1、 案例1-1：函數概念的學習形態（教材：北師大版義務教育新課程標準教材九年級上冊）解讀教材1、堆木材中的函數-列表法 完成178頁中的“做一做”：先填表后回答問題。瓶子或罐頭盒等圓柱形的物體，常常如下圖所示的那樣堆放，隨著層數的增加，物體的總數是如何變化的？（1）填寫下表：層數n12345n物體總數y1=11+2=31+2+3=6(2)在本題中有兩個量在變化，它們是層數n和物體總數y，而且y是隨著n的變化而變化的。當n的值給定時，y的值也就隨著唯一確定了，比如，當n=4時，y= (3)其實，用表格中的最后一欄的式子也能算出每一種層數下的物體總數。比如，n=100時，y= 。點評：（1）教材中共

2、給出了三個關于函數概念的背景素材，學案將第二個素材放到了第一位，其理由是素材背景是學生熟悉的，函數的表達方式為列表法，也是學生熟悉的；由表中的數據通過規律得到函數的關系式，也是學生們在初一時就學過的，從而達到知識材料經驗化的效果。（2）完整地給出函數概念在本實例中的具體表述，使學生輕松地經歷“個別的看”的體驗過程，同時，學生也可以熟悉函數定義的語言特點與表達方式。2、剎車中的函數-關系式法在平整的路面上，某型號汽車緊急剎車后仍將滑行s米，現知道公式為，其中v表示剎車前汽車的速度（單位：千米/時）。（1）填寫下表：速度v5060100剎車距離 （2）在本題中有兩個量在變化，它們是 和 ，而且 是

3、隨著 的變化而變化的。當v的值給定時，s的值也就隨著唯一確定了，比如，當時， 。點評：用完全相似的方式對教材中的第三個素材進行處理，但在函數概念的具體表述中，學生要填的空由一個增加到五個。讓學生在思考中，經歷“重復的看”的過程。3、游樂場里的函數-圖象法想一想，如果你坐在摩天輪上，隨著時間的變化，你離開地面的高度是如何變化的？下圖反映了旋轉時間t（分）與摩天輪上一點的高度h（米）之間的關系。（1）填表：t（分）012345h(米)（2）其實，本題肯定也能寫出一個用含t的代數式來表示h，只是較復雜，高中會學到的。（3）在本題中有兩個量在變化，它們是 和 ，而且 是隨著 的變化而變化的。當 的值給

4、定時， 的值也就隨著唯一確定了，比如，當時， 。點評：（1）教材上的第一個素材被放到最后來處理，其理由為：摩天輪的背景與函數圖象相結合是學生學習中的一個難點。（2）在函數概念的具體表述中要填的空增加到了七個，使學生在背景的變化中再次經歷函數概念的“重復的看”的過程。（3）通過上述三個操作過程，學生不難形成關于函數概念的一致性的直觀體驗。4、綜合與想象前面三個實例的共同特征是：（1）每個問題中都有 個變量；（2）其中的一個變量（因變量）一定隨著另一個變量（自變量）的變化而 ；（3）當自變量確定后，因變量隨著 。你寫出一個類似的實例，并用上述三個特征加以解釋。點評：通過這一學習環節，將外部操作中所

5、獲得的一致性體驗內化到學生的大腦之中，即，通過想象，在大腦內部進行一致性的操作，從而形成關于函數概念的心理表象。5、歸納與概括通過以上四個實例的學習，我們得出函數的概念為：一般地，在 中，有 個變量x與y，如果給定一個x的值，相應的就確定了 ，那么我們稱 是 的函數，其中 是自變量， 是因變量。例如，在中，存在兩個變量是 和 ，給定x=3，相應就確定了唯一的y值為 。所以，y是關于x的函數，x叫 量。前面的三個實例題還讓我們感受到，函數的表示方法共有三種：（1）表格法；（2）解析式，如第1題中的y=，第2題中的，第3題中的解析式高中會學到；（3）圖象法（也就是坐標圖）。 點評：通過前面的“個別

6、的看”、“重復的看”與“想象的看”的學習過程，學生自主的得出一般性的函數概念，可以說是水到渠成了，他們能夠“一般的看”函數了。挖掘教材 例：“給定一個x的值，相應的就確定了唯一的y值”是什么意思？（1）下面這個表格是否表示y是x的函數？為什么？x2345y2345xy（2）下面這個圖象是否表示y是x的函數？為什么？ （3）等式是否表示y是x的函數？為什么？（4）上面三個問題，如果不是函數，分別如何改正，才能使得y是x的函數？點評：這個學習環節是讓學生在運用函數概念的過程中，進一步地理解與認識函數概念的本質特征，也就是“認識地看”。學案評析：上述案例雖然只呈現了學案的一部分（主體部分），但比較充

7、分地體現了學案的特點。（1）體現了學案的整合性、主體性、開放性與引導性等特點，特別是引導性，較好的發揮了學案“認知地圖”的作用；（2）突出了學案構成的目的要素、背景要素、知識要素、問題要素、活動要素、思想要素與能力要素等；（3）通過經驗化、趣味化、生命化以及整體性的過程化，將教材內容改造成為學生易于進入、易于思考、易于探究、易于遐想的學習形態的知識，這一點在教學中得到了充分的驗證。教學反饋：用此學案的教學是一次“獻課”式的觀摩教學活動，授課班級的學生是第一次使用學案進行上課，采用的“DJP教學”模式。課堂上可以說是精彩紛呈，學案中的內容引起了學生極大興趣。眾所周知，函數是初、高中教學中一個難點

8、，許多學生高中畢業了都沒弄明白函數的本質含義。在本節課上，學生始終保持高昂的熱情，不論是小組交流，還是對話性講解以及學習評價，他們都非常積極地參與到學習之中，主動大方地展示各自獨特的生命活力。最讓聽課老師感動的是“理解與認識”這一學習環節中發生的一幕。對于第（1）小題，學生提出了各種各樣的修改方法，驚奇的是有一位學生竟提出了將所有的函數值都取為1（這樣函數就變成常函數）的想法，這一做法已超越了初中變量函數概念的范圍，把視角伸向了高中對應函數概念的范圍。對于第（2）題，許多學生采取了簡單而有效的“抹”的辦法，即多余的圖像抹掉，并且提出了“抹下留上”或“抹上留下”的操作規則。修改后的函數圖像也是多

9、種多樣的，有的是半圓，有的是圓弧。面對學生的精彩表現，有一位聽課教師對學案在教學中所發揮的奇特作用，由衷地發出了“精妙”的贊嘆！從整個學習過程來講，學生通過個別的看、重復的看、想象的看、一般的看與認識的看的認知過程，從情境問題中，創造性的生成了函數概念的各種成分的知識。其中，事實性知識有自變量、因變量，函數有三種表示方式等；概念性知識有函數的定義、函數的本質特征與圖像特征等；方法性知識有函數定義的應用、將非函數的事例修改為函數以及歸納的思想方法等；價值性知識有函數在生活中大量存在、函數可以簡單而準確地刻畫現實世界中的數量關系以及所生成的函數意識等。數學課堂教學觀察表數學概念教學龍泉驛區初中數學

10、中心組 同安中學 何清宇觀察者： 被觀察者： 時間 數學教學根本上就是“玩”概念。數學概念教學的核心是概括，將凝聚在數學概念中的數學家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察，分析各實例中的屬性，抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念。那種“一個定義、幾項注意，一個例題、幾道變式”的教學模式，是概念教學的一個誤區。若以解題教學代替概念教學，則嚴重偏離了概念教學的正軌，導致學生耗費大量時間、精力，但可能對數學的內容、方法和意義卻知之甚少。觀察維度觀察點觀察內容評價及建議概念教學1豐富的例證例證記錄例證1例證2例證3對例證的處理過程（問題串）記錄是否概括出例證的本質特征，是什么？2屬性的提煉是否概括、提煉出例證的共同本質屬性？是什么？3下定義學生能否用準確的（文字/符號）語言表述概念？情況如何？4辨析概念是誰（師/生）舉出了反例、正例？是什么？生