?dP舟d+52 52月勺i= 1 jii= 1 j 主i$ 人2 (4/ Pi + PAi + djPjXi + -F必/i=lj 盧i=l ji 前 珥(-0 + 5

58、Z )Pui)$ii=lji dji0.故時滯系統(1.1.2)是穩定的.注記4.1在定理4.1的證明過程中，要求di30.當曲=0時，我們令函數 項)=0即可.并且當函數項(七)趨于0時，不等式(4.2.2)總是成立的.我們在第二章中得到連續耦合代數Lyapunov矩陣方程(2.1.1)的半正定解的上界 Pui和P：i都比上界Pui要好，因此，用上界Pui或P：i替換定理4.1中條件(4.2.1)的 上界Pui時，定理4.1的結論也是成立的.4.3 數值例子在下面，我們給出例子來說明使時滯系統的穩定的條件是存在的.例4.1:考慮例2.1的時滯系統，我們選擇函數ht)=苦e-* t e 0,+

59、oo),明顯 hij(i) E (0,苦.令=苦，根據定理4.1,可以得到-0 + (筍+普而口21口31-6 + （箏+箏而12口32-Q3 + （箏+箏）七3給 3口23-1.37340.0858-0.27610.0858-1.2976-0.5786-0.2761-0.5786-1.0146-7.4252-1.8718-2.8090-1.87186.4777-3.7404-2.8090-3.7404-8.3685 1.5173-1.71281.7571-1.7128-4.09813.50831.75713.5083-4.1220Y0,Y0,Y 0.則滿足條件(4.2.1).因此，在這個例子

60、中時滯系統(1.1.2)是穩定的.總結與展望矩陣方程在網絡控制、工業生產、航空航天、動態規劃以及隨機過程等領域均有廣 泛的應用.在研究設計這些控制系統時，人們必須要考慮研究系統穩定性分析和最優化 問題，在大部分情況下，研究控制系統的這些問題都可轉成研究相應的矩陣方程的半正 定解問題.因此，對矩陣方程解的研究無論是在理論方面，還是在實際應用方面都有著 重要價值.在前人的研究基礎上，本文首先利用矩陣的Kronecker積、矩陣逆的非負性以及 矩陣不等式的變換，得出了連續耦合Lyapunov矩陣方程解兩個帶有參數的新的上界.又 通過對矩陣特征值的性質的應用和矩陣不等式的放縮，得到了連續耦合Lyapu