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文檔簡介

1、. .PAGE11 / NUMPAGES11 高中數(shù)學選修4-5知識點1不等式的基本性質(zhì)1實數(shù)大小的比較(1)數(shù)軸上的點與實數(shù)之間具有一一對應關(guān)系(2)設(shè)a、b是兩個實數(shù),它們在數(shù)軸上所對應的點分別是A、B.當點A在點B的左邊時,ab(3)兩個實數(shù)的大小與這兩個實數(shù)差的符號的關(guān)系(不等式的意義)eq blc(avs4alco1(abab0,abab0,abab,bbb,bcac;(3)可加性:ab,cRacbc;(4)加法法則:ab,cdacbd;(5)可乘性:ab,c0acbc;ab,c0acb0,cd0acbd;(7)乘方法則:ab0,nN且n2anbn;(8)開方法則:ab0,nN且n2

2、eq r(n,a)eq r(n,b).(9)倒數(shù)法則,即ab0eq f(1,a)0,那么 (eq f(ab,2)eq r(ab),當且僅當ab時,等號成立(2)定理2的應用:對兩個正實數(shù)x,y,如果它們的和S是定值,則當且僅當xy時,它們的積P取得最大值,最大值為eq f(S2,4).如果它們的積P是定值,則當且僅當xy時,它們的和S取得最小值,最小值為2eq r(P).3基本不等式eq r(ab)eq f(ab,2)的幾何解釋如圖,AB是O的直徑,C是AB上任意一點,DE是過C點垂直AB的弦若ACa,BCb,則ABab,O的半徑Req f(ab,2),RtACDRtDCB,CD2ACBCab

3、,CDeq r(ab),CDReq r(ab)eq f(ab,2),當且僅當C點與O點重合時,CDReq f(AB,2),即eq r(ab)eq f(ab,2).4幾個常用的重要不等式(1)如果aR,那么a20,當且僅當a0時取等號;(2)如果a,b0,那么abeq f((ab)2,4),當且僅當ab時等號成立(3)如果a0,那么aeq f(1,a)2,當且僅當a1時等號成立(4)如果ab0,那么eq f(a,b)eq f(b,a)2,當且僅當ab時等號成立3三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式1如果a、b、cR,那么a3b3c33abc,當且僅當abc時,等號成立2(定理3)如果a、b、cR,那么

4、(eq f(abc,3)eq r(3,abc),當且僅當abc時,等號成立即三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均3如果a1,a2,anR,那么eq f(a1a2an,n)eq r(n,a1a2an),當且僅當a1a2an時,等號成立即對于n個正數(shù)a1,a2,an,它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均二絕對值不等式1絕對值三角不等式1絕對值與其幾何意義(1)絕對值定義:|a|eq blc(avs4alco1(a(a0),a(a0))(2)絕對值幾何意義:實數(shù)a的絕對值|a|表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點O的距離|OA|.(3)數(shù)軸上兩點間的距離公式:設(shè)數(shù)軸上任意兩點A,B分別對應實數(shù)x1,x2,

5、則|AB|x1x2|2絕對值三角不等式(1)定理1:如果a,b是實數(shù),則|ab|a|b|,當且僅當ab0時,等號成立推論1:如果a,b是實數(shù),那么|a|b|ab|a|b|.推論2:如果a,b是實數(shù),那么|a|b|ab|a|b|.(2)定理2:如果a,b,c是實數(shù),那么|ac|ab|bc|,當且僅當(ab)(bc)0時,等號成立2絕對值不等式的解法1|x|a型不等式的解法設(shè)a0,則(1)|x|aaxaxa;(4)|x|axa或xa2|axb|c(c0)與|axb|c(c0)型不等式的解法(1)|axb|ccaxbc;(2)|axb|caxbc或axbc3|xa|xb|c與|xa|xb|c型不等式

6、的解法(1)利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想,理解絕對值的幾何意義,給絕對值不等式以準確的幾何解釋(2)以絕對值的零點為分界點,將數(shù)軸分為幾個區(qū)間,利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)分類討論的思想確定各個絕對值號多項式的正、負號,進而去掉絕對值號(3)通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想正確求出函數(shù)的零點并畫出函數(shù)圖象(有時需要考察函數(shù)的增減性)是關(guān)鍵注:絕對值的幾何意義(1)|x|的幾何意義是數(shù)軸上點x與原點O的距離;(2)|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上點x到點a和點b的距離之和;(3)|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上點x到點a和點b的距離之差2絕對值不等式的

7、幾何意義(1)|x|a(a0)的幾何意義是以點a和a為端點的線段,|x|a的解集是a,a(2)|x|a(a0)的幾何意義是數(shù)軸除去以點a和a為端點的線段后剩下的兩條射線,|x|a的解集是(,a)(a,)3解含絕對值不等式的關(guān)鍵是去掉絕對值變形為不含絕對值的不等式(組)求解例題:例如:分類討論法:即通過合理分類去絕對值后再求解。例1: 解不等式。分析:由,得和。和把實數(shù)集合分成三個區(qū)間,即,按這三個區(qū)間可去絕對值,故可按這三個區(qū)間討論。解:當x-2時,得,解得:當-2x1時,得,解得:當時,得 , 解得:綜上,原不等式的解集為。例2:解不等式|2x4|3x9|2時,原不等式可化為eq blc(a

8、vs4alco1(x2,,(2x4)(3x9)2.當3x2時,原不等式可化為eq blc(avs4alco1(3x2,,(2x4)(3x9)1,)解得eq f(6,5)x2.當x3時,原不等式可化為eq blc(avs4alco1(x3,,(2x4)(3x9)1,)解得x12.綜上所述,原不等式的解集為 x|xeq f(6,5)第二講證明不等式的基本方法 一比較法比較法主要有1.作差比較法2.作商比較法1作差比較法(簡稱比差法)(1)作差比較法的證明依據(jù)是:abab0;abab0;abab0時,eq f(a,b)1ab;eq f(a,b)1ab;eq f(a,b)1ab時,一定要注意b0這個前

9、提條件若b0,eq f(a,b)b,eq f(a,b)1ab,eq f(a,b)1aeq blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)eq sup12(2);eq f(1,n2)eq f(1,n(n1))(nN*);eq f(1,r(n)eq f(2,r(n)r(n1);當ab0,m0時,eq f(b,a)eq f(am,bm)等第三講柯西不等式與排序不等式1二維形式的柯西不等式若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當且僅當adbc時,等號成立2柯西不等式的向量形式設(shè),是兩個向量,則|,當且僅當是零向量,或存在實數(shù)k,使k時,等號成立3二維形式的三角不等式設(shè)

10、x1,y1,x2,y2R,那么eq r(xeq oal(2,1)yeq oal(2,1)eq r(xeq oal(2,2)yeq oal(2,2)eq r((x1x2)2(y1y2)2.)注意:1二維柯西不等式的三種形式與其關(guān)系定理1是柯西不等式的代數(shù)形式,定理2是柯西不等式的向量形式,定理3是柯西不等式的三角形式根據(jù)向量的意義與其坐標表示不難發(fā)現(xiàn)二維形式的柯西不等式與二維形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐標表示2理解并記憶三種形式取“”的條件(1)代數(shù)形式中當且僅當adbc時取等號(2)向量形式中當存在實數(shù)k,k或0時取等號(3)三角形式中當P1,P2,O三點共線且P1,P2

11、在原點O兩旁時取等號3掌握二維柯西不等式的常用變式(1) eq r(a2b2)eq r(c2d2)|acbd|.(2) eq r(a2b2)eq r(c2d2)|ac|bd|.(3) eq r(a2b2)eq r(c2d2)acbd.(4)(ab)(cd)(eq r(ac)eq r(bd)2.4基本不等式與二維柯西不等式的對比(1)基本不等式是兩個正數(shù)之間形成的不等關(guān)系二維柯西不等式是四個實數(shù)之間形成的不等關(guān)系,從這個意義上講,二維柯西不等式是比基本不等式高一級的不等式(2)基本不等式具有放縮功能,利用它可以比較大小,證明不等式,當和(或積)為定值時,可求積(或和)的最值,同樣二維形式的柯西不

12、等式也有這些功能,利用二維形式的柯西不等式求某些特殊函數(shù)的最值非常有效二一般形式的柯西不等式1三維形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3是實數(shù),則(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,3)(a1b1a2b2a3b3)2,當且僅當bi0(i1,2,3)或存在一個數(shù)k,使得aikbi(i1,2,3)時,等號成立2一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實數(shù),則(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(

13、2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)(a1b1a2b2anbn)2,當且僅當bi0(i1,2,n)或存在一個數(shù)k,使得aikbi(i1,2,n)時,等號成立注意:1對柯西不等式一般形式的說明:一般形式的柯西不等式是二維形式 、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結(jié),左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方運用時的關(guān)鍵是構(gòu)造出符合柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式2關(guān)于柯西不等式的證明:對于函數(shù)f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2(anxbn)2,顯然f(x)0時xR恒成立,即f(x)(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oa

14、l(2,n)x22(a1b1a2b2anbn)x(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)0對xR恒成立, 4(a1b1a2b2anbn)24(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)0,除以4得(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)(beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n) (a1b1a2b2anbn)2.3一般形式柯西不等式成立的條件:由柯西不等式的證明過程可知0f(x)min0a1xb

15、1a2xb2anxbn0b1b2bn0,或eq f(a1,b1)eq f(a2,b2)eq f(an,bn).4柯西不等式的幾種常見變形:(1)設(shè)aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n)beq oal(2,1)beq oal(2,2)beq oal(2,n)1,則1a1b1a2b2anbn1;(2)設(shè)aiR(i1,2,3,n),則eq f(a1a2an,n)eq r(f(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,n),n);(3)設(shè)aiR,bi0(i1,2,3,n),則eq f(aeq oal(2,1),b1)eq f(aeq oal(

16、2,2),b2)eq f(aeq oal(2,n),bn)eq f((a1a2an)2,b1b2bn);(4)設(shè)aibi0(i1,2,3,n),則eq f(a1,b1)eq f(a2,b2)eq f(an,bn)eq f((a1a2an)2,a1b1a2b2anbn).三排序不等式1亂序和、反序和、順序和設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實數(shù),c1,c2,cn為b1,b2,bn的任一排列,稱a1c1a2c2a3c3ancn為亂序和,a1bna2bn1a3bn2anb1為反序和,a1b1a2b2a3b3anbn為順序和2排序不等式(又稱排序原理)設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實數(shù),c1,c2

17、,cn是b1,b2,bn的任一排列,那么a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn,當且僅當a1a2an或b1b2bn時,反序和等于順序和3排序原理的簡記反序和亂序和順序和第四講用數(shù)學歸納法證明不等式 一數(shù)學歸納法1數(shù)學歸納法的定義一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當nn0時命題成立(2)假設(shè)當nk(kN且kn0)時命題成立,證明當nk1時命題也成立在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學歸納法2數(shù)學歸納法的適用圍適用于證明一個與無限多個正整數(shù)有關(guān)

18、的命題3數(shù)學歸納法的步驟(1)(歸納奠基)驗證當nn0(n0為命題成立的起始自然數(shù))時命題成立;(2)(歸納遞推)假設(shè)當nk(kN,且kn0)時命題成立,推導nk1時命題也成立(3)結(jié)論:由(1)(2)可知,命題對一切nn0的自然數(shù)都成立注意:用數(shù)學歸納法證明,關(guān)鍵在于兩個步驟要做到“遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉”,因此必須注意以下三點:(1)驗證是基礎(chǔ)數(shù)學歸納法的原理表明:第一個步驟是要找一個數(shù)n0,這個n0就是我們要證明的命題對象的最小自然數(shù),這個自然數(shù)并不一定就是“1”,因此“找準起點,奠基要穩(wěn)”是正確運用數(shù)學歸納法要注意的第一個問題(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學歸納法的實質(zhì)在于

19、遞推,所以從“k”到“k1”的過程,必須把歸納假設(shè)“nk”時命題成立作為條件來導出“nk1”時命題成立,在推導過程中,要把歸納假設(shè)用上一次或幾次,沒有用上歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學歸納法(3)正確尋求遞推關(guān)系數(shù)學歸納法的第二步遞推是至關(guān)重要的,那么如何尋找遞推關(guān)系呢?在第一步驗證時,不妨多計算幾項,并正確寫出來,這樣對發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系是有幫助的;探求數(shù)列的通項公式時,要善于觀察式子或命題的變化規(guī)律,觀察n處在哪個位置;在書寫f(k1)時,一定要把包含f(k)的式子寫出來,尤其是f(k)中的最后一項除此之外,多了哪些項,少了哪些項都要分析清楚二用數(shù)學歸納法證明不等式舉例1數(shù)學歸納法證明不等式(1)用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的不等式的步驟證明:當n取第一個值n0時結(jié)論成立;假設(shè)當nk(kN,且kn0)時結(jié)論成立,證明當nk1時結(jié)論也成立由可知命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立(2)用數(shù)學歸納法證明不等式的重點用數(shù)學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在),即假設(shè)f(k)g(k)成立,證明f(k1)g(k1)成立2貝努利不等式(1)定義:如果x是實數(shù),且x1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么有(1x)n1nx(2)作用:在數(shù)學研究中經(jīng)常用貝努利不等式把二項式的乘方(1x)n縮小為簡單的1nx的形式,這在數(shù)值估計和放

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