1、數列的概念及函數特征測試卷A 組一填空題 ( 本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分) 1. 數列 1, 1,1, 1,1，的通項公式的是。1. a n ( 1) n 1或 a n 1， 為奇數1， 為偶數。提示：寫成兩種形式都對，nn an 不能省掉。2. ,1 2, 1, 2 , 的一個通項公式是。3 2 52. a nn 21 ; 提示：若把 12 換成24，同時首項 1 換成22，規律就明顯了。其一個通項應該為：a n 2;n 13. 在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結果與相應年齡的統計數據如下表 . 觀察表中數據的特點，用適當的數填入表中空白（）內 . 年齡（歲）30

2、35 40 45 50 55 60 65 收縮壓（水銀柱 毫 M ）110 115 120 125 130 135 （） 145 舒張壓（水銀柱 毫 M ）70 73 75 78 80 83 （） 88 3.140,85。提示：觀察上表規律，收縮壓每次增加 5，舒張壓相應增加 3 或 2，且是間隔出現的，故應填 140,85。4已知數列 a n，a n 1 ( n N )，那么 1 是這個數列的第項 . n n 2) 1204.10. 提示：令 a n 1= 1，即 n 2+2n-120=0, 解得 n=10. n n 2) 12015.已知數列 a n 的圖像是函數 y 圖像上，當 x 取正

3、整數時的點列，則其通項公式為。x5. an=1 .提示：數列 a n 對應的點列為 (n,an),即有 an=1。n n26.已知數列 a n，a n 2 n 10 n 3，它的最小項是。6.2 或 3 項。提示：a n 2 n 210 n 3 =2（n-5）2-19 .故當 n=2 或 3 時， an最小。2 27. 已知數列 a n 滿足 a 1 2，a n 1 2 2 a n，則 a 4 . 1 a n7. 25。提示：a 2 2 21（2 2）=23，a 3 21 22 23 6，a n 1 21 26 6 25。38.如圖，圖（ 1）、（ 2）、（ 3）、（ 4）分別包含1 個、 5

4、 個、 13 個、 25 個第二十九屆北京奧運會吉祥物“ 福娃迎迎” ，按同樣的方式構造圖形，設第n 個圖形包含f n 個“ 福娃迎迎” ，則f n1)f n ( )（答案用n的解讀式表示） 4, ，猜想8.n 22. 提示： f(2)-f(1)=4=1 4, f(3)-f(2)=8=2 4, f(4)-f(3)=3f n1)f n ( )4n. 二解答題 ( 本大題共 4 小題，共 54 分) 9. 已知 a n 滿足 a 1 3，a n 1 2 a n 1，試寫出該數列的前 5 項，并用觀察法寫出這個數列的一個通項公式 . 9. 解 a 1 3 , a n 1 2 a n 1 , a 2

5、7 , a 3 15 , a 4 31 , a 5 63 , 注意到： 3=2 2-1 ，7=2 3-1 ， 15=2 4-1 ，31=2 5-1 ，猜得 a n 2 n 11。10. 已知數列 a n 中，a 1 3，a 10 21，通項 a 是項數 n 的一次函數，求 a n 的通項公式，并求 a 2005；若 b n 是由 a a a 6 , a 8 , , 組成，試歸納 b n 的一個通項公式 . k b 3 k 210. 解: 設 a n kn b , 則 , 解得 , 10 k b 21 b 1a n 2 n 1( n N ) , a 2005 4011 . 又2a , a , 4

6、 a , 6 8a , 即為 5,9,13,17, , b n 4 n 1 . 11. 如果一個數列從第 2 項開始，每一項與它的前一項的和等于同一個常數，那么這個數列就叫做等和數列。已知等和數列 na 的第一項為 2，公和為 7，求這個數列的通項公式an。11. 解：a n是等和數列，公和為7，a1=2， a2=5,a3=2,a4=5, ，一般地， a2n-1=2，a2n=5，nN * . 2， 為正奇數，通項公式 an=5， 為正偶數。12. 已知不等式 1+ 1+ 1 + +1 a 對于一切大于 1 的自然數 n 都成立，求實n 1 n 2 n 3 2n數 a的取值范圍。解 令 f（n）

7、= 1+ 1+ 1 + +1，n 1 n 2 n 3 2n則 f （n+1）-f（n）= 1+ 1-1= 1-10. 2 n 1 2 n 2 n 1 2 n 1 2 n 2f（ n+1）f （n）, f （n）是遞增數列， f （n）min= f （2） =7。12a7 . 12備選題： 1. 若數列的前個通項公式是。5 項為 6，66，666，6666，66666， ，寫出它的一1.2 （ 10 n-1 ）。提示：注意到 66 6 6 99 9 ，故 66 6 2 （ 10 n-1 ）。3 n 9 n n 32. 設數列 2, 5,2 2, 11, , 則 2 5 是這個數列的第項。2.7.

8、 提 示：由 題 設 知 2, 5, 8, 11, , 的 通 項 為 3n 1，2 5 = 20 3 7 1。 3. 已知數列 a n ，a 1 1，a n 1 a n( n N * )，寫出這個數列的前 4 項，并根據規1 2 a n律，寫出這個數列的一個通項公式 . 3.解：a 1 1，a n 1 a n， a2= 1 1 .同理求得 a3=1，a4=1 . 1 2 a n 1 2 1 3 5 71從而猜想 an= . 2 n 1B 組一填空題 ( 本大題共 6 小題，每小題5 分，共 30 分) 32 31, ，1. 數列11,24,39,416,的一個通項公式是。2510171.an

9、nnn21.提示：觀察和對應項數的關系，不難發現21111，242422221,393932255210102一般地，annn21.1, 可考慮（ -1 ）n 或2 n2. 數列1,2,3,4,的一個通項公式是。23452.an()1n1nn1。提示：這類題應解決兩個問題，一是符號（-1 ）n+1調節，二是分式，分子是n，分母 n+1。故an(1 )n1nn. 3. 將正偶數按下表排成5 列：第 1 列第 2 列第 3 列第 4 列第 5 列第 1 行 2 4 6 8 第 2 行 16 14 12 10 第 3 行 18 20 22 24 28 26則 2006 在第行，第列。3第 251 行

10、，第 4 列.提示：由題意知每列 行。又由奇數行的特點知應該是第 4 列。8 4 個數， 1003=4 250+3, 故 2006 在第 2514. 已知 a n 是遞增數列，且對任意nN +，都有an=n2+6 n 恒成立，則實數的取值范圍x10是。4.（3，）。提示：常見的錯解：an是一個特殊的y 4二次函數，要保證在n 取自然數時單調遞增，只須-21，2即-2。本題錯誤的原因在于機械地套用了函數的性質，忽略了數列的離散性的特點。0125正解 如圖，只要 -2-3 時就適合題意。-25.觀察下列不等式：11，1111，11113，223237211112，11115，由此猜想第n個不等式為

11、. 2315233125.111n 211n 。提示：本題是歸納推理問題，注意到 23=22-1 ，7=2 3-1 ，2315=24-1 ，1= 2 2，2=4 2，故猜想：111211n 。2n23點評：歸納推理的關鍵是找到式子變化的共同點和不同點。6. 若數列 a n 滿足 an+1=2an12(01an1),若a156,則 a20的值是2 a36。2(1 2765 . 提示：7a 12anan1 )3213a465a26a7777775數列 a n 是周期為 3 的數列，a 20 a 18 2 a 2 . 7二解答題 ( 本大題共 2 小題，共 36 分) 7. 已知數列 an 中， a

12、n= n n N *，求數列 an 的最大項 . n 15.6解: 考察函數 y x1 15.6, 因為直線 x 15.6 為函數圖象的漸近線 , 且函x 15.6 x 15.6數在 ,15.6 上單調遞減，在 15.6, 上單調遞減，所以當 n 15.6 且 n 最接近 15.6且 n N 時, * a 最大 , 故 a 最大 , 即第 16 項最大 . 8. 設向量 a =（x , 2）， b =（x n , x 1）（ n N），函數 y a b 在0 ， 1上 的 最 小 值 與 最 大 值 的 和 為 a n，又 數 列 b n 滿 足：9 n 1 9 n 2 9nb 1 ( n )

13、1 b 2 2 b n 1 b n ( ) ( ) 110 10 10（1）求證：an n 1；（2）求 b 的表達式；（3）c n a n b n，試問數列 c 中，是否存在正整數 k ，使得對于任意的正整數n ，都有 nc kc 成立？證明你的結論 . 解 （1）證明： y ab = x 2 ( n 4 ) x 2，因為對稱軸 x n 4, 2所以在 0 ，1 上為增函數，an ( 2 ) ( n 3 ) n 1。（2）解：由 nb 1 ( n )1 b 2 2 b n 1 b n ( 9) n 1( 9) n 2 9 110 10 10得 ( n 1 ) b 1 ( n 2 ) b 2

14、b n 1 ( 9) n 2( 9) n 3 9 110 10 10兩式相減得 b 1 b 2 b n 1 b n ( 9) n 1S n，10當 n 1 時，b 1 S 1 1當 n 2 時，b n S n S n 1 9( 9) n 210 10即 b n10 1 ( 110 9 ) n 2n n 12（3）解：由（ 1）與（ 2）得 c n a n b n n10 1 (10 29 ) n 2n n 12設存在正整數 k ，使得對于任意的正整數 n ，都有 c kc 成立，當n,12時，c2c 1230c2c 1n ，都有c kc 成立10當 n 2 時，cn1cn(9)n28n，10100所以當n8時，c n1cn，當n8時，cn1c n，當n8時，cn1c n，使得對于任意的正整數所以存在正整數k9備選題：1.數列19 199 1999 19999 10 100 1000 10000, 的通項公式是。1021,1.an