1、第五章 控制系統的頻率特性分析法5.1 頻率特性的基本概念5.2 頻率特性的表示方法5.3 典型環節的頻率特性5.4 系統開環頻率特性繪制5.5 用頻率法分析系統的穩定性5.6 用頻率法分析系統的穩態特性5.7 用開環頻率特性分析系統的動態性能5.8 用閉環頻率特性分析系統性能5.9 傳遞函數的實驗求取15.1 頻率特性的基本概念一、頻率特性的定義 分析：穩定的系統，當輸入為正弦信號時，系統的輸出。閉環傳遞函數：閉環特征根2輸入信號輸出.待定系數頻率特性的基本概念3=0穩定的系統整理得；式中式中，頻率特性的基本概念4頻率特性的基本概念由上面分析可知： 穩定的線性定常系統，正弦函數輸入下的穩態響

2、應，為正弦函數；並稱為頻率響應。輸出與輸入的振幅比，稱為系統的幅頻特性；輸入與輸出的相位差，稱為系統的相頻特性；幅頻特性和相頻特性，或輸出與輸入的復數比，稱為系統或環節的頻率特性。二、頻率特性和傳遞函數之間的關系並定義：5例 某系統結構圖如圖所示，試根據頻率特性的物理意義，輸入信號作用時，系統的穩態輸出解 系統閉環傳遞函數為:頻率特性:求頻率特性的基本概念6幅頻特性: 相頻特性: 當時, ，X=1 則 依頻率特性的基本概念，系統的穩態輸出 頻率特性的基本概念75.2 頻率特性的表示方法一、代數解析法其中8二、圖形表示法 1.極坐標圖（幅相頻率特性圖；奈奎斯特圖） 隨著頻率的變化，頻率特性的矢量

3、長度和幅角也改變。當頻率從0變化到無窮大時，矢量的端點便在平面上畫出一條曲線，這條曲線反映出為參變量、模與幅角之間的關系。通常稱這條曲線叫做幅相頻率特性曲線或奈奎斯特曲線。畫有這種曲線的圖形稱為極坐標圖。92.博德圖（對數頻率特性圖） 由兩張圖構成：一張是對數幅頻圖，一張是對數相頻圖。 兩張圖的橫坐標都是采用了半對數坐標。10 對數幅頻特性圖的縱坐標是頻率特性幅值的對數值乘20，即 表示，均勻分度，單位為db。 對數相頻特性圖的縱坐標是相移角()，均勻分度，單位為“度”。對數幅頻特性圖繪的是對數幅頻特性曲線，對數相頻特性圖繪的是對數相頻特性曲線。115.3 典型環節的頻率特性一、比例環節 1.

4、代數表達式 傳遞函數 頻率特性 幅頻特性 相頻特性120110100P()KKKKKQ()000002.頻率特性圖（1）極坐標圖典型環節的頻率特性13（2）伯德圖作法：1）對數幅頻圖 2）對數相頻圖典型環節的頻率特性14二、積分環節的頻率特性1.代數表達式 傳遞函數 頻率特性 幅頻特性 相頻特性2.頻率特性圖 (1)極坐標圖 典型環節的頻率特性15(2）對數頻率特性圖1101001000L()0-20-40-60斜率 -20/十倍頻程：對數幅頻、相頻特性圖相頻特性圖幅頻特性圖典型環節的頻率特性16若=2時-40dB/dec180800-180如果有個積分環節串聯，則有典型環節的頻率特性171.

5、代數表達式 傳遞函數 頻率特性 幅頻特性 相頻特性三、慣性環節典型環節的頻率特性1801/TP()11/20Q()0-1/202.頻率特性圖 (1）極坐標圖典型環節的頻率特性19漸近特性曲線的作法：a.當T1（1（1/T）時， 系統處于高頻段(2）對數頻率特性圖此直線方程過（1/T，0）點且斜率為-20dB/十倍頻程典型環節的頻率特性20精確曲線的作法：在漸近線上修正分析：*最大誤差在典型環節的頻率特性21/n0.10.250.40.51.02410L()-0.04-0.32-0.65-1.0-3.0-1-0.32-0.04曲線修正表：(2）對數相頻特性曲線以此點為對稱點典型環節的頻率特性22

6、四、振蕩環節1.代數表達式 傳遞函數 頻率特性 幅頻特性 相頻特性典型環節的頻率特性23重要性質：當00.707時， 幅頻特性出現峰值。 諧振頻率p: 諧振峰值Mp:01/TP()100Q()0-0.50越小，Mp越大2.頻率特性圖 (1）極坐標圖典型環節的頻率特性242）伯德圖分析：， a.當T1（1（1/T）時， 典型環節的頻率特性25精確曲線的作法：在漸近線上修正分析：典型環節的頻率特性26 2）對數相頻特性曲線0.050.10.250.40.50,60.70.81L()201410.460-1.6-3-4-6注意：在工程上，當滿足0.40.7時，可使用漸近對數幅頻特性；在此范圍之外，應

7、使用準確的對數幅頻特性。典型環節的頻率特性27五、微分、1階環分及2階微分1.代數表達式 傳遞函數 頻率特性典型環節的頻率特性282.頻率特性圖1）極坐標圖典型環節的頻率特性292）伯德圖注意：純微分、一階微分和二階微分的幅頻特性和相頻特性，在形式上分別是積分、慣性和振蕩環節的相應特性的倒數。因此，在半對數坐標中，純微分環節和積分環節的對數頻率特性曲線相對于頻率軸互為鏡相；一階微分環節和慣性環節的對數頻率特性曲線相對于頻率軸互為鏡相；二階微分環節和振蕩環節的對數頻率特性曲線相對于頻率軸互為鏡相。典型環節的頻率特性30典型環節的頻率特性31六、延時環節 1.代數表達式 傳遞函數 頻率特性 幅頻特

8、性 相頻特性典型環節的頻率特性322.頻率特性圖 1）極坐標圖 2）伯德圖典型環節的頻率特性335.4 系統開環頻率特性繪制分析：方法1：利用典型環節的頻率特性（1）分別計算出各典型環節的幅頻特性和相頻特性；一、極坐標圖的繪制34(2）各典型環節的幅頻特性相乘得到系統的幅頻特性，各典 型環節 的相頻 特性相加得到系統的相頻特性。 （3）給出不同的值，計算出相應的A()和()，描點連線。例(見教材)系統開環頻率特性繪制35方法2，極坐標圖的近似作法：（1）起點（ =0）： 0型：在實軸上K點 1型：在負虛軸的無窮遠處 2型：在負實軸的無窮遠處 3型：在正虛軸的無窮遠處與系統的型號有關系統開環頻率

9、特性繪制36分析系統開環頻率特性繪制37（2）終點（ =）： 在原點 且當n-m=1時，沿負虛軸趨于原點 當n-m=2時，沿負實軸趨于原點 當n-m=3時，沿正虛軸趨于原點系統開環頻率特性繪制38分析：系統開環頻率特性繪制39（3）與虛軸的交點：（4）與實軸的交點：系統開環頻率特性繪制，代入虛部。，代入實部。40系統開環頻率特性繪制起點、終點意圖41例1010系統開環頻率特性繪制42例 已知開環傳遞函數如下，簡作幅相頻率特性曲線。解：43起點，時，與實軸交點：令上式的虛部為0：代入實部：實部終點時，以-270度角度趨于原點。44根據幅相頻率特性曲線的起點、與實軸交點及終點，幅相頻率特性曲線如圖

10、所示。45二、對數頻率特性的繪制 1.對數幅頻特性 方法一：典型環節頻率特性相加 方法二：按下面的步驟進行： （1）在半對數坐標紙上標出橫軸及縱軸的刻度。 （2）將開環傳遞函數化成典型環節乘積因子形式，求出各 環節的交接頻率，標在頻率軸上。（3）計算20lgK，K為系統開環放大系數。系統開環頻率特性繪制46（4）在=1處找出縱坐標等于20lgK的點“A”；過該點作一 直線，其斜率等于-20(db/dec)，當取正號時為積分環節 的個數，當取負號時為純微分環節的個數；該直線直到第 一個交接頻率1對應的地方。 若11，則該直線的延長線 以過“A”點。系統開環頻率特性繪制47（5）以后每遇到一個交接

11、頻率，就改變一次漸近線的斜率： 遇到慣性環節的交接頻率，斜率增加-20db/dec； 遇到一階微分環節的交接頻率，斜率增加+20db/dec； 遇到振蕩環節的交接頻率，斜率增加-40db/dec； 遇到二階微分環節的交接頻率，斜率增加+40db/dec； 直至經過所有各環節的交接頻率，便得系統的開環對數幅頻漸近特性。系統開環頻率特性繪制48 若要得到較精確的頻率特性曲線，可在振蕩環節和二階微分環節的交接頻率附近進行修正。2.對數相頻特性 方法一：典型環節相頻特性相加 方法二：利用系統的相頻特性表達式，直接計算出不 同的 數值時對應的相移角描點，再用光滑曲線連接。系統開環頻率特性繪制49例1 已

12、知某系統的開環傳遞函數為試繪出系統的開環對數幅頻特性。解： 系統由八個環節組成：一個比例；系統開環頻率特性繪制50兩個積分環節；三個慣性環節；兩個一階微分環節，它們的交接頻率分別為是系統開環頻率特性繪制51按方法二有關步驟，繪出該系統的開環對數幅頻特性。系統開環頻率特性繪制52三、對數幅頻特性與相頻特性間的關系 什么是最小相位系統？若一個系統的開環傳遞函數在右半S平面沒有極點或零點，并且不具有純時間延遲因子，此系統稱為最小相位系統。否則，稱為非最小相位系統。 對數幅頻特性與相頻特性間的對應關系，博德定理指出：對數頻率特性的斜率為-20N（db/dec）時，對應的相角位移是-90N，N為0、1、

13、2、.。對數幅頻特性與相頻特性之間的關系是惟一確定的-。 系統開環頻率特性繪制53 閉環系統穩定的充分必要條件：1.若開環傳遞函數有正極點，且個數為P。閉環系統穩定的充要條件是，開環幅相特性曲線 ，當從-變化到+時，逆時針包圍（-1，j0）點的圈數N=P。否則系統不穩。2.若開環傳遞函數無正極點，即個數為P=0。閉環系統穩定的充要條件是，開環幅相特性曲線 ，當從-變化到+時，不包圍（-1，j0）點，即圈數N=0。否則系統不穩。 一、在極坐標圖中的奈氏判據5.5 用頻率法分析閉環系統的穩定性54用式子表示 注：1、Z為閉環極點在s右半平面的個數；2、順時針繞時圈數N取“負”，逆時針時圈數取N“正

14、”。3、要閉環系統穩定，必須Z=0。頻率法分析閉環系統的穩定性55例1 某單位反饋系統，開環傳遞函數為 試用奈氏判據判別系統穩定性。解： 首先作出系統的極坐標圖 其次由開環傳遞函數可知， 有一個正極點， 即P=1； 然后由極坐標圖， ：-時， 逆時針包圍（-1，j0）點一圈， 即N=1。最后，由公式算Z， Z=P-N=0 ， 所以閉環系統穩定。頻率法分析閉環系統的穩定性56二、對奈氏判據的兩點說明頻率法分析閉環系統的穩定性1、實際的應用方法 只需用：從0+時的開環幅相頻率特性曲線。 這時，奈氏判據的數學表達式變為： 其中N表示：當從0+時的開環幅相頻率特性曲線圍繞（-1，j0）點的圈數，其符號

15、與上式相同。572、開環傳函含有積分環節時，要作增補特性曲線 當含有積分環節時， 曲線將不封閉，這時需要作增補特性，即從0按逆時針方向，半徑為，作v/4圈弧連接，v為積分個數。得到封閉曲線后再使用奈氏判據。增補特性：頻率法分析閉環系統的穩定性58例2 某單位反饋系統，開環傳遞函數為 試用奈氏判據判別系統穩定性。解：考慮積分環節的增補頻率特性，開環系統幅相頻率特性：從圖中可知 N=-1 由系統開環傳遞函數表達式中可知P=0由式，Z=p-N=p-2N=0-2*(-1)=2系統不穩定性頻率法分析閉環系統的穩定性59二、在博德圖中使用奈氏判據 頻率法分析閉環系統的穩定性1、極坐標圖博德圖的對應關系2、

16、正負穿越的定義603、在伯德圖中使用奈氏判據 若系統有P個開環極點在右半S平面，則閉環系統穩定的充要條件是，在對數幅頻特性為正的所有頻段內，對數相頻特性與-180相位線的正負穿越次數之差為P/2。頻率法分析閉環系統的穩定性61 試用奈氏判據判別閉環系統的穩定性。解：作系統的博德圖 (對數頻率特性圖)例3 若系統開環傳遞函數為頻率法分析閉環系統的穩定性62 由圖可知，對數相頻特性對-180的正、負穿越各次。又由于開環傳遞函數無正極點，即P=0。根據奈氏判據，閉環系統是穩定的。頻率法分析閉環系統的穩定性635.6 用頻率法分析閉環系統的穩態性能r(t)=AAtAt2/20A/(1+k)10A/K2

17、00A/K一、在伯德圖上找 因為在對數幅頻圖上的低頻段的斜率與積分環節的個數有關。 由第三章，穩定的系統的穩態性能，可由開環傳遞函數中的積分環節個數v和開環放大系數k決定。所以，由斜率可求出積分環節的個數64二、在伯德圖上找K 1、0型系統（ =0）2、 1型系統（ =1） 斜率為-20db/dec的低頻段漸近特性或其延長線，在=1時的分貝數由開環放大系數K的值決定。用頻率法分析閉環系統的穩態性能65斜率為-20db/dec的低頻段漸近特性或其延長線與橫軸的交 點的頻率值與開環放大系數K相等。用頻率法分析閉環系統的穩態性能663、2型系統斜率為-40db/dec的低頻段漸近特性或其延長線，在=

18、1時 的分貝數由開環放大系數K的值決定。斜率為-40db/dec的低頻段漸近特性或其延長線與橫軸的交點的頻率值的平方與開環放大系數K相等。（ =2）用頻率法分析閉環系統的穩態性能675.7 用開環頻率特性分析系統的動態性能一、開環頻域性能指標典型開環頻率特性681.截止頻率c 對數幅頻特性等于0分貝時的值，即 截止頻率c表征響應的快速性能，c越大，系統的快速性能越好。2.相位裕度(c) 相頻特性曲線在= c時的相角值(c)與-180之差。 對于最小相位系統，相位裕度與系統的穩定性有如下關系：用開環頻率特性分析系統的動態性能693.增益裕量G.M.（幅值裕量） 相角為-180這一頻率值g所對應的

19、幅值倒數的分貝數。對于最小相位系統，增益裕度與系統的穩定性有如下關系：用開環頻率特性分析系統的動態性能704.中頻寬度h 開環對數幅頻特性以斜率為-20dB/dec過橫軸的線段寬度h，稱為中頻寬度。h的長短反映了系統的平穩程度，h愈大，系統的平穩性越好。二、性能指標與中頻段特性 若中頻段的斜率為-20dB/dec，且h愈寬，(c)愈大， 平穩性越好；c越大，則快速性越好。 中頻段的斜率為-40dB/dec，h愈寬，平穩性越差。 中頻段的斜率為-60dB/dec，系統不穩定。用開環頻率特性分析系統的動態性能71重要結論： 控制系統要具有良好的動態性能： 中頻段的斜率必須為-20dB/dec，而且

20、要有一定的寬度（通常為510）； 應提高截止頻率來提高系統的快速性。用開環頻率特性分析系統的動態性能72三、三頻段與系統性能的關系 1.低頻段： 反映系統的控制精度 2.中頻段： 反映控制系統的動態性能 3.高頻段：反映系統的抗干擾能力，斜率越負，抗干擾能 力越強。用開環頻率特性分析系統的動態性能73四、頻域性能與時域性能的關系 對于二階系統，兩種性能指標間有一一對應的準確關系：平穩性快速性時域%ts頻域(c)c(參閱表5-2)1、 與 的關系%(c)用開環頻率特性分析系統的動態性能742、 c與ts的關系 在00.4時，0.85 n c n,，說明在此范圍內c 可以替代n。用開環頻率特性分析

21、系統的動態性能(參閱教材的證明)75用開環頻率特性分析系統的動態性能對于高階系統，兩種性能指標間有近似對應的關系：式中：765.8 用閉環特性曲線分析系統性能典型的閉環系統頻率特性曲線一、閉環頻率特性77（1）零度幅值M(0) 頻率為0（或低頻）時的幅值。（2）諧振峰值Mp 閉環幅頻特性的最大值。（3）諧振頻率p 出現諧振峰值時的頻率值。（4）頻帶寬度0b 從0頻到b稱為頻帶寬度。 b是閉環頻率特性幅值減小到0.707M(0)時的頻率，稱為截止頻率。一、閉環頻域性能指標用閉環特性曲線分析系統性能78二、閉環頻率特性和系統過渡過程的關系 1. 閉環幅頻特性的低頻區 閉環幅頻特性M()中靠近零頻的

22、低頻區特性即M(0)附 近，反映了 控制系統的穩態性能，即控制精度。 結論： 若M(0)1，說明系統是0型系統，單位階躍下無穩態誤差； 若M(0)=1，說明系統是1型或2型系統，單位階躍下無穩態誤差；用閉環特性曲線分析系統性能792.閉環幅頻特性的中頻區 閉環幅頻特性的諧振峰值Mp反映控制系統的平穩性，諧振頻率p 反映控制系統的快速性。 對于二階系統有如下關系：結論：Mp的值越小，則超調量超小，系統的動態過程 的 平穩性越好。 p（ 或b）越大，頻帶就越寬，系統的快速性能越好。用閉環特性曲線分析系統性能80第九節 傳遞函數的實驗求取 當用第2章的解析法求線性定常系統數學模型有困難時，可用頻率特性測試儀器，用實驗方法求取。 實驗時，在感興趣的頻率范圍內，給被測的系統或環節輸入不同頻率的正弦信號，容易得到其對數頻率特性曲線。該頻率特性曲線通常是一條平