1、第一節 弗賴登塔爾的國外數學教育的主要理論 著名的數學教育權威-荷蘭著名學者弗賴登塔爾認為數學教學方法的核心是學生的“再創造”.P.Ernest:“數學是由人造就并惟一的存在于人的大腦,因此,學習數學的人的大腦造就或再造就數學就是必然的.在這個意義上,學習數學的人正是造就數學的人.”弗賴登塔爾認為數學是現實世界的抽象反映和人類經驗的總結,數學教育應該源于現實,用于現實,應該通過具體的問題來教抽象的數學內容,應該從學習者所經歷所接觸的客觀實際中提出問題，然后升華歸結為數學概念,運算法則或數學思想.主張數學與現實應密切結合,并能應用于實際. 1.數學是最容易創造的一種科學. 2.每個人都應按照自己

2、的特點重新創造數學知識. 3.每個人都有不同的數學現實,因而可以達到不同的水平. 4.再創造的操作程序-數學化的過程 5.再創造應當貫穿于數學教育的全過程.再創造在課堂教學中的實施 1. 努力激發學生再創造的動機 2. 再創造應以學生的數學現實為基礎 3. 重視合情推理在再創造中的作用 4. 引導學生在數學化過程中再創造 5. 實現從再創造到創造的飛躍現實數學教育的數學化1.確定一個具體問題中包含的數學成分;2.建立這些數學成分與已知的數學模型之間的聯系;3.把這些數學成分形象化,符號化和公式化;4.找出蘊涵在其中數學關系和規則;5.考慮相同數學成分在其他數學知識領域的體現;6.做出形式化的表

3、述.數學化是一種組織與構建的活動1.用數學公式表示關系;2.對有關規則作出證明;3.嘗試建立和使用不同的數學模型;4.對做出的數學模型進行調整和加工;5.綜合不同數學模型的共性,形成新模型;6.用已知數學公式和語言準確描述新概念和方法;7.作一般化的處理和推廣. 當問題轉化為或多或少具有數學性質的問題時,運用數學工具處理問題,也就是現實世界的問題的數學加工與整理. -垂直成分(數學活動) 1.將某個關系表示成公式; 2.證明一些規則; 3.調整與完善模型; 4.使用不同的模型; 5.將一些模型匯集并綜合在一起; 6.形成新的數學概念; 7.推廣并建立起一般化的理論.特萊弗斯和哥弗里在數學化的過

4、程中區分 水平的和垂直的成分 將問題運用數學的方式陳述,通過圖式化與形象化的手段發現規律與關系 1. 從一般的背景資料中辨認特殊的數學; 2. 圖式化; 3. 以不同的方式將一個問題公式化或形式化; 4. 發現關系,發現規律; 5. 在不同的問題中識別其同構的本質; 6. 將現實世界的問題轉化為數學問題; 7. 將現實世界的問題轉化為已知的數學模型.借助于數學化的兩種成分,比較 四種不同類型的數學化途徑 水平的數學化 垂直的數學化現實的（realistic） + +經驗的（empiricist） + 構造的 (structuralist) +機械的（mechanistic） 其中“”號表示對這

5、方面給予更多的注意,而“”號則表示較少注意或根本未加注意.幾何學習思維水平-通過數學化 來進行數學教學 學習過程是由各層次構成的,用低層次的方法組織活動就成為高層次的分析對象;低層次的運算內容又成為高層次的題材. 0-水平:直觀-借助于直觀形象; 1-水平:分析-識別觀察; 2-水平:抽象-形成概念及其與性質的邏輯關系; 3-水平:演繹-抓住整個演繹體系,理解和構造發展整個體系的邏輯結構及其關系; 4-水平:嚴謹領會公理化體系的嚴謹性.再創造:教師不必將各種規則定律灌輸給學生,而是應該創造合適的條件,提供很多具體的例子,讓學生在實踐活動的過程中,自己再創造出各種運算法則,或是發現有關的各種規律

6、.再創造怎樣指導再創造? 1.在學生的數學現實中選擇學習情境,使其適合于橫向水平的數學化. 2.為縱向垂直數學化提供手段和條件. 3.相互作用的教學系統 4.承認和鼓勵學生自己的成果 5.將所學的各個部分結合起來數學建模過程的流程圖實際情境提出問題數學模型數學結果可用結果檢驗合乎實際情況不合乎實際情況數學知識的重新建構 芬蘭圖庫大學歐內列丁能教授-數學教育與學習科學.存在某種可能的方法,使得科學的傳統數學的訓練及學習科學能在數學教育中得到考慮.傳統的數學教育,特別是在高水平的數學教學中,強調數學的學科知識,而沒有認真的思考學習和教學的知識.然而,在初等水平的數學教育中,常常強調教學法的知識,而

7、數學學科的知識較少得到認真的考慮.在當前主流的數學教育中數學和學習科學這兩方面的訓練,或多或少得到平衡,但它們是被分割地或是作為必要的信息平行地加以處理的.學科的知識受到數學家的影響,教學方法的知識則來自于學習的科學,所選擇的數學知識以數學的傳統為基礎,而教學方法則來自于一般教育,兩者之間沒有實質性的相互影響.第二節 波利亞的解題理論第九章 數學教育的基本理論 波利亞的數學教育思想概述 波利亞數學教育思想的核心問題:數學教育的目的是什么？ 1.波利亞主張數學教學的目的應當是提高學生的一般素養:首先和主要的目標應當是教會青年思考. 2.教什么樣的思考?數學是什么?數學有什么特點?對數學及其意義的

8、認識地教學觀其者決定性的作用. 3. 波利亞強調應該教有目的的思考,教正規的演繹推理，也教非正規的似真的合情推理. （1）我們這里所說的思考不是空想,而是有目的的思考或有意義的思考或有成果的思考; （2）數學思考不是完全正規的,它不僅涉及到公理定義和嚴格證明,而且還包含許多別的方面,從觀察到的情況的出結論,歸納推理,類比推理.在具體的情況里辨認數學概念或從具體情況進行抽象.數學教師應不失時機地使他的學生熟知這些相當重要的非正規的思想方法. 問題解決波利亞充分肯定解題的一般教育價值,把教會學生解題看做是教會學生思考,培養他們獨立探索的一條有效途徑.如何培養學生的思維能力 1.思維應該在學生的頭腦

9、中產生出來,教師應當是“產婆”的作用,引導探究 ,鼓勵啟發.-蘇格拉底問答法 2.教師應該讓學生自己獨立思考. 3.教師可以找一個適當的問題或建議幫助學生. 4.教師應當做研究工作. 合情推理-不斷猜想,然后進行證實或否定的過程.數學學習的原則主動學習原則最佳動機原則階段序進原則 對教師的要求1. 要對所講的課題有興趣;2. 要懂得所講的課題;3. 要懂得學習的途徑發現;4. 要觀察學生的臉色,弄清他們的期望和困難, 置身于他們之中;5. 不僅要傳授知識,而且要教給學生才智,思維的方式和工作習慣;6. 要讓他們學習猜測;7. 要讓他們學習證明;8. 要找出手邊題目中那些對后來題目有用的特征;9

10、. 不要立即吐露你的全部秘密讓學生在你說出來之前先去猜,盡量讓他們自己找出來;10. 要建議,不要強迫別人去接受.怎樣解題-怎樣解題表 解題過程分為以下四個階段: 1. 弄清問題 2. 擬訂計劃 3. 實現計劃 4. 回顧1. 弄清問題 （1）未知數是什么?已知數據是什么？條件是什么?滿足條件是否可能?要確定未知數,條件是否充分?或者它是否不充分?或者是多余的?或者是矛盾的? （2）畫張圖,并引入適當的符號. （3）把條件的各部分分開,并把它們寫下來.2.擬訂計劃考慮以前是否見過它? 是否見過相同的問題而形式稍有不同? 你是否知道一個可能用得上的定理?考慮具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題

11、.能否利用它的結果或方法?為了利用它,是否引入某些輔助元素?能否用不同的方法重新敘述它?回到定義去.如果你不能解決所提出的問題,可先解決一個與此有關的問題.是否利用了所有的已知數據?是否利用了所有條件？是否考慮了包含在問題中的所有必要的概念?實現你的求解計劃,檢驗每一步驟.你能否清楚地看出這一步驟是正確的?你能否證明這一步驟是正確的?3. 實現計劃 能否檢驗這個論證?你能否用別的方法導出結果?能不能一下子看出它來? 能不能把這結果或方法用于其他問題? 4. 回顧數學問題解決的框架問題識別與定義問題表征策略選擇與應用資源分配監控與評估數學問題解決的過程 數學問題解決的過程必須經過下列四個步驟,即

12、理解問題,明確任務;擬定求解計劃;實現求解計劃;檢驗和回顧.問題情境 轉換尋求解決途徑求得答案檢驗與評價數學問題解決的策略1.分析給出的數據信息和條件;2.表征信息-從外部和大腦內部;3.建立假設和計劃過程;4.應用公式算法定理,監控這類應用;5.決定和檢驗假設,反思. 變更題目的常用方法-題目 分解與組合-窮舉法,中途點等價的題目 回到定義 等價變換 映射到別的領域 簡化特殊的題目 約化 極端情形 一般化更一般的題目-強化 充分題 必要題 基本題相關的題目 輔助題 類似題 部分題-弱化問題解決與數學思維的培養現代數學教學理論認為,數學教學是數學思維的教學, 學習數學的過程是在頭腦中建構數學認

13、知結構的過程.通過數學的學習活動,逐步認識到數學知識形成和發展的思維過程,使學生學會運用思維方法,善于對問題進行分析,綜合歸納類比抽象概括.問題解決的過程不是學生被動地吸收知識,而是主動建構知識的過程,是在深層次的參與中,真正地學會數學的思維.第三節 建構主義的第九章 數學教育的基本理論 建構主義的學習理論 b 建構主義是行為主義發展到認知主義后的進一步發展,是在吸取了眾多學習理論的基礎上,總結了20 世紀60 年代以來的各種教育改革方案的經驗基礎上發展和形成的. 知識建構不是任意的,它具有多向社會性和他人交互性,知識的建構過程應當有交流,磋商, 進行自我調整和修正. 學習過程是多元化的, 對

14、對象意義的建構是多維度的. 建構主義具有認知理論和方法論雙重意義教師必須知道學生正在想什么,他們對所呈現的材料有何反應; 要重視診斷學生的工具; 不要讓學生天天做練習,而要訓練學生建構技能;教師要提供建構數學對象和關系的材料、工具、模型和良好的學習環境.建構主義是認知學習理論的新發展 知識不是通過感官或交流被動獲得的,而是通過認識主體的反省抽象來主動建構的;有目的的活動和認知結構的發展存在著必然的聯系. 建構主義下的數學學習特征1.學習不是由教師把知識簡單地傳遞給學生,而是由學生自己建構知識的過程.學生不是簡單被動地接受信息,而是主動地建構知識的意義.2.學習不是被動接受信息刺激,而是主動地建

15、構意義,是根據自己的經驗背景,對外部信息進行主動地選擇,加工和處理,從而獲得自己的意義,. 3.學習意義的獲得是以原有的知識經驗為基礎,對新信息重新認識和編碼,建構自己的理解.4.學習者的建構是多元化的. 5.學習是一個積極主動的建構進程,學生不是被動地接受外在信息,而是根據先前認知結構主動地和有選擇地知覺外在信息,進行加工和處理，從而獲得自己的意義. 6.課本知識不是客觀現實的準確表征,它只是一種解釋，一種較為可靠的假設,學生對這些知識的學習是在理解基礎上對這些假設作出檢驗和調整的過程,因此,知識可以視為個人經驗的合理化，而不是說明世界的真理. 建構主義對指導數學學習的意義 學生的認知結構必

16、須和外部的知識結構相一致,才能接受外面來的新知識,獲得學習上的成功. 1.應該用建構主義的觀點認識數學. 2.知識的學習是一個建構的過程,必須突出學習者的主體作用,教師借助于組織者、合作者、引導者的身份,使學生主動參與整個學習過程中去. 3.關注學生學習的個性化特征,使其在數學知識學習中獲得合理的個人經驗的內化. 4.有意義的學習發生于真實的學習任務之中. 教師如何開展課堂教學1.建構主義指導下的課堂教學基于以下基本假設： 教師必須建立學生理解的數學模式.教師應該建立反映每個學生建構狀況的“卷宗”,以便判定每個學生建構能力的強弱; 教學是師生、生生之間的互動; 學生自己決定建構是否合理.2.數

17、學教師需要做好以下事情: 加強學生的自我管理和激勵他們為自己的學習負責; 發展學生的反省思維; 建立學生建構數學的“卷宗”; 觀察與參與學生嘗試、辨認與選擇解題途徑的活動; 反思與回顧解題途徑; 明確活動、學習材料的目的.3.教師必須自己需要學會“做數學”,從事數學探索 理解學生的數學現實; 理解人類思考數學的現實; 理解教室的現實情況.以維果茨基的理論為基礎的社會建構主義1.知識的基礎是語言知識、約定和規則,而語言則是一種社會的建構.2.人類知識規則和約定對某一領域知識真理的確定和判定起關鍵作用.3.個人的主觀知識經發表轉化為使他人有可能接受的客觀知識,這一轉化需要人際交往的社會過程.4.發

18、表的知識須經他人的審視和評判,才有可能重新形成并成為人們接受的客觀知識,即主觀知識只有經社會性接受方能成為客觀知識.5.無論是在主觀知識的建構和創造過程中,還是參與對他人發表的知識進行評判并使之再形成的過程中,個人均能發揮自己的積極作用. 知識的社會建構新知識的主觀建構 (增添,再建,再現)客觀知識被個體內化與再建構經發表形成客觀知識通過主體間的審視再形成和接受經個體的創 造過程在學習過程中 社會協商意義下的社會建構主義 著名數學教育家歐內斯特(Paul Emest)認為,社會建構主義的中心論點是:只有當個人建構的、特有的主觀意義和理論跟社會和物理世界“相適應”時,才有可能得到發展.發展的主要媒介是通過交互作用導致的意義的社會協商.數學學習的過程看作一個“文化繼承”的過程,數學學習不